上海数学八年级第二学期教案

课题：21.1一元整式方程主备人：杨水莲日期：一、学情分析学生已经学习了一元一次方程和一元二次方程的有关概念以及解方程的基本方法和步骤，本节课是进一步扩展方程的有关知识。因此对于本节课的内容学生基本可以理解和接受的，但是对于含有字母系数的方程学生的理解比较困难，其中最关键的是分类讨论。二、教学目标1、知道一元整式方程与高次方程的有关概念，知道一元整式方程的一般形式.2、经历从具体问题中的数量相等关系引进含字母系数的方程的过程,理解含字母系数的一元一次方程、一元二次方程的概念，掌握它们的基本解法.3、通过解含字母系数的一元一次方程、一元二次方程,体会分类讨论的方法，了解由特殊到一般、一般到特殊的辨证思想.三、教学重点、难点重点:理解含字母系数的一元一次方程、一元二次方程的概念及解法.难点:解含字母系数的一元一次方程、一元二次方程中的分类讨论.四、教学设计教学环节教学过程设计意图课前训练、复习引入1．思考根据下列问题列方程：（1）买3本同样的练习本共需12元钱，求练习本的单价；（2）买a（a是正整数）本同样的练习本共需12元钱，求练习本的单价；（3）一个正方形的面积的4倍等于16平方厘米，求这个正方形的边长；（4）一个正方形的面积的b（b＞0）倍等于s（平方单位），求这个正方形的边长.2．讨论：你所列出的方程之间有什么区别和联系?为了更好地使学生进行联系和比较已学过的一元一次和一元二次方程与含字母系数一元一次和一元二次方程，增加了（1）（3）两个问题，也为解含字母的一元一次方程和一元二次方程埋下笔.探索新知1、归纳概念1在方程12ax和sbx2中，x是未知数;字母a、b是项的系数，s是常数项，它们都表示已知数，我们称这样的方程是含字母系数的方程，这些字母叫做字母系数.（2）、（4）问题中的方程就分别是含字母系数的一元一次方程和一元二次方程.2、讲解例题例题1解下列关于x的方程：(学生进行尝试性地类比解题)（1）;)3(2)23(xxa（2).1(1122bxbx通过学生自主尝试解含字母系数方程,充分暴露学生忽略等式性质中非零条件的限制及根判别式非负的要求，在分情况进行讨论的思维上的缺陷,教师再进行解释和引导,同时强调是在字母3、思考含字母系数的方程与不含字母系数的方程在解的过程中存在什么区别吗？4、结论含字母系数的一元一次和一元二次方程在解的过程中，由于字母的不确定性，在使用等式性质和根的判别式时，往往需要进行分情况进行讨论；如果字母能确定，则不需要讨论不能确定的时候才需讨论,否则不必要,从而使学生对这一思想的认识更为清晰和牢固.例题讲解、尝试解题1：问题引入21)有一块边长为10分米的正方形薄铁皮，在它的四个角上分别剪去大小一样的一个小正方形，然后做成一个容积为48立方分米的无盖长方体物件箱.设小正方形的边长为x分米，根据题意列方程；2)某厂2006年产值为100万元，计划到2010年产值增长到161.051万元.设每年的平均增长率为x,根据题意列方程.2:归纳概念2①如果方程中只有一个未知数且两边都是关于未知数的整式,这个方程叫做一元整式方程;②一元整式方程中含未知数的项的最高次数是n(n是正整数),这个方程叫做一元n次方程;其中次数n大于2的方程统称为一元高次方程,简称高次方程.3:讲解例题:例题2判断下列关于x的方程,哪些是整式方程?这些整式方程分别是一元几次方程?;1523)3(;0814)2(;0121)1(332axxaxxax.087)6(;322)5(;3122)4(242xxaaxxxx说明增加问题2是为了提供更多的素材，帮助学生寻找共性，感受概念，从而为接下去的归纳概念提供更多的直观认识.例2是为了帮助学生认识整式方程的概念。特别是对于3、4、5这三个方程的区别。巩固练习课本练习21.11、2、3课堂总结通过本堂课你有什么收获?作业布置完成练习册21.1作业五、课后反思课题：21.2（1）特殊的高次方程的解法主备人：杨水莲日期：一、学情分析学生已经掌握了高次方程的概念以及解方程的基本思想“转化”和基本策略“降次”，利用从特殊到一般的元则，本节课先学习特殊的高次方程---二项方程的解法，学生可以利用乘方和开方的逆运算关系是比较容易掌握的，但是对于双二项方程先判断方程是否有根这一点容易忘记。二、教学目标1．理解和掌握二项方程的意义以及二项方程的解法；2．学会把一个代数式看作一个整体，掌握可以通过换元转化为二项方程的方程的解法,经历知识的产生过程，感受自主探究的快乐.三、教学重点、难点重点：掌握二项方程的求解方法.难点：把“整体”转化为“新”元的二项方程.四、教学设计教学环节教学过程设计意图课前训练、复习引入1．复习提问：请同学们观察下列方程(1)2x+1=0(2)0652xx(3)03422xx；(4)23x=3；(5)083x；(6)016215x；(7)01853x；(8)0323234tttt；(9)010324yy.提问（1）哪些是整式方程？一元一次方程？一元二次方程？（2）后5个方程与前3个方程有何异同？（3）方程（5）（6）（7）有什么共同特点？既复习了上一节课的内容又为今天的埋下伏笔。让学生明白不管是开方还是换元都是通过“降次”达到化归目的.探索新知1．概念辨析（1）一元高次方程通过上述练习，师生共同得出一元高次方程的特点：（1）整式方程;（2）只含一个未知数;（3）含未知数的项最高次数大于2次.从而提出一元高次方程的概念，并标题，提出本节课的主要内容，学习简单高次方程及其解法.（2）二项方程：如果一元n次方程的一边只有含未知数的一项和非零的常数项，另一边是零，那么这样的方程就叫做二项方程.（3）一般形式：关于x的一元n次二项方程的一般形式为是正整数）nbabaxn,0,0(0利用观察、辨析得出二项方程的概念，使学生具体的认知二项方程的主要特征，再引导学生抽象出一般的二项方程。注①nax=0（a≠0）是非常特殊的n次方程，它的根是0.②这里所涉及的二项方程的次数不超过6次例题讲解、尝试解题1：试一试：（学生尝试，教师讲评）解下列简单的高次方程：（1）83x（2）164x（3）016215x（4）011853x分析解一元n次（n2）次二项方程，可转化为求一个已知数的n次方根.如果在实数范围内这个数的n次方根存在，那么可利用计算器求出这个方程的根或近似值.2：例1：利用计算器解方程06835x（近似根保留三位小数）3：例2：利用计算器解下列方程（近似根保留三位小数）（1）0643x（2）01824x（3）023215x（4）016x思考：解二项方程是正整数）nbabaxn,0,0(0（学生自主归纳，教师总结）结论：对于二项方程是正整数）nbabaxn,0,0(0当n为奇数时，方程有且只有一个实数根.当n为偶数时，如果ab0，那么方程有两个实数根，且这两个根互为相反数；如果ab0，那么方程没有实数根.3．问题拓展（1）解方程043y（2）在上述方程中，若y=x+1时，求x的值.（3）解二项方程：010)31(24x这里的试试意在引导学生探索二项方程的解法，让学生在自主进行解方程的活动中运用化归的思想和已经有的知识来解决新问题，从中获得过程的体验和学习的经验例1是指导学生进一步掌握二项方程的解法和指导学生使用计算器。例2是强调先判断方程是否有根，再利用计算器。拓展是把书上的例3进行了改编，先利用换元的思想进行了铺垫.在解题（3）时，可以模仿前两小题的换元思想，也可以把1-3x看作一个整体直接求解.这样的设计能让学生体会到自主解决问题的快乐，从而激发他们对数学的兴趣.巩固练1．判断下列方程是不是二项方程：（1）08213x；（2）04xx；（3）95x；（4）13xx.2．利用计算器解下列方程（近似根保留三位习小数）：（1）02435x；（2）054123x；（3）010324x3．利用计算器解下列方程（近似根保留三位小数）：（1）7)2(3x；（2）012)32(4x.课堂总结1．什么是二项方程？2．解二项方程的一般步骤是什么？3．解一元高次方程的基本方法是什么？作业布置练习册：习题21.2（1）五、课后反思课题：21.2（2）特殊的高次方程的解法主备人：杨水莲日期：一、学情分析上一节课的拓展题已经为本节课的教学作了铺垫，已经有了换元的思路以及解一元二次方程的方法之一---配方法，就可以顺利完成本节课的学习。二、教学目标1．理解双二次方程的意义，了解高次方程求解的基本方法是降次，会用换元法把双二次方程转化为一元二次方程；2．学会判断双二次方程的根的个数;3.通过学习增强分析问题和解决问题的能力.三、教学重点、难点掌握双二次方程的求解方法，学会判断双二次方程的根的个数四、教学设计教学环节教学过程设计意图课前训练、复习引入1．复习请同学们解下列一元二次方程：(1)0452yy(2)0122yy（解题时可以穿插复习一元二次方程的四种解法：因式分解法、开平方法、配方法、求根公式法）2．思考：若令2xy,则方程变形为（1）04524xx，（2）01224xx如何求解上述方程？3．观察：提问：以下哪些方程与04524xx，01224xx具有共同的特点？（1）0451424xx（2060723xxx（3）0105223xxx（4）013224xx（5）012134xx本环节的设计是为下面的学习作铺垫的。利用方程变形为解双二项方程做准备。探索新知1：概念辨析（1）双二次方程：只含有偶数次项的一元四次方程.注当常数项不是0时，规定它的次数为0.（2）一般形式：)0(024acbxax（3）学生归纳：如何求解双二次方程？分析求解的思想方法是“降次”，通过换在比较中得出双二项方程的特征。从而得出双二项方程通过换元可以转化为一元二次方程。元把它转化为一元二次方程.例题讲解、尝试解题1：例4：解下列方程：（1）014924xx（2）024524xx2：例5：解方程020924xx分析：双二次方程既可以用换元法，也可以把2x看作一个整体直接求解.3：问题拓展（1）自主探究：不解方程，判断下列方程的根的个数：（组织学生分小组谈论，也可采用竞赛的形式）①06524xx；②013224xx；③04224xx；④036224xx.分析：令2xy①△0,y1y20,y1+y20∴原方程有四个实数根.②△0,y1y20,y1+y20∴原方程没有实数根.③△0,y1y20,∴原方程有两个实数根.④△0∴原方程没有实数根.（2）学生归纳：你对双二次方程的根的个数有什么发现？当△≥0时，如果y1y20，那么原方程有两个实数根；如果y1y20且y1+y20，那么原方程有四个实数根；如果y1y20且y1+y20，那么原方程没有实数根.当△0时，原方程没有实数根.例4是让学生初步掌握解双二项方程的解法，例5让学生感性认识双二项方程的实数根的个数和实数根之间的关系。因为双二次方程能转化为一元二次方程，所以判断双二次方程的根的个数问题实际上就转化为判断一元二次方程根的个数问题，学生就很容易联想到根的判别式△，结合x2本身是个非负数，考虑在实数范围内解的情况.韦达定理在这里的应用是一个难点，可以更深刻地帮助学生理解双二次方程与一元二次方程的关系.巩固练习分层解下列高次方程.A（1）x4+3x-10=0;(2)3x4-2x2-1=0.B（1）（x2+2x）2-7(x2+2x)+12=0;（2）（x2+x）2+（x2＋x）=2;（3）（6x2-7x）2-2（6x2-7x）=3;（4）(x2+x)2-5x2-5x=6.C（1）(2x2-3x+1)2+4x2-1=6（2）12x4-56x3+89x2-56