2005-2017考研数学一真题(纯试题排版打印版)

2005年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、填空题(本题共6小题,每小题4分,满分24分.把答案填在题中横线上)(1)曲线122xxy的斜渐近线方程为_____________.(2)微分方程xxyyxln2满足91)1(y的解为____________.(3)设函数181261),,(222zyxzyxu,单位向量}1,1,1{31n,则)3,2,1(nu=.________.(4)设是由锥面22yxz与半球面222yxRz围成的空间区域,是的整个边界的外侧,则zdxdyydzdxxdydz____________.(5)设123,,ααα均为3维列向量,记矩阵123(,,)Aααα,123123123(,24,39)Bααααααααα,如果1A,那么B.(6)从数1,2,3,4中任取一个数,记为X,再从X,,2,1中任取一个数,记为Y,则}2{YP=____________.二、选择题(本题共8小题,每小题4分,满分32分.每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)(7)设函数nnnxxf31lim)(,则()fx在),(内(A)处处可导(B)恰有一个不可导点(C)恰有两个不可导点(D)至少有三个不可导点(8)设()Fx是连续函数()fx的一个原函数,NM表示M的充分必要条件是,N则必有(A)()Fx是偶函数()fx是奇函数(B)()Fx是奇函数()fx是偶函数(C)()Fx是周期函数()fx是周期函数(D)()Fx是单调函数()fx是单调函数(9)设函数yxyxdttyxyxyxu)()()(),(,其中函数具有二阶导数,具有一阶导数,则必有(A)2222yuxu(B)2222yuxu(C)222yuyxu(D)222xuyxu(10)设有三元方程lne1xzxyzy,根据隐函数存在定理,存在点(0,1,1)的一个邻域,在此邻域内该方程(A)只能确定一个具有连续偏导数的隐函数(,)zzxy(B)可确定两个具有连续偏导数的隐函数(,)xxyz和(,)zzxy(C)可确定两个具有连续偏导数的隐函数(,)yyxz和(,)zzxy(D)可确定两个具有连续偏导数的隐函数(,)xxyz和(,)yyxz(11)设21,是矩阵A的两个不同的特征值,对应的特征向量分别为12,αα,则1α,12()Aαα线性无关的充分必要条件是(A)01(B)02(C)01(D)02(12)设A为(2)nn阶可逆矩阵,交换A的第1行与第2行得矩阵**.,BAB分别为,AB的伴随矩阵,则(A)交换*A的第1列与第2列得*B(B)交换*A的第1行与第2行得*B(C)交换*A的第1列与第2列得*B(D)交换*A的第1行与第2行得*B(13)设二维随机变量(,)XY的概率分布为XY0100.4a1b0.1已知随机事件}0{X与}1{YX相互独立,则(A)0.2,0.3ab(B)0.4,0.1ab(C)0.3,0.2ab(D)0.1,0.4ab(14)设)2(,,,21nXXXn为来自总体(0,1)N的简单随机样本,X为样本均值,2S为样本方差,则(A))1,0(~NXn(B)22~()nSn(C))1(~)1(ntSXn(D)2122(1)~(1,1)niinXFnX三、解答题(本题共9小题,满分94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)(15)(本题满分11分)设}0,0,2),{(22yxyxyxD,]1[22yx表示不超过221yx的最大整数.计算二重积分Ddxdyyxxy.]1[22(16)(本题满分12分)求幂级数121))12(11()1(nnnxnn的收敛区间与和函数()fx.(17)(本题满分11分)如图,曲线C的方程为()yfx,点(3,2)是它的一个拐点,直线1l与2l分别是曲线C在点(0,0)与(3,2)处的切线,其交点为(2,4).设函数()fx具有三阶连续导数,计算定积分302.)()(dxxfxx(18)(本题满分12分)已知函数()fx在[0,1]上连续,在(0,1)内可导,且(0)0,(1)1ff.证明:(1)存在),1,0(使得1)(f.(2)存在两个不同的点)1,0(,,使得.1)()(ff(19)(本题满分12分)设函数)(y具有连续导数,在围绕原点的任意分段光滑简单闭曲线L上,曲线积分24()22Lydxxydyxy的值恒为同一常数.(1)证明:对右半平面0x内的任意分段光滑简单闭曲线,C有24()202Cydxxydyxy.(2)求函数)(y的表达式.(20)(本题满分9分)已知二次型21232221321)1(22)1()1(),,(xxaxxaxaxxxf的秩为2.(1)求a的值；(2)求正交变换xyQ,把),,(321xxxf化成标准形.(3)求方程),,(321xxxf=0的解.(21)(本题满分9分)(22)已知3阶矩阵A的第一行是cbacba,,),,,(不全为零,矩阵12324636kB(k为常数),且ABO,求线性方程组0xA的通解.(22)(本题满分9分)设二维随机变量(,)XY的概率密度为(,)fxy1001,02xyx其它求:(1)(,)XY的边缘概率密度)(),(yfxfYX.(2)YXZ2的概率密度).(zfZ(23)(本题满分9分)设)2(,,,21nXXXn为来自总体(0,1)N的简单随机样本,X为样本均值,记.,,2,1,niXXYii求:(1)iY的方差niDYi,,2,1,.(2)1Y与nY的协方差1Cov(,).nYY2006年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、填空题(本题共6小题,每小题4分,满分24分.把答案填在题中横线上)(1)0ln(1)lim1cosxxxx.(2)微分方程(1)yxyx的通解是.(3)设是锥面22zxy(01z)的下侧,则23(1)xdydzydzdxzdxdy.(4)点(2,1,0)到平面3450xyz的距离z=.(5)设矩阵2112A,E为2阶单位矩阵,矩阵B满足2BABE,则B=.(6)设随机变量X与Y相互独立,且均服从区间[0,3]上的均匀分布,则max{,}1PXY=.二、选择题(本题共8小题,每小题4分,满分32分.每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)(7)设函数()yfx具有二阶导数,且()0,()0fxfx,x为自变量x在0x处的增量,y与dy分别为()fx在点0x处对应的增量与微分,若0x,则(A)0dxy(B)0ydy(C)0ydy(D)0dyy(8)设(,)fxy为连续函数,则1400(cos,sin)dfrrrdr等于(A)22120(,)xxdxfxydy(B)221200(,)xdxfxydy(C)22120(,)yydyfxydx(C)221200(,)ydyfxydx(9)若级数1nna收敛,则级数(A)1nna收敛(B)1(1)nnna收敛(C)11nnnaa收敛(D)112nnnaa收敛(10)设(,)fxy与(,)xy均为可微函数,且1(,)0yxy.已知00(,)xy是(,)fxy在约束条件(,)0xy下的一个极值点,下列选项正确的是(A)若00(,)0xfxy,则00(,)0yfxy(B)若00(,)0xfxy,则00(,)0yfxy(C)若00(,)0xfxy,则00(,)0yfxy(D)若00(,)0xfxy,则00(,)0yfxy(11)设12,,,,sααα均为n维列向量,A是mn矩阵,下列选项正确的是(A)若12,,,,sααα线性相关,则12,,,,sAαAαAα线性相关(B)若12,,,,sααα线性相关,则12,,,,sAαAαAα线性无关(C)若12,,,,sααα线性无关,则12,,,,sAαAαAα线性相关(D)若12,,,,sααα线性无关,则12,,,,sAαAαAα线性无关.(12)设A为3阶矩阵,将A的第2行加到第1行得B,再将B的第1列的-1倍加到第2列得C,记110010001P,则(A)1CPAP(B)1CPAP(C)TCPAP(D)TCPAP(13)设,AB为随机事件,且()0,(|)1PBPAB,则必有(A)()()PABPA(B)()()PABPB(C)()()PABPA(D)()()PABPB(14)设随机变量X服从正态分布211(,)N,Y服从正态分布222(,)N,且12{||1}{||1},PXPY则(A)12(B)12(C)12(D)12三、解答题(本题共9小题,满分94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)(15)(本题满分10分)设区域D=22,1,0xyxyx,计算二重积分2211DxyIdxdyxy.(16)(本题满分12分)设数列nx满足110,sin1,2,...nxxxn.求:(1)证明limnxx存在,并求之.(2)计算211limnxnxnxx.(17)(本题满分12分)将函数22xfxxx展开成x的幂级数.(18)(本题满分12分)设函数0,,fu在内具有二阶导数且22zfxy满足等式22220zzxy.(1)验证0fufuu.(2)若10,11,ff求函数()fu的表达式.(19)(本题满分12分)设在上半平面,0Dxyy内,数,fxy是有连续偏导数,且对任意的0t都有2,,ftxtytfxy.证明:对L内的任意分段光滑的有向简单闭曲线L,都有(,)(,)0Lyfxydxxfxydy.(20)(本题满分9分)已知非齐次线性方程组1234123412341435131xxxxxxxxaxxxbx有3个线性无关的解,(1)证明方程组系数矩阵A的秩2rA.(2)求,ab的值及方程组的通解.(21)(本题满分9分)设3阶实对称矩阵A的各行元素之和均为3,向量121,2,1,0,1,1TTαα是线性方程组0xA的两个解.(1)求A的特征值与特征向量.(2)求正交矩阵Q和对角矩阵A,使得TQAQA.(22)(本题满分9分)随机变量x的概率密度为21,1021,02,,40,令其它xxfxxyxFxy为二维随机变量(,)XY的分布函数.(1)求Y的概率密度Yfy.(2)1,42F.(23)(本题满分9分)设总体X的概率密度为(,0)FX100112xx其它,其中是未知参数(01),12n,...,XXX为来自总体X的简单随机样本,记N为样本值12,...,nxxx中小于1的个数,求的最大似然估计.2007年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、选择题(本题共10小题,每小题4分,满分40分,在每小题给的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后括号内)(1)当0x时,与x等价的无穷小量是(A