导数的应用--函数的最大值与最小值

导数的应用--函数的最大值与最小值知识回顾1、用导数法确定函数的单调性时的步骤是：（1）求出函数的导函数（2）求解不等式f′(x)0，求得其解集，再根据解集写出单调递增区间（3）求解不等式f′(x)0，求得其解集，再根据解集写出单调递减区间(3)检查f′(x)在方程f′(x)=0的根的左右的符号，并根据符号确定极大值与极小值.口诀：左负右正为极小，左正右负为极大。2、求可导函数f(x)的极值的步骤:(1)确定函数的定义区间，求导数f′(x)(2)求方程f′(x)=0的根3、=0是可导函数f(x)在x=x0处取极值的必要而不充分条件。fxfx4、在x0两侧的导数异号是x0为极值点的充要条件。新课讲授x3x2x1baxOy)(xf观察图中一个定义在闭区间上的函数的图象．图中与是极小值，是极大值．函数在上的最大值是，最小值是．一般地，在闭区间上连续的函数在上必有最大值与最小值．ba,)(xf)(1xf3()fx2()fxba,)(bf3()fxba,)(xfba,1.函数的最大值和最小值(4)函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个，而函数的极值可能不止一个，也可能没有一个。(,)abxxf1)(),0()(xf说明：⑴在开区间内连续的函数不一定有最大值与最小值．如函数在内连续，但没有最大值与最小值；⑵函数的最值是比较整个定义域内的函数值得出的；函数的极值是比较极值点附近函数值得出的．)(xf)(xfba,ba,⑶函数在闭区间上连续，是在闭区间上有最大值与最小值的充分条件而非必要条件．(2)将y=f(x)的各极值与f(a)、f(b)比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个最小值2、设函数f(x)在[a,b]上连续，f(x)在(a,b)在内可导，求f(x)在闭区间[a,b]上的最值的步骤：(1)求f(x)在区间(a,b)内极值(极大值或极小值)一是利用函数性质二是利用不等式三是利用导数3、求函数最值的一般方法：例1、求函数f(x)=x2-4x+6在区间[1，5]内的最大值和最小值法一(利用二次函数单调性)、将二次函数f(x)=x2-4x+6配方，结合二次函数图像来解决。例题讲解故函数f(x)在区间[1，5]内的极小值为2，最大值为11，最小值为2法二（利用导数）、f′(x)=2x-4令f′(x)=0，即2x–4=0，得x=2x1（1，2）2（2，5）5y，0y-+3112经检验，a=1,b=1时，f(x)满足题设的两个条件。23()logxaxbfxx例2已知,x∈(0,+∞).是否存在实数a、b,使f(x)同时满足下列两个条件：（1）f(x)在（0，1）上是减函数，在［1，+∞)上是增函数；（2）f(x)的最小值是1，若存在，求出，若不存在，说明理由。xbaxx2解：设g(x)=∵f(x)在（0，1）上是减函数，在［1，+∞)上是增函数∴g(x)在（0，1）上是减函数，在［1，+∞)上是增函数.3)1(0)1('gg∴3101bab∴11ba解得课堂练习1．下列说法正确的是()A.函数的极大值就是函数的最大值B.函数的极小值就是函数的最小值C.函数的最值一定是极值D.在闭区间上的连续函数一定存在最值2.函数y=f(x)在区间［a,b］上的最大值是M，最小值是m,若M=m,则f′(x)()A.等于0B.大于0C.小于0D.以上都有可能3.函数y=，在［－1，1］上的最小值为()A.0B.－2C.－1D.4.函数y=的最大值为()A.B.1C.D.234213141xxx1213122xxx332123DAAA5.函数y=2x3－3x2－12x+5在［0，3］上的最小值是___________.6.函数f(x)=sin2x－x在［－,］上的最大值为_____；最小值为_______.7.将正数a分成两部分，使其立方和为最小，这两部分应分成______和___.8.使内接椭圆=1的矩形面积最大，矩形的长为_____，宽为_____.222222byax2a2a2a2b-1522例3在边长为60cm的正方形铁片的四角切去相等的正方形，再把它的边沿虚线折起(如图)，做成一个无盖的方底箱子，箱底的边长是多少时，箱底的容积最大？最大容积是多少？xx6060xx由题意可知，当x过小（接近0）或过大（接近60）时，箱子容积很小，因此，16000是最大值答：当x=40cm时，箱子容积最大，最大容积是16000cm323()602xVxx602xh)600(x260)(322xxhxxV解法一：设箱底边长为xcm，则箱高cm，得箱子容积23()602xVxx令＝0，解得x=0（舍去），x=40，并求得V(40)=16000x60-2x60-2x60-2xx60-2x6060xxxV2)260()()300(x解法二：设箱高为xcm，则箱底长为(60-2x)cm，则得箱子容积由题意可知，当x过小或过大时箱子容积很小，所以最大值出现在极值点处．事实上，可导函数、在各自的定义域中都只有一个极值点，从图象角度理解即只有一个波峰，是单峰的，因而这个极值点就是最值点，不必考虑端点的函数值260)(322xxhxxVxxxV2)260()(答：当罐的高与底直径相等时，所用材料最省解：设圆柱的高为h，底半径为R，则表面积例4圆柱形金属饮料罐的容积一定时，它的高与底与半径应怎样选取，才能使所用的材料最省？2VhRS=2πRh+2πR2由V=πR2h，得，则2VR2VRS(R)=2πR+2πR2=+2πR222()VsRR令+4πR=032V解得，R=，从而2VR23()2VV34V3Vh====2即h=2R因为S(R)只有一个极值，所以它是最小值答：产量为84时，利润L最大。(0100)q1214Lqqp8125例5已知某商品生产成本C与产量q的函数关系式为C=100+4q，价格p与产量q的函数关系式为．求产量q为何值时，利润L最大？分析：利润L等于收入R减去成本C，而收入R等于产量乘价格．由此可得出利润L与产量q的函数关系式，再用导数求最大利润．211252588Rqpqqqq解：收入221125(1004)2110088LRCqqqqq利润0L12104q84q令，即，求得唯一的极值点课堂小结课后作业⑴函数在闭区间上的最值点必在下列各种点之中：导数等于零的点，导数不存在的点，区间端点；⑵函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，是f(x)在闭区间[a,b]上有最大值与最小值的充分条件而非必要条件；⑶闭区间[a,b]上的连续函数一定有最值；开区间（a,b）内的可导函数不一定有最值，若有唯一的极值，则此极值必是函数的最值。(4)根据问题的实际意义来判断函数最值时，如果函数在此区间上只有一个极值点，那么这个极值就是所求最值，不必再与端点值比较。