第2章-随机过程与排队轮基础

1第二章随机过程与排队轮基础无线通信与网络研究室李屹博士/副教授/硕导通信网基础2准备知识:随机过程3准备知识:随机过程4准备知识:计数过程随机过程{N(t),t≥0}称为一个计数过程。N(t)表示到时刻t为止已发生的“事件”的总数。N(t)≥0；N(t)是整数；N(t)≥N(s)，当t≥s；N(t)-N(s)代表时间区间[t,s)中发生的“事件”数5随机事件的两种描述法6随机事件的概率特征描述7随机事件的概率特征描述8随机事件特征量的物理意义9随机事件特征量的物理意义10Poisson过程定义：计数过程N(t)服从泊松分布的随机过程，即长度为t的时间内到达k个事件的概率为其中λ0是泊松流的强度，表示平均到达率；且N(0)=0；不相交区间上增量相互独立，即对一切0≤t1t2…tn，N(t1),N(t2)-N(t1),N(t3)-N(t2),…,N(tn)-N(tn-1)相互独立。应用：广泛用于各种随机事件的描述或近似，可用来描述完全不可预测的随机事件和大量随机事件的叠加。etkkkttp!)()(,2,1,0k11（1）平稳性:在区间内有k个事件到来的概率与起点a无关，只与时间区间的长度有关，这个概率记为（2）无记忆性：不相交区间内到达的事件数是相互独立的；（3）稀疏性:令表示长度为t的区间内至少到达两个事件的概率，则（4）有限性：在任意有限区间内到达有限个事件的概率为1，即taa,)(),(tPtaaPkk)(t1)(0tPkk)()(tot0tPoisson过程12都可以近似看作泊松流.某电话交换台收到的电话呼叫数；到某机场降落的飞机数;一个售货员接待的顾客数;一台纺纱机的断头数;一放射性源放射出的粒子数；Poisson过程13Poisson过程14例题分析设电话呼叫按30次/小时的泊松过程进行，求5分钟间隔内，(1)没有呼叫的概率；(2)呼叫3次的概率。解：按题意λ=30次/h=0.5次/mint=5min，分别计算k=0或k=3214.0!35.2)5(082.0)5(55.03355.00ePeP15SiméonDenisPoissonBorn:6/21/1781-Pithiviers,FranceDied:4/25/1840-Sceaux,France“Lifeisgoodforonlytwothings:discoveringmathematicsandteachingmathematics.”16SiméonDenisPoissonPoisson’sfatheroriginallywantedhimtobecomeadoctor.Afterabriefapprenticeshipwithanuncle,Poissonrealizedhedidnotwanttobeadoctor.AftertheFrenchRevolution,moreopportunitiesbecameavailableforPoisson,whosefamilywasnotpartofthenobility.PoissonwenttotheÉcoleCentraleandlatertheÉcolePolytechniqueinParis,whereheexcelledinmathematics,despitehavingmuchlessformaleducationthanhispeers.17Poisson’seducationandworkPoissonimpressedhisteachersLaplaceandLagrangewithhisabilities.Unfortunately,theÉcolePolytechniquespecializedingeometry,andPoissoncouldnotdrawdiagramswell.However,hisfinalpaperonthetheoryofequationswassogoodhewasallowedtograduatewithouttakingthefinalexamination.Aftergraduating,PoissonreceivedhisfirstteachingpositionattheÉcolePolytechniqueinParis,whichrarelyhappened.Poissondidmostofhisworkonordinaryandpartialdifferentialequations.Healsoworkedonproblemsinvolvingphysicaltopics,suchaspendulumsandsound.18Poisson’saccomplishmentsHehasmanymathematicalandscientifictoolsnamedforhim,includingPoisson'sintegral,Poisson'sequationinpotentialtheory,Poissonbracketsindifferentialequations,Poisson'sratioinelasticity,andPoisson'sconstantinelectricity.HefirstpublishedhisPoissondistributionin1837inRecherchessurlaprobabilitédesjugementsenmatièrecriminelleetmatièrecivile.Althoughthiswasimportanttoprobabilityandrandomprocesses,otherFrenchmathematiciansdidnotseehisworkassignificant.HisaccomplishmentsweremoreacceptedoutsideFrance,suchasinRussia,whereChebychevusedPoisson’sresultstodevelophisown.19泊松过程的期望与方差()(),0,1,2,,!kttPXkekk0kkkpxXE1()1!ktktek11()1!ktkttekt0()!ktktkek20022kkkpxXE1()1!ktktkektt2)(1()111!ktktkek1!1)(kktkktke22EXXEXDt20()!ktktkek1()11!ktktkek泊松过程的期望与方差21Poisson过程的叠加和分解22Poisson过程的叠加性质2-1：m个Poisson流的参数分别为，，……，，并且它们是相互独立的，合并流仍然为Poisson流，且参数为。这个性质也就是说独立的Poisson过程是可加的。12mm21λ=λ1+λ2λ1λ223性质2-2：参数为的Poisson流到达交换局A后，每个呼叫将独立去两个不同方向，且去两个方向的概率分别为则Poisson流被分解为两个独立的Poisson流，参数分别为2121和iiP2,1iPoisson过程的分解24设N(t)表示一个Poisson过程，假设t,i=0,1,2,⋅⋅⋅i为相应的呼叫到达时刻，考虑呼叫的间隔：根据Poisson的特性随机变量X满足P{X≥t}=e−λt，分布函数为：P{Xt}=1−e−λt,t≥0Poisson过程和负指数分布的关系25Poisson过程和负指数分布的关系21Dev.1mean26Poisson过程和负指数分布的关系残余分布和原始分布服从一致的分布，这个性质被称为无记忆性。27负指数分布的特性假设T1,T2为相互独立的两个负指数分布，参数分别为λ1,λ2，令T=min(T1,T2)，则：（1）T是一个以λ1+λ2为参数的负指数分布；（2）T的分布和Ti谁是较小数无关；（3）一个随机过程是参数λ的Poisson过程的充分必要条件为到达间隔Xi,i=1,2⋅⋅⋅相互独立，且服从相同参数λ的负指数分布。28性质2.4的证明(1)因为P[Tt]=P[min(T1,T2)t]=P[T1t,T2t]=P[T1t]P[T2t]又因为，所以11[]tPTte22[]tPTte12()[]tPTte(2)先证明11212[]PTT121212121212100112[]xyxyxyxyxPTTedxdyeedydxeedx29(3)需要证明的就是随机变量T与随机事件T1T2互相独立，所以只要证明P[Tt,T1T2]=P[Tt]P[T1T2]。2111212121221()()111212[,][][][]yxtTxxtPTtTTPtTTedyedxedxePTtPTT性质2.4的证明30例题分析(1/6)31例题分析(2/6)32例题分析(3/6)33例题分析(4/6)34例题分析(5/6)35例题分析(6/6)36名言中的数学哲理37由泊松定理，n重贝努里试验中稀有事件出现的次数近似地服从泊松分布.我们把在每次试验中出现概率很小的事件称作稀有事件.如地震、火山爆发、特大洪水、意外事故等等名言中的数学哲理38生灭过程的应用与举例应用：用于处理输入过程为最简单流，服务时间为指数分布的一类最简单的排队模型。举例：(1)某地区人口数量的自然增减(2)细菌的繁殖与死亡(3)服务窗口前顾客数的变化39生灭过程的定义用N(t)表示系统在时刻t的状态，N(t)取非负整数值。如果N(t)=k，称在时刻t系统处于状态k。系统是生灭过程的条件：（a）在时间(t,t+Δt)内系统从状态k(k≥0)转移到k+1的概率为λk⋅Δt+o(Δt)，这里λk为在状态k的出生率；（b）在时间(t,t+Δt)内系统从状态k(k≥1)转移到k−1的概率为μk⋅Δt+o(Δt)，这里μk为在状态k的死亡率；（c）在时间(t,t+Δt)内系统发生跳转的概率为o(Δt)；（d）在时间(t,t+Δt)内系统停留在状态k的概率为1−(λk+μk)Δt+o(Δt)。40生灭过程的定义41生灭过程的状态转移生灭过程的状态转移图状态转移图包含系统的所有状态和所有可能的变化。状态变化仅仅发生在相邻的状态之间，整个状态图是一个有限或无限的链。•生灭过程是一个马尔可夫链4211{|,...,}llmkmkjjjjmmpXiXiXiXi{|}mkmkmmpXiXi“将来”“过去”“现在”=“将来”“现在”---马氏性(无记忆性，无后效性)马尔可夫链的概念43生灭过程的特性生灭过程是一种特殊的离散状态的连续时间马尔可夫过程，或被称为连续时间马尔可夫链。生灭过程的特殊性在于状态为有限个或可数个，并且系统的状态变化一定是在相邻状态之间进行。生灭过程的极限解或稳态解有很简单的形式。应用：考虑一个电话机中的呼叫数，既可以增加也可以减少，所以需要引入的生灭过程可以用来描述电话交换机中呼叫数的变化。Poisson过程是一种特殊的纯生过程。44生灭过程的稳态分布考虑系统的稳态分布。生灭过程满足的柯尔莫哥洛夫（Kolmogorov）方程。pk(t)=P{N(t)=k}；pik(t)为系统从状态i经过时间t后转移到k的条件概率：根据生灭过程性质有45生灭过程的稳态分布推导后当Δt→0时，有称为柯尔莫