函数的单调性课后练习题

函数的单调性课后练习题1.下列函数中，在(－∞，0)上为减函数的是()A．y＝1x2B．y＝x3C．y＝x0D．y＝x2答案：D2．如果函数f(x)在[a，b]上是增函数，对于任意的x1、x2∈[a，b](x1≠x2)，下列结论中不正确的是()A.fx1－fx2x1－x20B．(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]0C．f(a)f(x1)f(x2)f(b)D.x1－x2fx1－fx20解析：由增函数的定义易知A、B、D正确，故选C.答案：C3．若区间(0，＋∞)是函数y＝(a－1)x2＋1与y＝ax的递减区间，则a的取值范围是()A．a0B．a1C．0≤a≤1D．0a1解析：由二次函数及反比例函数的性质可得a－10，a0，∴0a1.答案：D4．若二次函数y＝3x2＋2(a－1)x＋b在区间(－∞，1)上为减函数，那么()A．a＝－2B．a＝2C．a≤－2D．a≥2解析：函数的对称轴x＝1－a3，由题意得1－a3≥1时，函数y＝3x2＋2(a－1)x＋b在区间(－∞，1)上为减函数，故得a≤－2.答案：C5．已知函数f(x)在区间[a，b]上具有单调性，且f(a)·f(b)0，则方程f(x)＝0在区间[a，b]上()A．至少有一个实根B．至多有一个实根C．没有实根D．有唯一的实根解析：∵f(x)是单调函数，且图象是连续不断的，又f(a)f(b)0，则f(x)的图象必与x轴相交，因此f(x)在[a，b]上必存在一点x0，使f(x0)＝0成立，故答案D正确．答案：D6．已知函数f(x)在区间[0，＋∞)上为减函数，那么f(a2－a＋1)与f34的大小关系是__________．解析：∵a2－a＋1＝a－122＋34≥34，又f(x)在[0，＋∞)上为减函数，∴f(a2－a＋1)≤f34.答案：f(a2－a＋1)≤f347．(2011·潍坊模拟)函数y＝2x2－mx＋3，当x∈[－2,2]时，是增函数，则m的取值范围是________．解析：∵函数y＝2x2－mx＋3是开口向上的抛物线，要使x∈[－2,2]时为增函数，只要对称轴x＝－－m2×2≤－2，即m≤－8.答案：m≤－88．函数y＝|3x－5|的递减区间是________．解析：y＝|3x－5|＝3x－5，x≥53，－3x＋5，x53.作出y＝|3x－5|的图象，如图所示，函数的单调减区间为－∞，53.答案：－∞，539．判断函数f(x)＝x＋1x－1在(－∞，0)上的单调性，并用定义证明．解：f(x)＝x＋1x－1＝x－1＋2x－1＝1＋2x－1，函数f(x)＝x＋1x－1在(－∞，0)上是单调减函数．证明：设x1，x2是区间(－∞，0)上任意两个值，且x1x2，则f(x2)－f(x1)＝1＋2x2－1－1＋2x1－1＝2x1－x2x1－1x2－1，∵x1x20，∴x1－x20，x1－10，x2－10，∴2x1－x2x1－1x2－10.∴f(x2)－f(x1)0，即f(x2)f(x1)．∴函数f(x)＝x＋1x－1在(－∞，0)上是单调减函数．10．已知f(x)是定义在[－1,1]上的增函数，且f(x－2)f(1－x)，求x的取值范围．解：由题意知－1≤x－2≤1，－1≤1－x≤1，解得1≤x≤2.∵f(x)在[－1,1]上是增函数，且f(x－2)f(1－x)，∴x－21－x，∴x32.由1≤x≤2，x32，得32x≤2.故满足条件的x的取值范围是32x≤2.品位高考1.(全国卷)设f(x)，g(x)都是单调函数，下列四个命题，正确的是()①若f(x)单调递增，g(x)单调递增，则f(x)－g(x)单调递增；②若f(x)单调递增，g(x)单调递减，则f(x)－g(x)单调递增；③若f(x)单调递减，g(x)单调递增，则f(x)－g(x)单调递减；④若f(x)单调递减，g(x)单调递减，则f(x)－g(x)单调递减A．①②B．①④C．②③D．②④答案：C2．(湖南高考)若f(x)＝－x2＋2ax与g(x)＝ax＋1在区间[1,2]上都是减函数，则a的取值范围是()A．(－1,0)∪(0,1)B．(－1,0)∪(0,1]C．(0,1)D．(0,1]解析：f(x)＝－x2＋2ax＝－(x－a)2＋a2，当a≤1时，f(x)在[1,2]上是减函数；g(x)＝ax＋1，当a0时，g(x)在[1,2]上是减函数，则a的取值范围是0a≤1.答案：D备课资源1.下列说法中正确的有()①若x1，x2∈I，当x1x2时，f(x1)f(x2)，则y＝f(x)在I上是增函数；②函数y＝x2在R上不是单调函数；③函数y＝－1x在定义域内是增函数；④y＝1x的单调区间是(－∞，0)∪(0，＋∞)A．0个B．1个C．2个D．3个解析：函数的单调性定义是指定义在I上任意两个值x1，x2，强调的是任意性，从而①不对；y＝x2在(－∞，0]上是减函数，在[0，＋∞)上是增函数，从而y＝x2在整个定义域上不具有单调性，故②正确．y＝－1x在整个定义域内不是单调递增函数，如－35，而f(－3)f(5)，从而③不对；y＝1x的单调区间为(－∞，0)和(0，＋∞)，而不是(－∞，0)∪(0，＋∞)，从而④不对．答案：B2．(2007·福建)已知函数f(x)为R上的减函数，则满足f1xf(1)的实数x的取值范围是()A．(－1,1)B．(0,1)C．(－1,0)∪(0,1)D．(－∞，－1)∪(1，＋∞)解析：依题意得1x1，∴|x|1，且x≠0，∴－1x1且x≠0，因此答案C正确．答案：C3．函数f(x)＝2x＋1，x≥1，5－x，x1，则f(x)的递减区间是________．答案：(－∞，1)4．已知函数f(x)是定义在(0，＋∞)上的减函数，且f(x)f(2x－3)，求x的取值范围．解：由题意知x2x－3x02x－30⇒32x3.5．已知f(x)＝x3＋x，x∈R，判断f(x)的单调性并证明．解：任取x1，x2∈R，且x1x2，则f(x1)－f(x2)＝x13＋x1－(x23＋x2)＝(x1－x2)(x12＋x1x2＋x22＋1)＝(x1－x2)[(x1＋x22)2＋34x22＋1]0∴f(x1)－f(x2)0，f(x1)f(x2)．因此f(x)＝x3＋x在R上是增函数．