利用基本不等式求最值的类型及方法

12利用基本不等式求最值的类型及方法一、几个重要的基本不等式：①，、)(222222Rbabaababba当且仅当a=b时，“=”号成立；②，、)(222Rbabaababba当且仅当a=b时，“=”号成立；③，、、)(33333333Rcbacbaabcabccba当且仅当a=b=c时,“=”号成立；④)(3333Rcbacbaabcabccba、、,当且仅当a=b=c时,“=”号成立.注：①注意运用均值不等式求最值时的条件：一“正”、二“定”、三“等”；②熟悉一个重要的不等式链：ba1122abab222ba。二、函数()(0)bfxaxabx、图象及性质(1)函数0)(baxbaxxf、图象如图：(2)函数0)(baxbaxxf、性质：①值域：),2[]2,(abab；②单调递增区间：(,]ba，[,)ba；单调递减区间：(0,]ba，[,0)ba.三、用均值不等式求最值的常见类型类型Ⅰ：求几个正数和的最小值。例1、求函数21(1)2(1)yxxx的最小值。解析：21(1)2(1)yxxx21(1)1(1)2(1)xxx21111(1)222(1)xxxx3211131222(1)xxx31252，当且仅当211(1)22(1)xxx即2x时，“=”号成立，故此函数最小值是52。评析：利用均值不等式求几个正数和的最小值时，关键在于构造条件，使其积为常数。通常要通过添加常数、拆项（常常是拆底次的式子）等方式进行构造。类型Ⅱ：求几个正数积的最大值。例2、求下列函数的最大值：①23(32)(0)2yxxx②2sincos(0)2yxxx解析：①30,3202xx∴，∴23(32)(0)(32)2yxxxxxx3(32)[]13xxx，当且仅当32xx即1x时，“=”号成立，故此函数最大值是1。②0,sin0,cos02xxx∴，则0y，欲求y的最大值，可先求2y的最大值。242sincosyxx222sinsincosxxx2221(sinsin2cos)2xxx22231sinsin2cos4()2327xxx,当且仅当22sin2cosxx(0)2xtan2x，即tan2xarc时“=”号成立，故此函数最大值是239。评析：利用均值不等式求几个正数积的最大值，关键在于构造条件，使其和为常数。通常要通过乘以或除以常数、拆因式（常常是拆高次的式子）、平方等方式进行构造。类型Ⅲ：用均值不等式求最值等号不成立。例3、若x、yR，求4()fxxx)10(x的最小值。解法一：（单调性法）由函数()(0)bfxaxabx、图象及性质知，当(0,1]x时，函数4()fxxx是减函数。证明：任取12,(0,1]xx且1201xx，则xabab2ab2aboy3412121244()()()()fxfxxxxx211212()4xxxxxx1212124()xxxxxx，∵1201xx，∴12121240,0xxxxxx，则1212()()0()()fxfxfxfx，即4()fxxx在(0,1]上是减函数。故当1x时，4()fxxx在(0,1]上有最小值5。解法二：（配方法）因01x，则有4()fxxx22()4xx，易知当01x时，20xx且单调递减，则22()()4fxxx在(0,1]上也是减函数，即4()fxxx在(0,1]上是减函数，当1x时，4()fxxx在(0,1]上有最小值5。解法三：（拆分法）4()fxxx)10(x13()xxx1321xx5，当且仅当1x时“=”号成立，故此函数最小值是5。评析：求解此类问题，要注意灵活选取方法，特别是单调性法具有一般性，配方法及拆分法也是较为简洁实用得方法。类型Ⅳ：条件最值问题。例4、已知正数x、y满足811xy，求2xy的最小值。解法一：（利用均值不等式）2xy8116()(2)10xyxyxyyx1610218xyyx,当且仅当81116xyxyyx即12,3xy时“=”号成立，故此函数最小值是18。解法二：（消元法）由811xy得8xyx，由00088xyxxx又，则2xy22(8)1616162(8)108888xxxxxxxxxx162(8)10188xx。当且仅当1688xx即12,3xy此时时“=”号成立，故此函数最小值是18。解法三：（三角换元法）令228sin1cosxxxy则有228sin1cosxxyx则：22822sincosxyxx2222228csc2sec8(1cot)2(1tan)108cot2tanxxxxxx22102(8cot)(2tan)xx18，易求得12,3xy此时时“=”号成立，故最小值是18。评析：此类问题是学生求解易错得一类题目，解法一学生普遍有这样一种错误的求解方法：81812()(2)228xyxyxyxyxy。原因就是等号成立的条件不一致。类型Ⅴ：利用均值不等式化归为其它不等式求解的问题。例5、已知正数xy、满足3xyxy，试求xy、xy的范围。解法一：由0,0xy，则3xyxy32xyxyxy，即2()230xyxy解得13xyxy(舍)或，当且仅当3xyxyxy且即3xy时取“=”号，故xy的取值范围是[9,)。又23()2xyxyxy2()4()120xyxy2()6xyxy舍或，当且仅当3xyxyxy且即3xy时取“=”号，故xy的取值范围是[6,)。解法二：由0,0xy，3(1)3xyxyxyx知1x，则：31xyx，由30011xyxx，则：2233(1)5(1)44(1)51111xxxxxxyxxxxxx42(1)591xx，当且仅当41(0)31xxxx即，并求得3y时取“=”号，故xy的取值范围是[9,)。3144441(1)22(1)2611111xxxyxxxxxxxxxx，56当且仅当41(0)31xxxx即，并求得3y时取“=”号，故xy的取值范围是[9,)。评析：解法一具有普遍性，而且简洁实用，易于掌握，解法二要求掌握构造的技巧。四、均值不等式易错例析：例1.求函数yxxx49的最值。错解：yxxxxxx491336213361323625xxxx当且仅当xx36即x6时取等号。所以当x6时，y的最小值为25，此函数没有最大值。分析：上述解题过程中应用了均值不等式，却忽略了应用均值不等式求最值时的条件导致错误。因为函数yxxx49的定义域为，，00，所以须对x的正负加以分类讨论。正解：1）当x0时，25362133613xxxxy当且仅当xx36即6x时取等号。所以当x6时，ymin252）当x0时，xx0360，，xxxx362361211213)]36()[(13xxy当且仅当xx36，即x6时取等号，所以当x6时，ymax13121.例2.当x0时，求yxx492的最小值。错解：因为xyxxxxx049249622，所以当且仅当492xx即x943时，yxmin62183。分析：用均值不等式求“和”或“积”的最值时，必须分别满足“积为定值”或“和为定值”，而上述解法中4x与92x的积不是定值，导致错误。正解：因为xyxxxxxxxx049229322933622233，当且仅当292xx，即x3623时等号成立，所以当x3623时，ymin3363。例3.求yxxxR2254()的最小值。错解：因为yxxxxxx2222225441424142，所以ymin2分析：忽视了取最小值时须xx22414成立的条件，而此式化解得x23，无解，所以原函数y取不到最小值2。正解：令txt242，则yttt12()又因为t1时，ytt1是递增的。所以当t2，即x0时，ymin52。例4.已知Ryx,且141yx，求yxu的最小值.错解：44411xyxyyx,82xyyxu,u的最小值为8.分析：解题时两次运用均值不等式，但取等号条件分别为yx41和yx，而这两个式子不能同时成立，故取不到最小值8.正解：94545)41)((xyyxyxyxu当且仅当xyyx4即6,3yx时等号成立.u的最小值为9.综上所述，应用均值不等式求最值要注意：一要正：各项或各因式必须为正数；二可定：必须满足“和为定值”或“积为定值”，要凑出“和为定值”或“积为定值”的式子结构，如果找不出“定值”的条件用这个定理，求最值就会出错；三能等：要保证等号确能成立，如果等号不能成立，那么求出的仍不是最值。78技巧一：凑项例1：已知54x，求函数14245yxx的最大值。解：因450x，所以首先要“调整”符号，又1(42)45xx不是常数，所以对42x要进行拆、凑项，5,5404xx，11425434554yxxxx231，当且仅当15454xx，即1x时，上式等号成立，故当1x时，max1y。技巧二：凑系数例2.当时，求(82)yxx的最大值。解析：由知，，利用基本不等式求最值，必须和为定值或积为定值，注意到2(82)8xx为定值，故只需将(82)yxx凑上一个系数即可。当，即x＝2时取等号当x＝2时，(82)yxx的最大值为8。技巧三：分离例3.求2710(1)1xxyxx的值域。解：本题看似无法运用基本不等式，不妨将分子配方凑出含有（x＋1）的项，再将其分离。当,即时,421)591yxx（（当且仅当x＝1时取“＝”号）。技巧四：换元解析二：本题看似无法运用基本不等式，可先换元，令t=x＋1，化简原式在分离求最值。22(1)7(1+10544=5ttttytttt）当,即t=时,4259ytt（当t=2即x＝1时取“＝”号）。技巧五：在应用最值定理求最值时，若遇等号取不到的情况，应结合函数()afxxx的单调性。例：求函数2254xyx的值域。解：令24(2)xtt，则2254xyx22114(2)4xtttx因10,1ttt，但1tt解得1t不在区间2,，故等号不成立，考虑单调性。因为1ytt在区间1,单调递增，所以在其子区间2,为单调递增函数，故52y。所以，所求函数的值域为5,2。技巧六：整体代换：多次连用最值定理求最值时，要注意取等号的条件的一致性，否则就会出错。。2：已知0,0xy，且191xy，求x