(整理)欧拉积分及其应用

精品文档精品文档欧拉积分及其应用摘要:Beta函数与Gamma函数是数学分析中两个重要的积分，灵活应用这两个积分可以很好的解决数学计算中的一些问题，本文重点阐述了Beta函数、Gamma函数的性质和关关系，通过举一些典型的例子来说明他们的应用.关键词:Gamma函数；Beta函数；含参量积分Abstract:BetafunctionandGammafunctionisamathematicalanalysisoftwoimportantpoints,flexibleapplicationofthesetwopointscansolvesomeproblemsinmathematicalcalculations,thispaperfocusesontheBetafunction,Gammafunction,thenatureandrelationship,throughthegivesomeAtypicalexampletoillustratetheirapplication.KeyWords:TheGammafunction;TheBetafunction;Containtheparameterintegral引言欧拉是18世纪数学界最杰出的人物之一，他不但为数学界作出贡献，更把数学推至几乎整个物理的领域.欧拉对数学的研究如此广泛，因此在许多数学的分支中也可经常见到以他的名字命名的重要常数、公式和定理.欧拉(euler)积分是其重要贡献之一，它广义积分定义的特殊函数，在概率论与数理统计及数理方程等学科中经常用到，本文重点阐述Beta函数、Gamma函数的性质，揭示二者所具有的关系及在数学分析、概率统计等学科中的应用，从而使复杂的题目有了更简单易懂的解决方法，同时这也揭示了数学的不同学科之间的密切联系，在提高解题能力的同时，也加深对数学的理解和应用.1111(,)(1),0,0pqBpqxxdxpq称为贝塔（Beta）函数，（或写作B函数）.10,0sxsxedxs称为格马（Gamma）函数，（或写作函数）.贝塔函数与格马函数在应用中经常出现，它们统称为欧拉积分，前者是第一精品文档精品文档类欧拉积分，后者是第二类欧拉积分.1.B函数及其相关性质1.1B函数的定义域(,)Bpq=1110(1)pqxx，当1p时0x为瑕点，当1q时1x为瑕点，定义域为.0,0qp任何0,000qp，在0,00qpp内，1110(1)pqxx一致收敛，故B函数在定义域0,0qp内连续.1.2B函数的性质性质1.2.1(对称性)(,)(,)BpqBqp.作变换yx1，),(qpB1110(1)pqxx=1110(1)pqyydy=),(pqB.性质1.2.2（递推公式）(,)Bpq=1(,1)1qBpqpq,(1,0qp)，（1）1(,)(1,)1qBpqBpqpq，)0,1(qp，（2）(1)(1)(,)(1,1)(1)(2)qpBpqBpqpqpq，)1,1(qp.（3）当1,0qp时，有(,)Bpq=1110(1)pqxx=110(1)pqxxP+1201(1)pqqxxdxP=111201[(1)](1)ppqqxxxxdxP=1112110011(1)(1)pqpqqqxxdxxxdxPP=11(,1)(,)qqBpqBpqpp，移项整理即得（1）.公式（2）可由对称性及公式（1)推得，而公式（3）则可由精品文档精品文档公式（1），（2）推得.性质1.2.3（其他形式）在应用上，),(qpB也常以如下形式出现(1)令2cosx，则有(,)Bpq1110(1)pqxx=2121202sincosqpd；(2)令1yxy111xy2(1)dydxy,则有(,)Bpq=1110(1)pqxx=10(1)ppqydyy；(3)考察11(1)ppqydyy.令1yt，则有=10(1)ppqydyy=1110(1)pqpqyydyy(,)Bpq.2.函数及其相关性质2.1函数的定义域10,0sxsxedxs，1、积分区间为无穷；2、当10s时，0x为瑕点；3、当0s时，)(s收敛.写函数为如下两积分之和：10sxsxedx=11101ssxxxedxxedx)()(xJxI，其中110()sxIsxedx，11()sxJsxedx.当1s时，)(sI为正常积分；当01s时，)(sI为收敛的无界函数反常积分.)(sJ对任何实数s，都是收敛的，特别是0s时收敛.所以，函数10sxsxedx在0s时收敛.精品文档精品文档2.2函数的性质性质2.2.1对任意0s，()0s且(1)1.性质2.2.2(1)()sss对任意0s成立.证明有分部积分法得：(1)s=0sxxedx=0sxxe+10sxsxedx=()ss.性质2.2.3log()s是(0,)上的凸函数.证明只要证明对[1,)p，11pq=1，1s，2s(0,)有不等式12log()sspq11log()sp+21log()sq.事实上，由Holder不等式即得12()sspq=12(1)0sspqxxedx=12110()()ssxxppqqxexedx12111100()()ssxxpqxedxxedx=1211()()sspq，性质得证.出乎意料的是，函数的以上三条性质完全确定了函数.这就是说，任意定义在(0,)上的函数，如果具有上面三条性质，那么它一定是函数.这个意想不到的结果是由Bohr和Mollerup首先发现的.性质2.2.4（图像）设1nsn，即10ns，应用性质2可得到)1()1()()1(ssssss).()()1(nsnsss（1）若s为正整数1n，则（1）式可以写成!!)1(12)1()1(0ndxnnnnex.（2）对一切0s，()s和''()s恒大于0，因此()s的图形位于x轴上方，且是精品文档精品文档向下凸的.因为(1)(2)1，所以()s在0s上存在唯一的极小点0x且0(0,2)x.又()s在0(0,)x内严格减；在0,()x内严格增.由于()s=()sss=(1)ss（0s）及0lim(1)(1)1ss，故有00(1)lim()limsssss.由（2）式及()s在0(,)x上严格增可推得lim()ss.综上所述，函数的图像如下图0s部分所示.性质2.2.5（延拓）改写递推公式(1)()sss为(1)()sss.当10s时，(1)ss有意义，于是可应用它来定义左端函数()s在(1,0)内的值，并且可推得这时()s0.用同样的方法，利用()s已在(1,0)内有定义这一事实，由(1)()sss又可定义()s在(2,1)内的值，而且这时()0s.依此下去可把()s延拓到整个数轴（除0,1,2,3s以外），其图像如上图所示.性质2.2.6（其他形式）在应用上，()s也常以如下形式出现(1)令2xy，则有)(s10sxxedx=dxexxs2122(0)s；精品文档精品文档(2)令pyx，可得)(s10sxxedx=10sspypyedy(0,0)sp.3.B函数与函数的关系当,mn为正整数时，反复应用B函数的递推公式可得1(,)(,1)1nBmnBmnmn=121(,1)121nnBmmnmnm.又由于1101(,1)mBmxdxm，所以1(,)(,1)1nBmnBmnmn121(,1)121nnBmmnmnm1n-2111m+n-2m+1mnmn(1)!(1)!(1)!nmmn，即()()(,)()nmBmnnm.对于任何实数0,0qp也有关系式：()()(,)()pqBpqpq.4.欧拉积分的应用4.1欧拉积分在定积分中的应用例1计算积分dxxkxxcos11sincos10，)10(k.分析这道题目被积函数形式复杂，若变化技巧使用不当，则导致计算过程极为复杂，甚至无从下手.这里，我们不妨转化为欧拉积分计算.解令2tan112tanxkkt，则有2tan112tantkkx.精品文档精品文档利用三角恒等式可得tkktxcos1coscos，tkkxkcos11cos12，dttkkdxcos112.将其代入原式得dxxkxxcos11sincos10dttkkktktkkcos111cos12cos112204dtttkk2cos2sin)1()1(210214341tdttkk2120214341cossin)1()1(2)43,41(21)1()1(24341Bkk)4341()411()41(21)1()1(24341kk4sin21)1()1(24341kk4341)1(2)1(kk.4.2欧拉积分在级数计算中的应用例2计算级数012nnn的和.分析这是一道级数的计算问题，采用普通方法计算，其过程将会很复杂，我们可以利用欧拉积分试一试.解012nnn=111!!(1)!!(2)!(2)!nnnnnnnnn=11()(1)(,1)(21)nnnnBnnn=1101(1)nnnttdt精品文档精品文档由于当01t时，10(1)4tt，所以1110(1)()4nnntt因而级数11(1)nnntt在[0,1]上一致收敛，于是有201nnn=110(1)nnttdt=1101((1))nntttdt=101(1)tdttt=1201tdttt=33.4.3欧拉积分在概率和数理统计中的应用例3设)(~2nX，求EX.分析这是一道求卡方分布的期望的问题，我们可以令tx2，将其转化为欧拉积分.解dxexnxdxxxfEXxnn21220)2()21()(dtetntnnt0222x)2(2)2()21(令dtetntnnn011222)()2(22)21()12()2(2nn)2(2)2(2nnnn.例4证明概率积分202dxex.精品文档精品文档分析我们知道，著名的概率积分dxex02及其推广形式dxexxn022的计算是至关重要的，其计算多数采用泰勒公式或转化成二重积分来处理，一般来说，过程比较复杂.但若令2xy，将其转化成欧拉积分，再利用拉积分的性质，则可以迅速获得结果.解令2xy，则dyydxyx212121,，所以dyyedxeyx21002122)21(21.结束语通过以上对B函数函数的性质、特点及其应用的探讨，我们对B函数函数已经有了一些大致的了解，这些都是最基本的.在数学分析中，B函数与函数是两