72同济大学第六版高等数学课后答案详解全集

同济六版高等数学课后答案全集第一章习题111设A(5)(5)B[103)写出ABABA\B及A\(A\B)的表达式2设A、B是任意两个集合证明对偶律(AB)CACBC3设映射fXYAXBX证明(1)f(AB)f(A)f(B)(2)f(AB)f(A)f(B)4设映射fXY若存在一个映射gYX使XIfgYIgf其中IX、IY分别是X、Y上的恒等映射即对于每一个xX有IXxx对于每一个yY有IYyy证明f是双射且g是f的逆映射gf15设映射fXYAX证明(1)f1(f(A))A(2)当f是单射时有f1(f(A))A6求下列函数的自然定义域(1)23xy(2)211xy(3)211xxy(4)241xy(5)xysin(6)ytan(x1)(7)yarcsin(x3)(8)xxy1arctan3(9)yln(x1)(10)xey17下列各题中函数f(x)和g(x)是否相同？为什么？(1)f(x)lgx2g(x)2lgx(2)f(x)xg(x)2x(3)334)(xxxf31)(xxxg(4)f(x)1g(x)sec2xtan2x8设3||03|||sin|)(xxxx求)6()4()4((2)并作出函数y(x)的图形9试证下列函数在指定区间内的单调性(1)xxy1(1)(2)yxlnx(0)10设f(x)为定义在(ll)内的奇函数若f(x)在(0l)内单调增加证明f(x)在(l0)内也单调增加11设下面所考虑的函数都是定义在对称区间(ll)上的证明(1)两个偶函数的和是偶函数两个奇函数的和是奇函数(2)两个偶函数的乘积是偶函数两个奇函数的乘积是偶函数偶函数与奇函数的乘积是奇函数12下列函数中哪些是偶函数哪些是奇函数哪些既非奇函数又非偶函数？(1)yx2(1x2)(2)y3x2x3(3)2211xxy(4)yx(x1)(x1)(5)ysinxcosx1(6)2xxaay13下列各函数中哪些是周期函数？对于周期函数指出其周期(1)ycos(x2)(2)ycos4x(3)y1sinx(4)yxcosx(5)ysin2x14求下列函数的反函数(1)31xy错误!未指定书签。错误!未指定书签。(2)xxy11错误!未指定书签。(3)dcxbaxy(adbc0)(4)y2sin3x(5)y1ln(x2)(6)122xxy15设函数f(x)在数集X上有定义试证函数f(x)在X上有界的充分必要条件是它在X上既有上界又有下界16在下列各题中求由所给函数复合而成的函数并求这函数分别对应于给定自变量值x1和x2的函数值(1)yu2usinx61x32x(2)ysinuu2x81x42x(3)uyu1x2x11x22(4)yeuux2x10x21(5)yu2uexx11x2117设f(x)的定义域D[01]求下列各函数的定义域(1)f(x2)(2)f(sinx)(3)f(xa)(a0)(4)f(xa)f(xa)(a0)18设1||11||01||1)(xxxxfg(x)ex错误!未指定书签。求f[g(x)]和g[f(x)]并作出这两个函数的图形19已知水渠的横断面为等腰梯形斜角40(图137)当过水断面ABCD的面积为定值S0时求湿周L(LABBCCD)与水深h之间的函数关系式并指明其定义域图13720收敛音机每台售价为90元成本为60元厂方为鼓励销售商大量采购决定凡是订购量超过100台以上的每多订购1台售价就降低1分但最低价为每台75元(1)将每台的实际售价p表示为订购量x的函数(2)将厂方所获的利润P表示成订购量x的函数(3)某一商行订购了1000台厂方可获利润多少？习题121观察一般项xn如下的数列{xn}的变化趋势写出它们的极限(1)nnx21(2)nxnn1)1((3)212nxn(4)11nnxn(5)xnn(1)n2设数列{xn}的一般项nnxn2cos问nnxlim?求出N使当nN时xn与其极限之差的绝对值小于正数当0001时求出数N3根据数列极限的定义证明(1)01lim2nn(2)231213limnnn(3)1lim22nann(4)19999.0lim个nn4aunnlim证明||||limaunn并举例说明如果数列{|xn|}有极限但数列{xn}未必有极限5设数列{xn}有界又0limnny证明0limnnnyx6对于数列{xn}若x2k1a(k)x2ka(k)习题131根据函数极限的定义证明(1)8)13(lim3xx(2)12)25(lim2xx(3)424lim22xxx(4)21241lim321xxx2根据函数极限的定义证明(1)2121lim33xxx(2)0sinlimxxx3当x2时yx24问等于多少使当|x2|时|y4|0001？4当x时13122xxy问X等于多少使当|x|X时|y1|001?5证明函数f(x)|x|当x0时极限为零6求,)(xxxfxxx||)(当x0时的左﹑右极限并说明它们在x0时的极限是否存在7证明若x及x时函数f(x)的极限都存在且都等于A则Axfx)(lim8根据极限的定义证明函数f(x)当xx0时极限存在的充分必要条件是左极限、右极限各自存在并且相等9试给出x时函数极限的局部有界性的定理并加以证明习题141两个无穷小的商是否一定是无穷小？举例说明之2根据定义证明(1)392xxy当x3时为无穷小;(2)xxy1sin当x0时为无穷小3根据定义证明函数xxy21为当x0时的无穷大问x应满足什么条件能使|y|104？4求下列极限并说明理由(1)xxx12lim;(2)xxx11lim206函数yxcosx在()内是否有界？这个函数是否为当x时的无穷大？为什么？7证明函数xxy1sin1在区间(01]上无界但这函数不是当x0+时的无穷大习题151计算下列极限(1)35lim22xxx(2)13lim223xxx(3)112lim221xxxx(4)xxxxxx2324lim2230(5)hxhxh220)(lim(6))112(lim2xxx(7)121lim22xxxx(8)13lim242xxxxx(9)4586lim224xxxxx(10))12)(11(lim2xxx(11))2141211(limnn(12)2)1(321limnnn(13)35)3)(2)(1(limnnnnn(14))1311(lim31xxx2计算下列极限(1)2232)2(2limxxxx(2)12lim2xxx(3))12(lim3xxx3计算下列极限(1)xxx1sinlim20(2)xxxarctanlim4证明本节定理3中的(2)习题171当x0时2xx2与x2x3相比哪一个是高阶无穷小？2当x1时无穷小1x和(1)1x3(2))1(212x是否同阶？是否等价？(2)因为1)1(lim211)1(21lim121xxxxx3证明当x0时有(1)arctanx~x(2)2~1sec2xx4利用等价无穷小的性质求下列极限(1)xxx23tanlim0(2)mnxxx)(sin)sin(lim0(nm为正整数)(3)xxxx30sinsintanlim(4))1sin1)(11(tansinlim320xxxxx5证明无穷小的等价关系具有下列性质(1)~(自反性)(2)若~则~(对称性)(3)若~~则~(传递性)习题181研究下列函数的连续性并画出函数的图形(1)21210)(2xxxxxf(2)1||111)(xxxxf2下列函数在指出的点处间断说明这些间断点属于哪一类如果是可去间断点则补充或改变函数的定义使它连续(1)23122xxxyx1x2(2)xxytanxk2kx(k012)(3)xy1cos2x0(4)1311xxxxyx13讨论函数xxxxfnnn2211lim)(的连续性若有间断点判别其类型4证明若函数f(x)在点x0连续且f(x0)0则存在x0的某一邻域U(x0)当xU(x0)时f(x)05试分别举出具有以下性质的函数f(x)的例子(1)x01221nn1是f(x)的所有间断点且它们都是无穷间断点(2)f(x)在R上处处不连续但|f(x)|在R上处处连续(3)f(x)在R上处处有定义但仅在一点连续习题191求函数633)(223xxxxxxf的连续区间并求极限)(lim0xfx)(lim3xfx及)(lim2xfx2设函数f(x)与g(x)在点x0连续证明函数(x)max{f(x)g(x)}(x)min{f(x)g(x)}在点x0也连续3求下列极限(1)52lim20xxx(2)34)2(sinlimxx(3))2cos2ln(lim6xx(4)xxx11lim0(5)145lim1xxxx(6)axaxaxsinsinlim(7))(lim22xxxxx4求下列极限(1)xxe1lim(2)xxxsinlnlim0(3)2)11(limxxx(4)xxx2cot20)tan31(lim(5)21)63(limxxxx(6)xxxxxx20sin1sin1tan1lim5设函数00)(xxaxexfx应当如何选择数a使得f(x)成为在()内的连续函数？习题1101证明方程x53x1至少有一个根介于1和2之间2证明方程xasinxb其中a0b0至少有一个正根并且它不超过ab3设函数f(x)对于闭区间[ab]上的任意两点x、y恒有|f(x)f(y)|L|xy|其中L为正常数且f(a)f(b)0证明至少有一点(ab)使得f()04若f(x)在[ab]上连续ax