幂函数公开课课件

幂函数说出下列函数的名称)0(kkxy)0,0(xkxky)0(kbkxy)0(2acbxaxy)10(aaayx且)10(logaaxya且)(为常数ccy)(为常数xy正比例函数反比例函数一次函数二次函数常数函数指数函数对数函数我们见过这样形式的函数吗？问题引入：函数的生活实例问题1：如果张红购买了每千克1元的苹果w千克，那么她需要付的钱数p=元，。问题2：如果正方形的边长为a，那么正方形的面积是S=，。问题3：如果立方体的边长为a，那么立方体的体积是V=，。问题4:如果正方形场地的面积为S，那么正方形的边长a=，。问题5：如果某人ts内骑车行进了1km，那么他骑车的平均速度v=，。w这里p是w的函数a²这里S是a的函数a³这里V是a的函数21S这里a是S的函数这里v是t的函数1tkm/s若将它们的自变量全部用x来表示,函数值用y来表示,则它们的函数关系式将是:xyxy2xy3xy21xy1思考：以上问题中的关系式有什么共同特征？（1）都是以自变量x为底数；（2）指数为常数；（3）自变量x前的系数为1;（4）只有一项。(1)(2)(3)(4)(5)21xy2xy1xy3xyxy一、幂函数的定义：一般地，我们把形如的函数叫做幂函数，其中为自变量，为常数。xyx练习1：判断下列函数哪几个是幂函数？xyxyxyxyyx1)5(;1)4(;2)3(;)2(;31222　　　）（答案（2）（5）思考：指数函数y=ax与幂函数y=xα有什么区别？中前面的系数是1，后面没有其它项。xyx式子名称常数xy指数函数:y=ax（a0且a≠1)幂函数:y=xαa为底数指数α为指数底数幂值幂值二、幂函数与指数函数比较判断一个函数是幂函数还是指数函数切入点看未知数x是指数还是底数幂函数指数函数xy2.0xy521xy1xy（指数函数）（幂函数）（指数函数）（幂函数）快速反应xy3（指数函数）5xy（幂函数）。m，xmmxfm的值求是幂函数已知例3221)(:1是幂函数因为解)(:xf112mm12:mm或解之得12mm或已知函数是幂函数,并且是偶函数，求m的值。22233)(mxmmxf练习1：是幂函数因为解22233)(:mxmmxf1332mm12:mm或解之得是偶函数又因为)(xf舍去不符合题意，m12m.),,2()(:22式试求出这个函数的解析的图像过点已知幂函数练习xfyxy设所求的幂函数为解:)2,2(函数的图像过点这种方法叫待定系数法.21xy所求的幂函数为,222221即21练习3：已知幂函数f(x)的图像经过点（3，27），求证：f(x)是奇函数。xy设所求的幂函数为证明:)273(，函数的图像过点,327333即333)()(xxxf3)(xxf)()(xfxfR，xf的定义域为)(是奇函数)(xf?)3(;)2(;)1()(1)(:22幂函数反比例函数正比例函数是为何值时当已知思考x，fm，xmxfm则是正比例函数若解，xf)()1(:符合要求而3m,01m又，m1223:m解之得3m221)(mxmxf则是反比例函数若，xf)()2(，m12201m又1m1:m解之得221)(mxmxf则是幂函数若，xf)()3(11m2m221)(mxmxf则是正比例函数若解，xf)()1(:则是反比例函数若，xf)()2(符合要求而3m,01m又，m122，m12201m又1m则是幂函数若，xf)()3(11m2m3:m解之得3m1:m解之得三、五个常用幂函数的图像和性质(1)(2)(3)(4)(5)21xy2xy1xy3xyxy定义域：值域：奇偶性：单调性：RR上是奇函数在R上是增函数在Rxy函数的图像定义域：值域：奇偶性：单调性：R),0[上是偶函数在R上是增函数在),0[上是减函数在]0,(函数的图像2xy定义域：值域：奇偶性：单调性：}0{xx上是奇函数在}0{xx上是减函数在),0(上是减函数在)0,(}0{yy函数的图像1xy?213的图像呢和如何画xyxyx…-2-101234…y=x3……y=x1/2……-8-10182723010xy1234-1-2-32468-2-4-6-8y=x3//64y=21x2定义域：值域：奇偶性：单调性：RR上是奇函数在R上是增函数在R函数的图像3xy定义域：值域：奇偶性：单调性：),0[非奇非偶函数上是增函数在),0[),0[函数的图像21xy21xy幂函数的定义域、值域、奇偶性和单调性，随常数α取值的不同而不同.y=x3定义域值域单调性公共点y=xRRR[0，+∞）R[0，+∞）R[0，+∞）奇函数偶函数奇函数非奇非偶函数奇函数在R上是增函数在（－∞,0]上是减函数，在(0,+∞）上是增函数在R上是增函数在(0，+∞)上是增函数在(－∞,0)，(0,+∞）上是减函数（1，1）奇偶性y=x21xy0，（0，+）0，（0，+）下面将5个函数的图像画在同一坐标系中(1)(2)(3)(4)(5)21xy2xy1xy3xyxy4321-1-2-3-4-22462yx3yx(1,1)(2,4)(-2,4)(-1,1)(-1,-1)y=x12yx1xy4321-1-2-3-4-6-4-2246y=x-1y=x12y=x3y=x2y=x(4,2)(-2,4)(2,4)(-1,1)(-1,-1)(1,1)在第一象限内，α0,在(0,+∞)上为增函数;α0,在(0,+∞)上为减函数.幂函数的图象都通过点(1,1)α为奇数时,幂函数为奇函数,α为偶数时,幂函数为偶函数.练习：利用单调性判断下列各值的大小。（1）5.20.8与5.30.8（2）0.20.3与0.30.3(3)2.5-25与2.7-25解:(1)y=x0.8在(0,∞)内是增函数,∵5.25.3∴5.20.85.30.8(2)y=x0.3在(0,∞)内是增函数∵0.20.3∴0.20.30.30.3(3)y=x-2/5在(0,∞)内是减函数∵2.52.7∴2.5-2/52.7-2/5练习(4)1）0.51.30.51.525.125.092）3）140.5140.44）230.7230.8＜＜＞＞则且任取证明,),,0[,:2121xxxx2121)()(xxxfxf2121xxxx,0,0,0212121xxxxxx所以因为.),0[)()()(21上的增函数在即幂函数所以xxfxfxf方法技巧:分子有理化212121))((xxxxxx.),0[)(.1上是增函数在证明幂函数例xxf例2：1122432,.mmm例3若则求的取值范围12:()(0,),032413,.32fxxmmmm解幂函数的定义域是且在定义域上是减函数即为的取值范围a0a10a10xy11归纳：幂函数y=xa在第一象限的图象特征a=1理论指数大于1,在第一象限为抛物线型（凹）；指数等于1,在第一象限为上升的射线；指数大于0小于1,在第一象限为抛物线型（凸）；指数等于0,在第一象限为水平的射线；指数小于0,在第一象限为双曲线型；归纳：幂函数图象在第一象限的分布情况10101001在上任取一点作轴的垂线，与幂函数的图象交点越高，的值就越大。),1(x在第一象限内直线x=1的右侧，图象从上到下，相应的指数从由大变小。小结1、幂函数的定义形如y=xα的函数叫幂函数。以自变量x为底数；指数为常数；自变量x前的系数为1；只有一项。2、与指数函数的区别：看未知数x是指数还是底数若x是指数，则它是指数函数，如y=2x若x是底数，则它是幂函数，如y=x23、幂函数定义的应用①判断哪些函数是幂函数②根据幂函数的定义求参数的值③用待定系数法求幂函数的解析式α10α1a=1小结：幂函数的性质:１.所有幂函数的图象都通过点(1,1);幂函数的定义域、值域、奇偶性和单调性，随常数α取值的不同而不同.如果α0,则幂函数在(0,+∞)上为减函数。α03.如果α0,则幂函数在(0,+∞)上为增函数;2.当α为奇数时,幂函数为奇函数,当α为偶数时,幂函数为偶函数.作业:1、书本79页第三题、82页第十题2、如果函数是幂函数，并且是奇函数，求满足条件的实数m的值。3、利用单调性判断下列各值的大小。mxmmxf)2()(24141225.05.081.179.1)3(09.51.5)2(5.13.1)1(与与与