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第10课时图形与坐标第三单元函数及其图象考点一平面直角坐标系内点的坐标特征1.各象限内点的坐标的符号特征(如图10-1)图10-1(-,+)(-,-)(+,-)2.坐标轴上的点的特征(1)点P(x,y)在x轴上⇔y=④;(2)点P(x,y)在y轴上⇔⑤=0;(3)点P(x,y)既在x轴上,又在y轴上⇔⑥.0【温馨提示】坐标轴上的点不属于任何象限.xx=y=03.平行于坐标轴的直线上的点的坐标特征(1)平行于x轴的直线上的点⇔⑦坐标相同,⑧坐标为不相等的实数.(2)平行于y轴的直线上的点⇔⑨坐标相同,⑩坐标为不相等的实数.4.象限角平分线上点的坐标特征(1)点P(x,y)在第一、三象限的角平分线上⇔x=y;(2)点P(x,y)在第二、四象限的角平分线上⇔⑪.纵横横纵y=-x5.对称点的坐标特征点P(x,y)关于x轴对称的点P1的坐标为⑫;点P(x,y)关于y轴对称的点P2的坐标为⑬;点P(x,y)关于原点对称的点P3的坐标为⑭.规律可简记为:关于谁对称,谁不变,另一个变号;关于原点对称都变号.(x,-y)图10-2(-x,y)(-x,-y)6.点平移的坐标特征P(x,y)P'(x-a,y)(或(x+a,y));P(x,y)P″⑮(x,y+b)(或(x,y-b))1.点P(x,y)到x轴的距离为⑯;到y轴的距离为|x|;到原点的距离为⑰.2.若P(x1,y1),Q(x2,y2),则PQ=⑱.特别地,PQ∥x轴⇔PQ=⑲;PQ∥y轴⇔PQ=⑳.考点二点到坐标轴的距离|x1-x2|𝒙𝟐+𝒚𝟐|y|(𝒙𝟏-𝒙𝟐)𝟐+(𝒚𝟏-𝒚𝟐)𝟐|y1-y2|考点三位置的确定1.平面直角坐标系法.2.方向角+距离.题组一必会题1.[八下P89习题3.1第3题]如图10-3,象棋盘上若“帅”位于点(1,-2),“象”位于点(3,-2),则“炮”位于点()A.(-1,1)B.(-1,2)C.(-2,1)D.(-2,2)C图10-32.[八下P86练习第1(2)题改编]下列各点中,在第四象限的点是()A.P(-2,-1)B.Q(3,-2)C.S(2,5)D.T(-4,3)3.[八下P97练习第1(2)题改编]点A(-5,3)关于y轴对称的点的坐标是()A.(5,-3)B.(5,3)C.(-5,-3)D.(-3,5)BB4.[八下P99练习第1(1)题]点A(-1,2)向右平移2个单位长度,平移后A点对应的点的坐标是.5.[八下P106复习题3第8题改编]如图10-4,△ABC的顶点坐标分别为A(6,6),B(-3,3),C(3,3),则△ABC的面积为.(1,2)图10-496.点P是第三象限内的点,且点P到x轴的距离为4,到y轴的距离为3,则点P的坐标是()A.(-4,3)B.(4,-3)C.(-3,-4)D.(3,-4)题组二易错题【失分点】用坐标表示位置时,忽略横、纵坐标特征导致出错;错误地认为P(x,y)到x轴的距离为│x│,到y轴的距离为│y│;混淆图形的变化与点的坐标的关系.C7.如果点P(m+3,m+1)在x轴上,那么点P的坐标为()A.(0,2)B.(2,0)C.(4,0)D.(0,-4)8.点(3,2)关于x轴对称的点的坐标为()A.(3,-2)B.(-3,2)C.(-3,-2)D.(2,-3)9.点P(2,-5)关于y轴对称的点的坐标为()A.(-2,5)B.(2,5)C.(-2,-5)D.(2,-5)BAC考向一坐标平面内点的坐标特征例1(1)若点A(a+1,b-2)在第二象限,则点B(-a,b+1)在()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限(2)点P(x-2,x+3)在第一象限,则x的取值范围是.[答案](1)A[解析]∵点A(a+1,b-2)在第二象限,∴a+10,b-20,解得a-1,b2,∴-a0,b+10,即点B(-a,b+1)在第一象限,故选A.x2|考向精练|1.[2019·株洲]在平面直角坐标系中,点A(2,-3)位于哪个象限()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限D2.[2019·金华]如图10-5是雷达屏幕在一次探测中发现的多个目标,其中对目标A的位置表述正确的是()A.在南偏东75°方向处B.在5km处C.在南偏东15°方向5km处D.在南偏东75°方向5km处图10-5D考向二平面直角坐标系中点的平移与对称例2(1)[2019·杭州]在平面直角坐标系中,点A(m,2)与点B(3,n)关于y轴对称,则()A.m=3,n=2B.m=-3,n=2C.m=2,n=3D.m=-2,n=3(2)[2019·滨州]在平面直角坐标系中,将点A(1,-2)向上平移3个单位长度,再向左平移2个单位长度,得到点B,则点B的坐标是()A.(-1,1)B.(3,1)C.(4,-4)D.(4,0)BA|考向精练|1.[2019·常德]点(-1,2)关于原点的对称点的坐标是()A.(-1,-2)B.(1,-2)C.(1,2)D.(2,-1)B2.[2019·黄冈]已知点A的坐标为(2,1),将点A向下平移4个单位长度,得到的点A'的坐标是()A.(6,1)B.(-2,1)C.(2,5)D.(2,-3)D3.[2019·滨州]已知点P(a-3,2-a)关于原点对称的点在第四象限,则a的取值范围在数轴上表示正确的是()图10-6[答案]C[解析]∵点P(a-3,2-a)关于原点对称的点在第四象限,∴点P(a-3,2-a)在第二象限,∴𝑎-30,2-𝑎0,解得𝑎3,𝑎2,∴不等式组的解集是a2,在数轴上表示如选项C所示.故选C.4.[2018·泰安]如图10-7,将正方形网格放置在平面直角坐标系中,其中每个小正方形的边长均为1,△ABC经过平移后得到△A1B1C1,若AC上一点P(1.2,1.4)平移后对应点为P1,点P1绕原点顺时针旋转180°,对应点为P2,则点P2的坐标为()A.(2.8,3.6)B.(-2.8,-3.6)C.(3.8,2.6)D.(-3.8,-2.6)A图10-7考向三简单图形的坐标表示例3如图10-8,在平面直角坐标系中,O为坐标原点,矩形OABC中,A(10,0),C(0,4),D为OA的中点,P为BC边上一点,若△POD为等腰三角形,则所有满足条件的点P的坐标为.图10-8[答案](2,4),(2.5,4),(8,4),(3,4)[解析]过P作PM⊥OA于M,矩形OABC中,A(10,0),C(0,4),D为OA的中点,所以OD=5.(1)当点D为顶角的顶点时,OD=PD=5,易得MD=3,从而CP=2或CP'=8,∴P(2,4)或(8,4).(2)当点P为顶角的顶点时,OP=PD,故PM是OD的垂直平分线,∴P(2.5,4).(3)当点O为顶角的顶点时,OP=OD=5,CO=4,易得CP=3,∴P(3,4).综上所述,点P的坐标为(2,4),(2.5,4),(8,4),(3,4).1.[2019·陇南]中国象棋是中华民族的文化瑰宝,因趣味性强,深受大众喜爱.如图10-9,若在象棋棋盘上建立平面直角坐标系,使“帅”位于点(0,-2),“马”位于点(4,-2),则“兵”位于点.|考向精练|(-1,1)图10-92.已知平行四边形ABCD的顶点A在第三象限,对角线AC的中点在坐标原点,一边AB与x轴平行且AB=2,若点A的坐标为(a,b),则点D的坐标为.[答案](-a-2,-b)或(-a+2,-b)[解析]如图.∵A,C两点关于坐标原点对称,且A(a,b),∴C(-a,-b).∵平行四边形ABCD的一边AB与x轴平行且AB=2,∴CD=2.∴当点B在点A的右侧时,D(-a-2,-b);当点B在点A的左侧时,D(-a+2,-b).考向四平面直角坐标系中点的坐标规律探究例4[2019·娄底]如图10-10,在单位长度为1米的平面直角坐标系中,曲线是由半径为2米,圆心角为120°的𝐴𝐵多次复制并首尾连接而成.现有一点P从A(A为坐标原点)出发,以每秒23π米的速度沿曲线向右运动,则在第2019秒时点P的纵坐标为()A.-2B.-1C.0D.1图10-10[答案]B[解析]半径为2米,圆心角为120°的弧长为:120π×2180=4π3(米),∵点P从原点A出发,沿这条曲线向右运动,速度为每秒23π米,∴当点P从原点A出发,沿这条曲线向右运动,运动时间为1秒时,点P的坐标为(3,1),运动时间为2秒时,点P的坐标为(23,0),运动时间为3秒时,点P的坐标为(33,-1),运动时间为4秒时,点P的坐标为(43,0),运动时间为5秒时,点P的坐标为(53,1),运动时间为6秒时,点P的坐标为(63,0),…,根据图象可得每移动4秒完成一个循环.∵2019÷4=504……3,∴在第2019秒时点P的横坐标为20193,纵坐标为-1.故答案为B.【方法点析】解决以循环为特征的规律探索性问题,首先从第一个图形进行分析,运用从特殊到一般的探索方式,如果以m次为一个循环,那么第n次的情形与n÷m的余数的情形是相同的,整除时与第m次情形相同.1.如图10-11,动点P在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动,第1次从原点运动到点(1,1),第2次接着运动到点(2,0),第3次接着运动到点(3,2),…,按这样的运动规律,经过第2020次运动后,动点P的坐标是.|考向精练|图10-11[答案](2020,0)[解析]∵动点P在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动,第1次从原点运动到点(1,1),第2次接着运动到点(2,0),第3次接着运动到点(3,2),∴第4次接着运动到点(4,0),第5次接着运动到点(5,1),…,∴横坐标为运动次数,纵坐标为1,0,2,0,每4次一个循环,∴经过第2020次运动后,动点P的横坐标为2020,∵2020÷4=505,故纵坐标为四个数中第四个,即为0,∴经过第2020次运动后,动点P的坐标是:(2020,0).2.如图10-12,正方形A1A2A3A4,正方形A5A6A7A8,正方形A9A10A11A12,…(每个正方形从第三象限的顶点开始,按顺时针方向,依次记为A1,A2,A3,A4;A5,A6,A7,A8;A9,A10,A11,A12;…)的中心均在坐标原点O,各边均与x轴或y轴平行,若它们的边长依次是2,4,6,…,则顶点A20的坐标为.图10-12[答案](5,-5)[解析]∵204=5,∴A20在第四象限,∵A4所在正方形的边长为2,∴A4的坐标为(1,-1),同理可得A8的坐标为(2,-2),A12的坐标为(3,-3),∴A20的坐标为(5,-5).