2016高考数学二轮复习 专题9 思想方法专题 第二讲 数形结合思想课件 文

随堂讲义专题九思想方法专题第二讲数形结合思想主干考点梳理高考热点突破栏目链接高考热点突破突破点1用数形结合思想解决方程、不等式及函数的有关性质问题(1)已知：函数f(x)满足下面关系：①f(x＋1)＝f(x－1)；②当x∈[－1，1]时，f(x)＝x2.则方程f(x)＝lgx解的个数是()A．5个B．7个C．9个D．10个(2)设有函数f(x)＝a＋－x2－4x和g(x)＝43x＋1，已知x∈[－4，0]时恒有f(x)≤g(x)，求实数a的取值范围．高考热点突破思路点拨：(1)在同一坐标系中画出y＝f(x)和y＝lgx的图象，由它们交点个数判断方程的解的个数．(2)先将不等式f(x)≤g(x)转化为－x2－4x≤43x＋1－a，然后在同一坐标系中分别作出函数y＝－x2－4x和y＝43x＋1－a的图象，移动y＝43x＋1－a的图象使其满足条件，数形结合得要满足的数量关系．高考热点突破解析：(1)由题意可知，f(x)是以2为周期，值域为[0，1]的函数．又f(x)＝lgx，则x∈(0，10]，画出两函数图象，则交点个数即为解的个数．由图象可知共9个交点，故选C.高考热点突破(2)f(x)≤g(x)，即a＋－x2－4x≤43x＋1，变形得－x2－4x≤43x＋1－a，令y＝－x2－4x，①y＝43x＋1－a，②①变形得(x＋2)2＋y2＝4(y≥0)，即表示以(－2，0)为圆心，2为半径的圆的上半圆(如图)；高考热点突破②表示斜率为43，纵截距为1－a的平行直线系(如图)．设与圆相切的直线为AT，其倾斜角为α，则有tanα＝43，0απ2，∴sinα＝45，cosα＝35，|OA|＝2tan90°＋α2＝2·1－cos（90°＋α）sin（90°＋α）＝2·1＋sinαcosα＝21＋4535＝6，要使f(x)≤g(x)在x∈[－4，0]时恒成立，则②所表示的直线应在直线AT的上方或与它重合，故有1－a≥6，∴a的范围为{a|a≤－5}．主干考点梳理误区警示：作图时弄清y＝lgx的图象何时超过1，否则易造成结果错误．(1)用函数的图象讨论方程(特别是含参数的指数、对数、根式、三角等复杂方程)的解的个数是一种重要的思想方法，其基本思想是先把方程两边的代数式看作是两个熟悉函数的表达式(不熟悉时，需要作适当变形转化为两个熟悉的函数)，然后在同一坐标系中作出两个函数的图象，图象的交点个数即为方程解的个数．高考热点突破(2)解不等式问题经常联系函数的图象，根据不等式中量的特点，选择适当的两个(或多个)函数，利用两个函数图象的上、下位置关系转化的数量关系来解决不等式的解的问题，往往可以避免繁琐的运算，获得简捷的解答．(3)函数的单调性与函数图象的升、降相关联，奇偶性与函数图象的对称性相关联，最值(值域)与函数图象的最高、最低点的纵坐标相关联．高考热点突破►跟踪训练1．方程|x2－2x|＝a2＋1(a0)的解的个数是(B)A．1B．2C．3D．4解析：(数形结合法)∵a0，∴a2＋11.而y＝|x2－2x|的图象如图，∴y＝|x2－2x|的图象与y＝a2＋1的图象总有两个交点．高考热点突破突破点2用数形结合思想解决参数、代数式的最值、取值范围问题(1)已知x，y满足条件x216＋y225＝1，求y－3x的最大值与最小值．(2)已知实数x，y满足不等式组x2＋y2≤4，x≥0，求函数z＝y＋3x＋1的值域．思路点拨：(1)令b＝y－3x，即y＝3x＋b，视b为直线y＝3x＋b的截距，而直线与椭圆必有公共点，故相切时，b有最值．高考热点突破(2)此题可转化成过点(－1，－3)与不等式组x2＋y2≤4，x≥0表示区域的点的连线的斜率的范围．解析：(1)令y－3x＝b，则y＝3x＋b，原问题转化为在椭圆x216＋y225＝1上找一点，使过该点的直线斜率为3，且在y轴上有最大截距或最小截距．由图可知，当直线y＝3x＋b与椭圆x216＋y225＝1相切时，有最大或最小的截距．将y＝3x＋b代入x216＋y225＝1，高考热点突破得169x2＋96bx＋16b2－400＝0，令Δ＝0，解得b＝±13.故y－3x的最大值为13，最小值为－13.(2)由解析几何知识可知，所给的不等式组表示圆x2＋y2＝4的右半圆域(含边界)，高考热点突破z＝y＋3x＋1可改写为y＋3＝z(x＋1)，把z看作参数，则此方程表示过定点P(－1，－3)，斜率为z的直线系．那么所求问题的几何意义是：求过半圆域x2＋y2≤4(x≥0)内或边界上任一点与过点P(－1，－3)的直线斜率的最大、最小值．由图显见，过点P和点A(0，2)的直线斜率最大，zmax＝2－（－3）0－（－1）＝5.高考热点突破过点P向半圆作切线，切线的斜率最小．设切点为B(a，b)，则过点B的切线方程为ax＋by＝4.又B在半圆周上，P在切线上，则有a2＋b2＝4，－a－3b＝4，又a＞0，解得a＝－2＋365，b＝－6－65，因此zmin＝26－33.综上可知函数的值域为26－33，5.误区警示：此题很容易犯的错误是由z＝y＋3x＋1得到点(－1，－3)的坐标时，很容易写成(1，3)，所以做题时要看清顺序．高考热点突破如果参数、代数式的结构蕴含着明显的几何特征，一般考虑用数形结合的方法来解题，即所谓的几何法求解，比较常见的对应有：(1)y＝kx＋b中k表示直线的斜率，b表示直线在y轴上的截距．(2)b－na－m表示坐标平面上两点(a，b)，(m，n)连线的斜率．(3)（a－m）2＋（b－n）2表示坐标平面上两点(a，b)，(m，n)之间的距离．高考热点突破(4)导函数f′(x0)表示曲线在点(x0，f(x0))处切线的斜率．只要具有一定的观察能力，再掌握常见的数与形的对应类型，就一定能得心应手地运用数形结合的思想方法．高考热点突破►跟踪训练2．若例2(1)中条件不变，求5x＋4y的最大值与最小值．解析：令5x＋4y＝b.原问题转化为：在椭圆x216＋y225＝1上求一点，使过该点的直线5x＋4y＝b与之相切即可．由5x＋4y＝b，x216＋y225＝1⇒50x2－10bx＋b2－400＝0.由Δ＝0，得b＝±202，故5x＋4y的最大值为202，最小值为－202.高考热点突破突破点3数形结合思想在几何中的应用如图所示，在三棱锥VABC中，VC⊥底面ABC，AC⊥BC，D是AB的中点，且AC＝BC＝a，∠VDC＝θ0＜θ＜π2.(1)求证：平面VAB⊥平面VCD；(2)当角θ变化时，求直线BC与平面VAB所成的角的取值范围．高考热点突破思路点拨：以CA，CB，CV所在的直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直线坐标系，用空间向量的坐标运算来证明面面垂直，及将线面角正弦值表示角θ的函数；再利用函数思想求解．解析：(1)以CA，CB，CV所在的直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直线坐标系．则C(0，0，0)，A(a，0，0)，B(0，a，0)，Da2，a2，0，V0，0，22atanθ.高考热点突破于是，VD→＝a2，a2，－22atanθ，CD→＝a2，a2，0，AB→＝(－a，a，0)．从而AB→·CD→＝(－a，a，0)·a2，a2，0＝－12a2＋12a2＋0＝0，即AB⊥CD.同理AB→·VD→＝(－a，a，0)·a2，a2，－22atanθ＝－12a2＋12a2＋0＝0，即AB⊥VD.又CD∩VD＝D，高考热点突破∴AB⊥平面VCD.又AB⊂平面VAB.∴平面VAB⊥平面VCD.(2)设直线BC与平面VAB所成的角为φ，平面VAB的一个法向量为n＝(x，y，z)，则n·AB→＝0，n·VD→＝0，得－ax＋ay＝0，a2x＋a2y－22aztanθ＝0.可取n＝1，1，2tanθ，又∵BC→＝(0，－a，0)，高考热点突破于是sinφ＝|cos〈n，BC→〉|＝|n·BC→||n|·|BC→|＝aa2＋2tan2θ＝22|sinθ|.∵0＜θ＜π2，∴0＜sinθ＜1，0＜sinφ＜22.又∵0≤φ≤π2，∴0＜φ＜π4.即直线BC与平面VAB所成角的取值范围为0，π4.高考热点突破(1)应用空间向量可以解决的常见问题有空间角中的异面直线所成的角、线面角、二面角位置关系中的平行、垂直及点的空间位置．其一般思路是：尽量建立空间直角坐标系，将要证、要求的问题转化为坐标运算．(2)求解解析几何问题时，往往将题目所给信息先转换成几何图形性质，再结合该类图形的几何性质，将条件信息和结论信息结合在一起，观察图形特征，为代数法求解找到突破口．高考热点突破►跟踪训练3．如图，在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，P是侧棱CC1上的一点，CP＝m.(1)试确定m，使得直线AP与平面BDD1B1所成角的正切值为3.(2)在线段A1C1上是否存在一定点Q，使得对任意的m，D1Q在平面APD1上的射影垂直于AP？并证明你的结论．高考热点突破解析：(1)建立如图所示的空间直角坐标系，则A(1，0，0)，B(1，1，0)，P(0，1，m)，C(0，1，0)，D(0，0，0)，B1(1，1，1)，D1(0，0，1)．所以BD→＝(－1，－1，0)，BB1→＝(0，0，1)，AP→＝(－1，1，m)，AC→＝(－1，1，0)．又由AC→·BD→＝0，AC→·BB1→＝0，知AC→为平面BB1D1D的一个法向量．高考热点突破设AP与平面BB1D1D所成的角为θ，则sinθ＝cosπ2－θ＝AP→·AC→|AP→|·|AC→|＝22·2＋m2.依题意有22·2＋m2＝321＋（32）2，解得m＝13.故当m＝13时，直线AP与平面BDD1B1所成角的正切值为32.(2)若在A1C1上存在这样的点Q，设此点的横坐标为x，则Q(x，1－x，1)，D1Q→＝(x，1－x，0)．依题意，对任意的m要使D1Q在平面APD1上的射影垂直于AP，等价于D1Q⊥AP⇔AP→·D1Q→＝0⇔－x＋(1－x)＝0⇔x＝12.即Q为A1C1的中点时，满足题设要求．高考热点突破1．数形结合是解决许多数学问题的重要方法，它可以将抽象数学问题具体化、准确化、形象化．我们用好数形结合可以使我们更深入准确的理解数学问题．2．数形结合主要应用于：函数、三角、集合、立体几何、解析几何、向量、不等式等．3．是否选择应用数形结合的原则是：是否有利于解决问题，用最简单的办法解决问题为最终目的．