函数与方程练习题及答案

1函数与方程1．函数的零点(1)函数零点的定义一般地，如果函数y＝f(x)在实数α处的值等于零，即__________，则α叫做这个函数的________．(2)几个等价关系方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与_______有交点⇔函数y＝f(x)有_____．(3)函数零点的判定(零点存在性定理)如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)0，那么函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是f(x)＝0的根．2．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a0)的图象与零点的关系Δ0Δ＝0Δ0二次函数y＝ax2＋bx＋c(a0)的图象与x轴的交点无交点零点个数3.二分法对于在区间[a，b]上连续不断且f(a)·f(b)0的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．[难点正本疑点清源]1．函数的零点不是点函数y＝f(x)的零点就是方程f(x)＝0的实数根，也就是函数y＝f(x)的图象与x轴交点的横坐标，所以函数的零点是一个数，而不是一个点．在写函数零点时，所写的一定是一个数字，而不是一个坐标．2．零点存在性定理的条件是充分而不必要条件若函数y＝f(x)在闭区间[a，b]上的图象是连续不间断的，并且在区间端点的函数值符号相反，即f(a)·f(b)0，则函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)使f(c)＝0，这个c就是方程f(x)＝0的根．这就是零点存在性定理．满足这些条件一定有零点，不满足这些条件也不能说就没有零点．如图，f(a)·f(b)0，f(x)在区间(a，b)上照样存在零点，而且有两个．所以我们说零点存在性定理的条件是充分条件，但并不必要．1．设f(x)＝3x＋3x－8，用二分法求方程3x＋3x－8＝0在x∈(1,2)内近似解的过程中得f(1)0，f(1.5)0，f(1.25)0，则方程的根落在区间________．2．若函数f(x)＝x2－ax－b的两个零点是2和3，则函数g(x)＝bx2－ax－1的零点是_____．3．已知函数f(x)＝lnx－x＋2有一个零点所在的区间为(k，k＋1)(k∈N*)，则k的值为________．4．若函数f(x)＝ax－x－a(a0，且a≠1)有两个零点，则实数a的取值范围是________．5．已知函数f(x)＝x2＋x＋a在区间(0,1)上有零点，则实数a的取值范围是________.题型一判断函数在给定区间上零点的存在性例1函数的零点存在性问题常用的办法有三种：一是用定理，二是解方程，三是用图象．(1)函数f(x)＝2x＋3x的零点所在的一个区间是()A．(－2，－1)B．(－1,0)C．(0,1)D．(1,2)2(2)设函数f(x)＝13x－lnx(x0)，则y＝f(x)()A．在区间1e，1，(1，e)内均有零点B．在区间1e，1，(1，e)内均无零点C．在区间1e，1内有零点，在区间(1，e)内无零点D．在区间1e，1内无零点，在区间(1，e)内有零点题型二二次函数的零点分布问题例3已知关于x的二次方程x2＋2mx＋2m＋1＝0.(1)若方程有两根，其中一根在区间(－1,0)内，另一根在区间(1,2)内，求m的范围；(2)若方程两根均在区间(0,1)内，求m的范围．数形结合思想在函数零点问题中的应用试题：(12分)已知函数f(x)＝－x2＋2ex＋m－1，g(x)＝x＋e2x(x0)．若y＝g(x)－m有零点，求m的取值范围；A组专项基础训练题组一、选择题1．已知函数f(x)＝log2x－13x，若实数x0是方程f(x)＝0的解，且0x1x0，则f(x1)的值为A．恒为负B．等于零C．恒为正D．不小于零2．已知三个函数f(x)＝2x＋x，g(x)＝x－2，h(x)＝log2x＋x的零点依次为a，b，c，则()A．abcB．acbC．bacD．cab3．函数f(x)＝x2＋2x－3，x≤0，－2＋lnx，x0的零点个数为()A．3B．2C．1D．0二、填空题4．定义在R上的奇函数f(x)满足：当x0时，f(x)＝2012x＋log2012x，则在R上，函数f(x)零点的个数为________．三、解答题5．是否存在这样的实数a，使函数f(x)＝x2＋(3a－2)x＋a－1在区间[－1,3]上与x轴有且只有一个交点．若存在，求出a的范围；若不存在，说明理由．6．已知函数f(x)＝4x＋m·2x＋1有且仅有一个零点，求m的取值范围，并求出该零点．B组专项能力提升题组一、选择题1．已知函数y＝f(x)和y＝g(x)在[－2,2]上的图象如图所示，给出下列四个选项，其中不正确的是()A．函数f[g(x)]的零点有且仅有6个B．函数g[f(x)]的零点有且仅有3个C．函数f[f(x)]的零点有且仅有5个D．函数g[g(x)]的零点有且仅有4个二、填空题4．已知函数f(x)＝x2＋(1－k)x－k的一个零点在(2,3)内，则实数k的取值范围是________．三、解答题8．m为何值时，f(x)＝x2＋2mx＋3m＋4.有且仅有一个零点；②有两个零点且均比－1大；3答案要点梳理1．(1)f(α)＝0零点(2)x轴零点2．(x1,0)，(x2,0)(x1,0)两个一个无基础自测1．(1.25,1.5)2.－12，－133．34.a15.(－2,0)题型分类·深度剖析例1解(1)方法一∵f(1)＝12－3×1－18＝－200，f(8)＝82－3×8－18＝220，∴f(1)·f(8)0，故f(x)＝x2－3x－18，x∈[1,8]存在零点．方法二令f(x)＝0，得x2－3x－18＝0，x∈[1,8]．∴(x－6)(x＋3)＝0，∵x＝6∈[1,8]，x＝－3∉[1,8]，∴f(x)＝x2－3x－18，x∈[1,8]存在零点．(2)方法一∵f(1)＝log23－1log22－1＝0，f(3)＝log25－3log28－3＝0，∴f(1)·f(3)0，故f(x)＝log2(x＋2)－x，x∈[1,3]存在零点．方法二设y＝log2(x＋2)，y＝x，在同一直角坐标系中画出它们的图象，从图象中可以看出当1≤x≤3时，两图象有一个交点，因此f(x)＝log2(x＋2)－x，x∈[1,3]存在零点．变式训练1(1)B(2)D例24变式训练2B例3解(1)由条件，抛物线f(x)＝x2＋2mx＋2m＋1与x轴的交点分别在区间(－1，0)和(1,2)内，如图(1)所示，得f0＝2m＋10，f－1＝20，f1＝4m＋20，f2＝6m＋50.⇒m－12，m∈R，m－12，m－56.即－56m－12.(2)抛物线与x轴交点均落在区间(0,1)内，如图(2)所示列不等式组f00，f10，Δ≥0，0－m1.⇒m－12，m－12，m≥1＋2或m≤1－2，－1m0.即－12m≤1－2.变式训练3解方法一若a＝0，则f(x)＝2x－3，f(x)＝0⇒x＝32∉[－1,1]，不合题意，故a≠0.下面就a≠0分两种情况讨论：(1)当f(－1)·f(1)≤0时，f(x)在[－1,1]上至少有一个零点，即(2a－5)(2a－1)≤0，解得12≤a≤52.(2)当f(－1)·f(1)0时，f(x)在[－1,1]上有零点的条件是f－12af1≤0，－1－12a1，f－1·f10，解得a52.综上，实数a的取值范围为12，＋∞.方法二函数y＝f(x)在区间[－1,1]上有零点等价于方程2ax2＋2x－3＝0在区间[－1,1]上有4实根．显然0不是y＝f(x)的零点，由题意转化为x∈[－1,1]时求a＝32·1x2－1x的值域．∵1x∈(－∞，－1]∪[1，＋∞)，∴a＝321x－132－16在1x＝1时取得最小值12.∴实数a的取值范围为12，＋∞.课时规范训练A组1．C2.B3.B4.35．解∵Δ＝(3a－2)2－4(a－1)0，∴若存在实数a满足条件，则只需f(－1)·f(3)≤0即可．f(－1)·f(3)＝(1－3a＋2＋a－1)·(9＋9a－6＋a－1)＝4(1－a)(5a＋1)≤0.所以a≤－15或a≥1.检验：①当f(－1)＝0时，a＝1.所以f(x)＝x2＋x.令f(x)＝0，即x2＋x＝0.得x＝0或x＝－1.方程在[－1,3]上有两根，不合题意，故a≠1.②当f(3)＝0时，a＝－15，此时f(x)＝x2－135x－65，令f(x)＝0，即x2－135x－65＝0，解之得x＝－25或x＝3.方程在[－1,3]上有两根，不合题意，故a≠－15.综上所述，a－15或a1.6．解∵f(x)＝4x＋m·2x＋1有且仅有一个零点，即方程(2x)2＋m·2x＋1＝0仅有一个实根．设2x＝t(t0)，则t2＋mt＋1＝0.当Δ＝0时，即m2－4＝0，∴m＝－2时，t＝1；m＝2时，t＝－1(不合题意，舍去)，∴2x＝1，x＝0符合题意．当Δ0时，即m2或m－2时，t2＋mt＋1＝0有两正或两负根，即f(x)有两个零点或没有零点．∴这种情况不符合题意．综上可知：m＝－2时，f(x)有唯一零点，该零点为x＝0.B组1．B4.(2,3)8．解①f(x)＝x2＋2mx＋3m＋4有且仅有一个零点⇔方程f(x)＝0有两个相等实根⇔Δ＝0，即4m2－4(3m＋4)＝0，即m2－3m－4＝0，∴m＝4或m＝－1.②方法一设f(x)的两个零点分别为x1，x2，则x1＋x2＝－2m，x1·x2＝3m＋4.由题意，知Δ＝4m2－43m＋40x1＋1x2＋10x1＋1＋x2＋10⇔m2－3m－403m＋4－2m＋10－2m＋20⇔m4或m－1，m－5，m1，∴－5m－1.故m的取值范围为(－5，－1)．方法二由题意，知Δ0，－m－1，f－10，即m2－3m－40，m1，1－2m＋3m＋40.∴－5m－1.∴m的取值范围为(－5，－1)．