函数的极限

§1．4函数的极限四、自变量趋于无穷大时函数的极限一、单侧极限右极限的通俗定义、右极限的几何意义、极限的局部保号性、右极限的精确定义、函数极限精确定义、极限的通俗定义、极限的精确定义、极限的几何意义、水平渐近线二、双侧极限左极限的精确定义、三、关于函数极限的定理1§1.4函数的极限序列的极限是函数极限的特殊情形.(),(0,),(),1,2,nyfxxafnn下面考虑一般函数的极限,即在自变量x的某一变化过程中,函数的变化情况.这时,自变量的变化有下面这些可能:()yfx(1),0;xaaxa从的右侧趋向记作(2),0;xaaxa从的左侧趋向记作axxa(3),;xaaxa同时从的两侧趋向记作(4),;xx无限制地增大记作(5),;xx无限制地减小记作axoxxo(6),xxx无限制地增大即沿轴的正向与负向同时无限,.x远离原点记作ox2一、单侧极限00..xaxa先讨论或的情形先看几个例子例⒈符号函数10sgn0010xyxxx当当当1-1xyo00,sgn1,00,sgn1,xxxx当时当时称符号函数在原点的右极限为1,记作00limsgn1;xx称符号函数在原点的左极限为－1,记作00limsgn1.xx3[].yx例⒉函数[]2.x记为[]3,x30lim[]3,xx30lim[]2.xx30,x而当时30,x当时记为[]33.yxx称在的右极限为[]32.yxx称在的左极限为4例3.函数y={x}=x－[x],表示x的小数部分.0123xy10,{}0,10,{}1.xxxx当时而当时称函数{x}在点x=1的右极限为0,记作10lim{}0;xx称函数{x}在点x=1的左极限为1,记作10lim{}1.xx显然,对任意整数n,都有0lim{}0;xnx0lim{}1.xnx.sin,20,sin1;yxxx例4函数当时20,sin1;xx当时也有sin2yxx故函数在的1.左右极限都是记作20limsin1.xx20limsin1.xx51sin0.yxx因此函数在处的左右极限都不存在1x1xy1sin例2函数ysinx1在点x0没有定义，当x0+0或x0－0时，函数值在1与1之间变动无限多次，51sin.yxx0000,xx当或时函数值,0虽还是上下摆动但“振幅”不断变小,且任意接近于.(p.42图)000011limsinlimsin0.xxxxxx例62121,sin1;,sin1,1,2,(41)(41)nnnnxxnnxnx因60,,0,(0,,0,0lim0xayfxablfxlxaxafxlfxlfxlxa设是定义在上的一个函数.若存在一个实数对于任意给定的无论它多么小)都存在一个使得只要则称当时以为右极限,记作或axb定义(右极限和左极限)0,,0,(0,,0,0lim0xbyfxablfxlbxxbfxlfxlfxlxb设是定义在上的一个函数若存在一个实数对于任意给定的无论它多么小)都存在一个使得只要则称当时以为左极限,记作或axb右极限和左极限统称为单侧极限.7二、双侧极限limxaf(x)l或f(x)l(当xa)．双侧极限的通俗定义：在自变量趋于常数a的过程中，如果对应的函数值f(x)无限接近于某一确定的常数l，那么这个确定的常数l就叫做在这一变化过程中函数f(x)的极限．当xa时，f(x)以l为极限记为分析：当xa时，f(x)l当|xa|0时，|f(x)l|能任意小任给0，当|xa|小到某一时刻，有|f(x)l|任给0，存在0，使当|xa|时，有|f(x)l|．,.xaaa双侧:自变量既从的左侧同时从的右侧趋于常数,a点的去心邻域.xa体现接近程度xaaa80,0,0,().xafxl使当时恒有()()\,,,0,0,,0,limrrxayfxaUaUaaaraaarlfxlxaxafxlfxlfxlxa设是定义在一点的空心邻域上,若存在一个实数对于任意给定的(无论它多么小)都存在一个使得只要则称当时,以为极限,记作或定义此时也称当x→a时,f(x)的极限存在.此定义也可表达为:或0,0,(),()().xUafxUl使当时恒有00,lim()lim()lim().xaxaxafxlfxfxl显然:,由此得若左侧或右侧极限中有一个不存在或虽都存在但不相,.等则双侧极限不存在9axOy)(xfyl0给定llaa目的：对任意的0,要找0，使得0|x-x0|时，有|f(x)-l|.即lf(x)l+.哈哈,找到了!这样的也能用,看来有一个符合要求,就会有无穷多个符合要求!10yyx111yx1xO.0,1,0,0,0,1)(xxxxxxf例7函数当x0时f(x)的极限不存在．因为f(x)在x=0的左极限为0000lim()lim(1)1,xxfxx右极限为0000lim()lim(1)1,xxfxx所以极限不存在．)(lim0xfx0000limsgn1,limsgn1,xxxx又如sgn0.xx故在处的双侧极限不存在11因此对于任意给定的正数，任意取一正数，当0|xx0|时，都有|f(x)c|=|cc|=0成立，所以下面举例说明如何用ε-δ语言证明函数极限式.：证明:这里|f(x)c|=|cc|=0，.lim0ccxx例1证明0limxxcc．注函数极限定义中不要求函数y=f(x)在点a有定义.我们仅关心:当自变量x从a的两侧趋于a时函数值的变化趋势.因此,f(a)可以不存在,即使存在,也可能和极限值没有关系.0:limsgn1,sgn00.xx例如但是分析::|f(x)l||cc|0.0,0,当0|xx0|时,都有|f(x)l|.12证明：因为0，0，所以只需|x1|，即取．|f(x)2|=|x1|，使当0|x1|，有112xx|f(x)2|=|2|=|x12|=|x1|，要使|f(x)2|，.211lim21xxx分析：注意函数在x=1是没有定义的．但这与函数在该点是否有极限并无关系．例4证明211lim21xxx．213例3证明1lim312.xx31312312xxx分析311.23xx20,312,1.3xx为使只要144,11.333xxx另外42min,33取420,min,,33证明令31312312xxx312x3,2因此1lim312.xx101,,3xx则当时且14例4证明limsinsin.xaxa证我们有sinsin2sincos22xaxaxa2sin2xaO1xysin,由于故sinsin.xaxa0,,,xxa取＝，则对任意只要就有sinsin.xaxalimsinsin.xaxa所以15三、关于函数极限的定理,limlimlimxaxaxafxgxhxahxfxgxgxlhxlfxl设有及三个函数定义在点的一个空心邻域内,且满足不等式,假如=且=则=定理1(这是函数极限的夹逼定理,证明从略)0sin:lim1.xxx例5求证首先注意到sin0xxx函数对一切都有定义设法构造一个“夹逼不等式”，使函数sinxx在x=0的某去心邻域内置于具有同一极限值的两个函数g(x),h(x)之间，以便应用夹逼定理16作如图所示的单位圆AC,,(0)2OAOBxx设单位圆圆心角sin,,tan,xBDxABxAC于是有弧xOBD.ACO作单位圆的切线，得,OABx扇形的圆心角为,OABBD的高为sintan,xxx所以sincos1,xxx即02x上式对于也成立.02x当时,170cos11cosxx22sin2x22()2x2,2x20lim0,2xx而0lim(1cos)0,xx于是0limcos1,xx所以0lim11,x又显然0sin,,lim1.xxx所以由夹逼定理注此结论可推广到1)()(sinlimxxax有限值，也可为可为，其中时条件是axax0)(,18121212122limlimlimlim;lim.xaxaxaxaxafxgxafxlgxlfxgxllfxgxllfxllgxl设有及是定义在点的一个空心邻域内函数,若=,=,则有=;=且在0时有定理2011lim.sinxxxx例6求001111limlimsinsin1xxxxxxxxx解011(11)limsin1xxxxxx001lim11sinlim1xxxxx001lim11sin1limxxxxx1111.114190sin5tan37lim.2xxxx例求00sin5sin55limlim252xxxxxx解50sin55lim22yxyyy000tan31sin33limlimlim2cos332xxxxxxxx3001sin33limlim,cos22yxyyyyy000sin5tan3sin5tan353limlimlim1.22222xxxxxxxxxx因此例8解1,,x时分子分母极限都是零.)00(型1,x先约去不为零的因子22111(1)(1)limlim23(3)(1)xxxxxxxxx11lim3xxx1.220定理4（局部有界性）若当x→a时,()fx有极限,则存在a的一个空心邻域,在此邻域内)(xf有界.lyf(x)x0Oyxx0x0x0x0(极限的局部保号性)如果当xx0时f(x)的极限存,那么这极限是唯一的.定理3(函数极限的唯一性)5定理1如果0limxxf(x)A，而且A0(或A0)，那么就存在着点lll,定理5点x0的某一去心邻域，当x在该邻域内时，就有f(x)0(或f(x)0)．注:这样的邻域不唯一.21定理6如果在x0的某一去心邻域内f(x)0(或f(x)0)，而且证明：设f(x)0．假设上述论断不成立，即设l0，那么由上面的定理5就有x0的某一去心邻域,在该邻域内f(x)0，这与f(x)0的假定矛盾．所以l0．,limlimxaxafxgxafxgxxafxgxfxgx设有及是定义在点的一个空心邻域内函数,且在这个空心邻域内满足若当时及的极限均存在,则定理7lim,{limlim.xannnnnfxafxlxxafxl设定义在点的一个空心邻域内,且=假设}是一串在该空心邻域内取值的序列且则有定理80lim