导数的乘除法法则

复习回顾两个函数和（差）的导数，等于这两个函数导数的和（差），即)()()()(xgxfxgxf)()()()(xgxfxgxf＊求导的加减法法则：前面学习了导数的加法减法运算法则，下面来研究两个函数积、商的导数求法：引例：设在处的导数为，，求在处的导数。2)(xxg)()()(2xfxxgxfy)(xfy0x0x)(xf我们观察与、之间的联系，)(xg)(xf)()(xgxf从定义式中，能否变换出和？？)(xg)(xf)()()(020020xfxxxfxxy对于的改变量，有0xxxxfxxxfxxxy)()()(020020平均变化率：如何得到、？)(xg)(xfxxxxxxgxxfxxfxxf202000)()()()()(即出现：解析xxfxxxxfxxfxx)()()()()(020200020xxfxxxfxxxy)()()(020020)()()()()(020200020xfxxxxxxfxxfxx)(2)(lim)()()(lim00202000000xgxxxxxxfxxfxxfxx20200)(limxxxx由于)()()()()(2)(000000020xfxgxfxgxfxxfx所以在处的导数值是：)()()(2xfxxgxf0x因此，的导数是：)(2xfx)()()(22xfxxfx)()()()()()(xgxfxgxfxgxf由此可以得到：特别地，若，则有kxg)()()(xfkxkf概括一般地，若两个函数和的导数分别是和，则：)(xg)(xf)(xg)(xf)()()()()()(xgxfxgxfxgxf)()()()()()()(xgxgxfxgxfxgxf2)()(xfkxkf)()()()(xgxfxgxf)()()()(xgxfxgxf思考：下列式子是否成立？？试举例说明。××例如，，通过计算可知23)(,)(xxgxxf)()()()(xgxfxgxf)()()()(xgxfxgxf例1求下列函数的导数：xxyxxyexyxln)3(;sin)2(;)(21例2求下列函数的导数：xxyxxyln)2(;sin)1(2解析解析2cos)(;)sin(ln)(xxxyxxxy212例3求下列函数的导数：例4求曲线过点的切线方程。xxxxfxln211)()0,1(解析解析2cos2sin)3()2()2()13)(32()1(22xxxyxyxxy1.计算下列函数的导数：2.求曲线在处的切线方程。23)2(xxy)9,1(xy21xycos21194182xxy本题也可以用公式变形再用导数的加减法法则计算。1827xy27yk例311)3(11)2(cos1)1(2xxeeyxxyxxy1.计算下列函数的导数：2.求曲线在处的切线方程。xxysin3x2)(2143122xxxxxy2)(21xxeey6332yk18)6332(2xy2)cos1(sincos1xxxxy小结)()()()()()(xgxfxgxfxgxf)()()()()()()(xgxgxfxgxfxgxf2)()(xfkxkf＊导数的乘除法法则：结束（1）设，可知xexgxxf)(,)(2xexgxxf)(,2)(xxxxexxexxeex)2(2)(222)()()()()()(xgxfxgxfxgxf由导数的乘法法则：可得：解：xxxxxxxxxxcos2sin)(sinsin)()sin(（3）由导数的乘法法则可得：可得：（2）由导数的乘法法则)()()()()()(xgxfxgxfxgxf1ln1ln1)(lnln)()ln(xxxxxxxxxx例2（1）设，则可知xxgxxf)(,sin)(1)(,cos)(xgxxf由导数的除法运算法则)()()()()()()(xgxgxfxgxfxgxf2可得22sincos1sincossinxxxxxxxxxx解：xxxxxxxxxx222ln)1ln2()(ln1ln2ln2（2）由导数的除法运算法则可得：练习无论题目中所给的式子多么复杂，但是求导的实质不会改变，求函数积（商）的导数时，都满足运算法则：)()()()()()(xgxfxgxfxgxf)()()()()()()(xgxgxfxgxfxgxf2分析：解：（1）可设xxxgxxfsinln)(,)(2xxxxxxxxxxxxxxxxcossin2ln2)cos1()sin(ln2)sin(ln222则有：xxxgxxfcos1)(,2)(根据导数的乘法法则，得：本题也可以展开括号再用导数的加减和乘法法则计算。（2）由导数的除法法则，可得：34222222cos2sin2cos2)1sin()(2)(cos)(coscosxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx例4要求切线方程，先求斜率，即导数。由求导运算法则可知：xxxxxxxxxxxxfxxxx2ln2ln2)1(12ln)2ln2()1(21)1()1(21)(22解：分析：可求得，47)1(f)1(47xy则曲线过点的切线方程为：xxxxfxln211)()0,1(即：0747yx练习