第1讲.有理数与数轴.尖子班.教师版

1初一秋季·第1讲·尖子班·教师版长度单位实数5级有理数综合运算实数4级有理数与数轴实数3级有理数的混合运算秋季班第二讲秋季班第一讲暑期班第三讲满分晋级阶梯漫画释义1有理数与数轴2初一秋季·第1讲·尖子班·教师版知识点切片（3个）2+1+1知识点目标有理数与数轴（2）1、点表示数；2、比较大小相反数与数轴（1）1、相反数的几何意义绝对值与数轴（1）1、绝对值的几何意义题型切片（6个）对应题目题型目标用数轴表示数例1、练习1数轴上点、线段的移动例2、例3、练习2利用数轴比较大小例4、练习3利用数轴性质建立方程求点对应的数例5、练习4数轴折叠例6、练习5周期问题与数轴例7、练习6数轴：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴；原点、正方向、单位长度称为数轴的三要素，三者缺一不可.有理数与数轴的关系：一切有理数都可以用数轴上的点表示出来.在数轴上，右边的点所对应的数总比左边的点所对应的数大.正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数.注意：数轴上的点不都代表有理数，如.相反数：只有符号不同的两个数，互称为相反数．特别地，0的相反数是0.数轴上，位于原点两侧且到原点距离相等的点表示的数互为相反数.绝对值：一个数a的绝对值就是数轴上表示数a的点与原点的距离．数a的绝对值记作a．正数的绝对值是它本身，0的绝对值是0，负数的绝对值是它的相反数．数轴上的点，对应的数绝对值越大，离原点越远.【例1】⑴在数轴上画出表示12.540252，，，，各数的点，并按从小到大的顺序重新排列，用“”连接起来.⑵如图，数轴上表示数2的相反数的点是（）A．点PB．点QC．点MD．点N⑶数轴的单位长度为1，点A，B表示的数的绝对值相等，那么点A表示的数是（）A．4B．2C．0D．4【解析】⑴分别将数的对应点在数轴上画出，如图，按数轴上从左到右的点对应从小到大的实数，得到14202.552⑵A.⑶B.用数轴表示数思路导航知识、题型切片3210﹣1﹣2PQNMBA52.50-212-4543210-1-2-3-4-53初一秋季·第1讲·尖子班·教师版【例2】⑴数轴上有一点A，它表示的有理数是3，将点A向左移动3个单位得到点B，再向右移动8个单位，得到点C，则点B表示的数是，点C表示的数是．⑵在数轴上，坐标是整数的点称为“整点”．设数轴的单位长度是1厘米，若在这个数轴上随意画出一条长2013厘米的线段AB，则线段AB盖住的整点至少有个，至多有个．【解析】⑴由数轴的基本定义可知为62，.⑵2013；2014针对例2⑵的铺垫：1、⑴在数轴上，表示1999和1999的两个点之间有个整数（含1999和1999）．⑵在数轴上，表示1999.1和1999.9的两个点之间有个整数．【解析】⑴3999；⑵3999．针对例2⑵的拓展：1、设数轴的单位长度是1厘米，若在这个数轴上随意画出一条长120132厘米的线段AB，则线段AB盖住的整点至少有个，至多有个．2、设数轴的单位长度是1厘米，若在这个数轴上随意画出一条长M（M为正整数）厘米的线段AB，则线段AB盖住的整点至少有个，至多有个．3、设数轴的单位长度是1厘米，若在这个数轴上随意画出一条长M（1mMm，m为正整数）厘米的线段AB，则线段AB盖住的整点至少有个，至多有个．【解析】1、2013；2014.2、M，1M.3、m，1m.【例3】⑴一个机器人从数轴原点出发，沿数轴正方向以每前进3步后退2步的程序运动，设该机器人每秒钟前进或后退1步，并且每步的距离为1个单位长，nx表示第n秒时机器人在数轴上的位置所对应的数.①求3x、5x的值.②比较2013x与2014x的大小.⑵电子跳蚤在数轴上的某一点0K，第一步由点0K向左跳1个单位到点1K，第二步由点1K向右跳2个单位到点2K，第三步由点2K向左跳3个单位到点3K，第四步由点3K向右跳4个单位到点4K，…，按以上规律跳了100步时，电子跳蚤落在数轴上的点100K所表示的数恰好是19.94．求电子跳蚤的初始位置点0K所表示的数．【解析】⑴①33x，51x.②2013405x，2014404x，20132014xx.⑵假设电子跳蚤的起点0K为0x，规定向左为负，向右为正，根据题意可得：01234569910019.94x，030.06x．数轴上点、线段的移动4初一秋季·第1讲·尖子班·教师版【例4】⑴有理数ab，在数轴上的对应点如图，试比较aabbabab，，，，，的大小.0ba⑵已知ab，是不为0的有理数，且aabbab，，，那么用数轴上的点来表示ab，，正确的应该是哪一个（）DCBAab0ab0ab00ba【解析】⑴根据ab，在数轴上的位置可知，00ab，，且a的绝对值比2b的绝对值大，所以abaabbba.⑵C，根据题意，00ab，，且在数轴上a的对应点与原点的距离较b的对应点大.【例5】⑴如图，数轴上标出若干点，每相邻的两点相距一个单位长度，点A、B、C、D对应的数分别为整数a、b、c、d，且24da．试问：数轴上的原点在哪一点上？ABCDMNabcd⑵如图，数轴上标出若干个点，每相邻的两点相距1个单位，点A、B、C、D对应的数分别是整数a、b、c、d．①若2abcd，那么与数轴原点最接近的点是（）A．A点B．B点C．C点D．D点②若7ab，那么与数轴原点最接近的点是（）A．A点B．B点C．C点D．D点⑶如图，在数轴上有若干个点，每相邻两个点之间的距离是一个单位长，有理数a、b、c、d所表示的点是这些点中的4个，且在数轴上的位置如图所示，已知343ab，求2cd的值.dcba【解析】⑴由数轴可知，3da，代入24da得324aa，解得1a所以原点应在点B处．⑵①C．(3)(4)(7)2aaaa，4a，1b，0c，3d．②A．37aa，4aa，∴0a，2a．⑶2.提示：2ba.利用数轴的性质建立方程求点对应的数数轴折叠利用数轴比较大小DCBA5初一秋季·第1讲·尖子班·教师版【例6】已知在纸面上有一数轴（如图），折叠纸面．10⑴若1表示的点与1表示的点重合，则2表示的点与数表示的点重合：⑵若1表示的点与3表示的点重合，则5表示的点与数表示的点重合；⑶若数轴上A、B两点之间的距离为c个单位长度，点A表示的有理数是a，并且A、B两点经折叠后重合，请写出此时折线与数轴的交点表示的有理数是多少？【解析】⑴2；⑵3；⑶此时折线与数轴的交点表示的有理数是12ac.【例7】如图所示，数轴被折成90，圆的周长为4个单位长度，在圆的4等分点处标上数字0，1，2，3．先让圆周上数字2所对应的点与数轴上的数3所对应的点重合，数轴固定，圆紧贴数轴沿着数轴的正方向滚动，那么数轴上的数2013将与圆周上的数字重合？98765431023【解析】201345031，则与数字0重合．针对例7的铺垫：如图所示，圆的周长为4个单位长度，在圆的4等分点处标上数字0，1，2，3．先让圆周上数字0所对应的点与数轴上的数1所对应的点重合，再让数轴按逆时针方向绕在该圆上，那么数轴上的数2012将与圆周上的数字重合．3210-5-4-3-2-10【解析】20124503，则与数字0重合．针对例7的拓展：1、如图所示，一数轴被折围成长为3，宽为2的长方形，圆的周长为4且圆上刻一指针，若1在数轴固定的情况下，圆紧贴数轴沿数轴正方向滚动，当圆与7接触的时候，指针的方向是（）DCBA76543210-1周期问题与数轴6初一秋季·第1讲·尖子班·教师版2、如图，边长为1的等边三角形ABC从图示的位置开始在数轴上顺时针无滑动地向右滚动，当三角形的一个顶点落在2013x处时，三角形停止滚动.①落在2013x处的点是ABC△的哪个顶点？说明理由.②在滚动过程中，点A走过的路程是多少？…201310CBA3、把一数轴折成如图所示，第1段为1个单位长度，第2段为2个单位长度，第3段为3个单位长度，……，点O处有一个圆，圆上刻一指针，开始指针朝东，圆周为4个单位长度，圆紧贴数轴沿着数轴的正方向滚动，当圆与点A接触时，指针指向（东、南、西、北），当圆与2009接触时，指针指向（东、南、西、北）．O北西南东A-10【解析】1、C．2、①顶点C；②894.3、在直的数轴上，线段41AO，414101，指针指向北；2009(14)2023，因为636420162，202320167，故2009在点O的西边，202345053，指针指向西．7初一秋季·第1讲·尖子班·教师版训练1.已知ab与ab互为相反数，求2000200020032003abab【解析】0.因为ab与ab互为相反数，所以0abab，从而得到00ab，所以原式等于0.训练2.在数轴上任取一条长度为119999的线段，则此线段在这条数轴上最多能盖住的整数点的个数为.【解析】2000.训练3.设a是大于1的有理数，若a，23a，213a在数轴上对应的点分别记作A，B，C，则A，B，C三点在数轴上自左至右的顺序是.（人大附中期中）【解析】BCA.训练4.⑴a、b、c、d分别为有理数，a是绝对值最小的有理数，b是最小的正整数，c的相反数是其本身，d为负数且它的倒数是本身．求：①ab的值；②abcd的值．⑵非零整数m，n满足||||50mn，所有这样的有序（即,,mnnm和不同）整数组mn，共有组．（清华附中期中）【解析】⑴0ab，2abcd；⑵5mn，若1m，4n，有14，，14，，14，，14，；若2m，3n，有23，，23，，23，，23，；若3m，2n，有32，，32，，32，，32，；若4m，1n，有41，，41，，41，，41，.所以共有16组．思维拓展训练(选讲)8初一秋季·第1讲·尖子班·教师版用数轴表示数【练习1】一辆货车从超市出发，向东走了3km到达小彬家，继续向前走了1.5km到达小颖家，然后向西走了9.5km到达小明家，最后回到超市⑴以超市为原点，向东作为正方向，用1个单位长度表示1km，在数轴上表示出小明，小彬，小颖家的位置.⑵小明家距离小彬家多远？⑶货车一共行驶了多少千米？【解析】⑴如图所示：小颖家小彬家超市小明家西东0-6-5-4-3-2-154321⑵小明距离小彬家8km⑶货车共行驶了31.59.5519km.数轴上的点、线段的移动【练习2】⑴在数轴上，点A和点B都在与154对应的点上，若点A以每秒3个单位长度的速度向右运动，点B以每秒2个单位长度的速度向左运动，则7秒之后，点A和点B所处的位置对应的数是什么？这时线段AB的长度是多少？⑵在数轴上表示整数的点称为整数点，某数轴的单位长度是1cm，若在这个数轴上随意画出一条长2007cm的线段AB．被线段AB盖住的整数有（）个．A．2005或2006B．2006或2007C．2007或2008D．2008或2009【解析】⑴点A对应的数是694，点B对应的数是714，线段AB的长度是35；⑵C.利用数轴比较大小【练习3】数abcd，，，所对应的点ABCD，，，在数轴上的位置如图所示，那么ac与bd的大小关系为.【解析】acbd.利用数轴性质建立方程求点对应的数【练习4】如图，数轴上标出若干个点，每相邻两点相距1个单位，点A、B、C、D对应的整数a、b、c、d，且29ba，那么数轴的原点对应点是（）．A．A点B．B点C．C点D．D点DCBA【解析】C．2(4)9bb，1b．数轴折叠【练习5】已知在纸面上有一数轴（如图），折叠纸面．复习巩固0DCBA9初一秋季·第1讲·尖子班·教师版10⑴若1表示的点与5表示的点重合，则7表示的点与