概率习题答案

习题一（A）1.用三个事件,,ABC的运算表示下列事件：（1）,,ABC中至少有一个发生；（2）,,ABC中只有A发生；（3）,,ABC中恰好有两个发生；（4）,,ABC中至少有两个发生；（5）,,ABC中至少有一个不发生；（6）,,ABC中不多于一个发生.2.在区间[0,2]上任取一数x，记1{|1},2Axx13{|}42Bxx，求下列事件的表达式：（1）AB；（2）AB；(3)AB.3.已知()0.4,()0.2,()0.1PAPBAPCAB，求()PABC.4.已知()0.4,()0.25,()0.25PAPBPAB，求()PBA与()PAB.5.将13个分别写有,,,,,,,,,,,,AAACEHIIMMNTT的卡片随意地排成一行，求恰好排单词“MATHEMATICIAN”的概率.6.从一批由45件正品、5件次品组成的产品中任取3件产品，求其中恰好有1件次品的概率.7.某学生研究小组共有12名同学，求这12名同学的生日都集中在第二季度（即4月、5月和6月）的概率.8.在100件产品中有5件是次品，每次从中随机地抽取1件，取后不放回，求第三次才取到次品的概率.9.两人相约7点到8点在校门口见面，试求一人要等另一人半小时以上的概率.10.两艘轮船在码头的同一泊位停船卸货，且每艘船卸货都需要6小时.假设它们在一昼夜的时间段中随机地到达，求两轮船中至少有一轮船在停靠时必须等待的概率.11.任取两个不大于1的正数，求它们的积不大于29，且它们和不大于1的概率.12.设(),(),PAaPBb证明：1(|)abPABb.13.有朋自远方来，他坐火车、坐船、坐汽车和坐汽车的概率分别为0.3,0.2,0.1,0.4.若坐火车来，迟到的概率是0.25；若坐船来，迟到的概率是0.3；若坐汽车来，迟到的概率是0.1；若坐飞机来，则不会迟到.求他迟到的概率.14.设10个考题签中有4个难答，3人参加抽签，甲先抽，乙次之，丙最后.求下列事件的概率：（1）甲抽到难签；（2）甲未抽到难签而乙抽到难签；（3）甲、乙、丙均抽到难签.15.发报台分别以概率0.6和0.4发出信号“＊”和“”.由于通信系统受到干扰，当发出信号“＊”时，收报台未必收到信号“＊”，而是分别以概率0.8和0.2收到信号“＊”和“”；同样，当发出信号“”时，收报台分别以0.9和0.1收到信号“”和“＊”.求：（1）收报台收到信号“＊”的概率；（2）当收到信号“＊”时，发报台确实是发出信号“＊”的概率.16.设,AB相互独立，()0.6,()0.4PABPB，求()PA.17.两两独立的三事件,,ABC满足,ABC并且1()()()2PAPBPC.若9()16PABC，求()PA.18、证明：（1）若(|)()PABPA，则(|)()PBAPB.（2）若(|)(|)PABPAB，则事件A与B相互独立.19.甲、乙、丙三人独立地向一架飞机射击.设甲、乙、丙的命中率分别为0.4，0.5，0.7.又飞机中1弹，2弹，3弹而坠毁的概率分别为0.2，0.6，1.若三人各向飞机射击一次，求：（1）飞机坠毁的概率；（2）已知飞机坠毁，求飞机被击中2弹的概率.20.三人独立破译一密码，他们能独立译出的概率分别为0.25，0.35，0.4.求此密码能被译出的概率.21.在试验E中，事件A发生的概率为()PAp，将试验E独立重复进行三次，若在三次试验中“A至少出现一次的概率为1927”，求p.22.已知某种灯泡的耐用时间在1000小时以上的概率为0.2，求三个该型号的灯泡在使用1000小时以后最多有一个坏掉的概率.23.设有两箱同种零件，在第一箱内装50件，其中有10件是一等品；在第二箱内装有30件，其中有18件是一等品.现从两箱中任取一箱，然后从该箱中不放回地取两次零件，每次1个，求：（1）第一次取出的零件是一等品的概率；（2）已知第一次取出的零件是一等品，，第二次取出的零件也是一等品的概率.（B）1.箱中有个白球和个黑球，从中不放回地接连取1(1)kk次球，每次1个.求最后取出的是白球的概率.2.一栋大楼共有11层，电梯等可能地停在2层至11层楼的每一层，电梯在一楼开始运行时有6位乘客，并且乘客在2层至11层楼的每一层离开电梯的可能性相等，求下列事件的概率：（1）某一层有两位乘客离开；（2）没有两位及以上的乘客在同一层离开；（3）至少有两位乘客在同一层离开.3.将线段(0,)a任意折成3折，求此3折线段能构成三角形的概率.4.设平面区域D由四点(0,0),(0,1),(1,0),(1,1)围成的正方形，现向D内随机投10个点，求这10个点中至少有2个落在由曲线2yx和直线yx所围成的区域1D的概率.5.设有来自三个地区的10名、15名、25名考生的报名表，其中女生的报名表分别为3份、7份、5份.随机地取一个地区的报名表，从中先后抽取两份.（1）求先抽到的一份是女生表的概率；（2）已知后抽到的一份是男生表，求先抽到的是女生表的概率.6.(Banach问题)某数学家有两盒火柴，每盒装有N根，每次使用时，他在任一盒中取一根，问他发现一空盒，而另一盒还有k根火柴的概率是多少.习题二（A）1．同时抛掷3枚硬币，以X表示出现正面的枚数，求X的分布律.2.一口袋中有6个球，依次标有数字1,2,2,2,3,3，从口袋中任取一球，设随机变量X为取到的球上标有的数字，求X的分布律以及分布函数.3.已知随机变量X的分布函数为21,0(),0241,2xxFxxx，求概率{12}PX.4.设随机变量X的分布函数为0,0()sin,021,2xFxAxxx，求：（1）A的值；（2）求{||6}PX.5.设离散型随机变量X的分布律为(1){}(23),11,2,3;iPXia(2){}(23),1,2,iPXiai，分别求出上述各式中的a.6.已知连续型随机变量X的分布函数为0,0;(),01,.xFxkxbxx，求常数k和b.7.已知连续型随机变量X的概率密度为2()1kfxx，x，求常数k和概率{11}PX.8.已知连续型随机变量X的概率密度为,01()2,120,xxfxxx其他，求X的分布函数.9.连续不断地掷一枚均匀的硬币，问至少掷多少次才能使正面至少出现一次的概率不少于0.99.10.设每分钟通过某交叉路口的汽车流量X服从泊松分布，且已知在一分钟内无车辆通过与恰有一辆车通过的概率相同，求在一分钟内至少有两辆车通过的概率.11.设每次射击命中目标的概率为0.001，共射击5000次，若X表示命中目标的次数，（1）求随机变量X的分布律；（2）计算至少有两次命中目标的概率.12.设随机变量X的密度函数为||(),xfxAex.（1）求常数A；（2）求X的分布函数.（3）求{01}PX.13.证明：函数22,0;()0,0.xcxexfxcx（c为正常数）是某个随机变量X的密度函数.14.设随机变量X的概率密度为32000001000,x(x)f(x),其他，求：（1）X的分布函数；（2）求{200}PX.15.某种显像管的寿命X（单位：千小时）的概率密度为3,0,()0,0.xkexfxx，（1）求常数k的值；（2）求寿命小于1千小时的概率.16.设(0,1)XN，（1）求{1.96},{1.96}PXPX，{||1.96}PX{12}PX.（2）已知{}0.7019PXa，{||}0.9242PXb,{}0.2981PXc，求常数,,abc.17.设2(8,0.5)XN.求：（1）{7.510}PX；（2）{|8|1}PX；（3）{|9|0.5}PX.18.设随机变量X服从参数为1的泊松分布，随机变量0,1,1,1.XYX，求随机变量Y的分布律.19.设随机变量X的概率密度为2,01()0,xxfx其他，对X独立重复观察三次，求至少有两次观察值不大于0.5的概率.20.已知电源电压服X服从正态分布2(220,25)N,在电源电压处于200XV,200240VXV,240XV三种情况下，某电子元件损坏的概率分别为0.1,0.01,0.2.（1）求该电子元件损坏的概率；（2）已知该电子元件损坏，求电压在200~240VV的概率.21.假设自动生产线加工的某种零件的内径服从正态分布(11,1)N，内径小于10或大于12为不合格品，其余为合格品，销售每件合格品获利，销售每件不合格品则亏损，若销售利润Y与销售零件的内径X有下列关系1,10,20,1012,5,12.XYXX求Y的分布律.22.已知随机变量X的分布律为321012340.050.100.250.150.050.200.150.05，求2YX的分布律.23.设随机变量X服从[,]22上的均匀分布，求sinYX的概率密度.24.设随机变量X服从参数为2的指数分布，令21XYe，求随机变量Y的概率密度.25.设随机变量2(,)XN，求随机变量XYe的密度函数.（B）1.某种电子元件的寿命X（单位：小时）的概率密度为20001,0()20000,0xexfxx，（1）求该电子元件能正常使用1000小时以上的概率；（2）已知该电子元件已经使用了1000小时，求它还能只用1000小时的概率.2.设连续型随机变量X的密度函数()fx是偶函数，证明：（1）X和X有相同的分布；（2）01(){}()2aFaPXafxdx.3.设随机变量X的概率密度为21()(1)fxx，x，求（1）随机变量2YX的概率密度；（2）随机变量tanZarcX的概率密度.4.设一大型设备在任何长度为t的时间间隔内发生故障的次数()Nt服从参数为t（0为常数）的泊松分布.(1)求相继两次故障之间的时间间隔T的概率密度；（2）求在设备已经无故障工作8小时的情形下再无故障工作8小时的概率.习题三（A）1.已知二维随机变量(,)XY的分布函数为()1,0,0,(,)0,xyxyeeexyFxy其他，求关于X和关于Y的边缘分布函数()XFx和()YFy.2.将两封信随机地放入编号为1，2，3，4的4个邮筒内.以随机变量iX（1,2,3,4i）表示第i个邮筒内信的数目.求12(,)XX的分布律.3.设事件A，B满足1()4PA、1(|)2PBA、1(|)2PAB.令1,,0,AXA发生不发生，1,,0,BYB发生不发生，求：(1)(,)XY的分布律;(2){}PXY.4.设随机变量X在1，2，3，4四个数字中等可能地取值，随机变量Y在1X中等可能地随机取一整数值.（1）求(,)XY的分布律；（2）关于X的边缘分布律；(3)关于Y的边缘分布律.5.已知随机变量(,)XY的概率密度为1(6),02,24,(,)80,xyxyfxy其他，求：（1）{1,3}PXY;（2）3{}2PX;（3）{4}PXY.6.已知二维随机变量(,)XY的概率密度为8,01,(,)0,xyxyfxy其他,求：（1）求关于X的边缘概率密度；（2）求关于Y的边缘概率密度.7.已知二维随机变量(,)XY的概率密度为2221(,)(1sinsin)2xyfxyexy(,xy)，求：（1）求关于X的边缘概率密度；（2）求关于Y的边缘概率密度.8.已知二维随机变量(,)XY在区域{(,)|02,01}Dxyxy上的均匀分布，求：（1）求关于X的边缘概率密度；（2）求关于Y的边缘概率密度；(3)31{,}2