2013年中考数学二轮复习专题突破四方案设计题

2013年中考数学二轮复习专题方案设计型问题要求以方案设计的形式解决数学问题，问题情境包含实际问题情景和数学问题情境，设计目标有图形设计问题、测量方案问题、经济方案问题等，它一般包括“问题情境——模型建立——说明、应用和拓展”等具体求解过程，三种设计目标所建立的数学模型如下：1．图形设计方案题：在实际生活的背景下，不只是传统的简单作图，而是运用轴对称图形和中心对称图形的性质，借助某些规则的图形(如等腰三角形、菱形、矩形、圆)的性质，通过对图形进行分解与组合进行创新设计．专题突破四┃方案设计题2.测量方案设计题：利用全等三角形、相似三角形、锐角三角函数等设计一个可行的方案，对某一物体的长度、高度、宽度等进行测量计算．3．经济方案设计题：提供或寻求到多种解决问题的方案，并考虑到实施中的经济因素，选择最佳(可行)方案，主要建立方程模型、函数模型、概率模型以解决问题．方案设计题贴近生活，具有较强的操作性和实践性，考查学生的动手实践能力和创新设计才能，解决问题时要慎于思考，并能在实践中对所有可能的方案进行罗列与分析，得出符合要求的一种或几种方案.专题突破四┃方案设计题例1[2011·宜宾]如图X4－1，飞机沿水平方向(A，B两点所在直线)飞行，前方有一座高山，为了避免飞机飞行过低，就必须测量山顶M到飞行路线AB的距离MN.飞机能够测量的数据有俯角和飞行距离(因安全因素，飞机不能飞到山顶的正上方N处才测飞行距离)，请设计一个求距离MN的方案，要求：(1)指出需要测量的数据(用字母表示，并在图中标出)；(2)用测出的数据写出求距离MN的步骤．►类型之一测量方案设计问题图X4－1专题突破四┃方案设计题解：此题为开放题，答案不唯一，只要方案设计合理即可，答案列举如下：(1)如图，测出飞机在A处对山顶的俯角为α，测出飞机在B处对山顶的俯角为β，测出AB的距离d，连结AM，BM，过M点作MN⊥AN，垂足为N.专题突破四┃方案设计题(2)第一步骤：在Rt△AMN中，tanα＝MNAN，∴AN＝MNtanα；第二步骤：在Rt△BMN中，tanβ＝MNBN，∴BN＝MNtanβ，由AN＝d＋BN，解得MN＝d·tanα·tanβtanβ－tanα.专题突破四┃方案设计题这是一道测量方案设计的题目，它是在限定条件的情况下，测量MN之间的距离，对测量方法、测量数据及MN的计算表达式均无限制，因此解题的方法较多.构造适当的直角三角形是解题的关键所在.专题突破四┃方案设计题例2在所给的9×9方格中，每个小正方形的边长都是1.按要求画平行四边形，使它的四个顶点以及对角线交点都在方格的顶点上．(1)在图甲中画一个平行四边形，使它的周长是整数；(2)在图乙中画一个平行四边形，使它的周长不是整数．►类型之二图形设计方案问题图X4－2专题突破四┃方案设计题解：专题突破四┃方案设计题例3(1)计算：如图X4－3①，直径为a的三个等圆⊙O1、⊙O2、⊙O3两两外切，切点分别为A、B、C，求O1A的长(用含a的代数式表示)；(2)探索：若干个直径为a的圆圈分别按如图②所示的方案一和如图③所示的方案二的方式排放，探索并求出这两种方案中n层圆圈的高度hn和hn′(用含n、a的代数式表示)；图X4－3专题突破四┃方案设计题(3)应用：现有长方体集装箱，其内空长为5米，宽为3.1米，高为3.1米．用这样的集装箱装运长为5米，底面直径(横截面的外圆直径)为0.1米的圆柱形钢管，你认为采用(2)中的哪种方案在该集装箱中装运钢管数最多？并求出一个这样的集装箱最多能装运多少根钢管？(≈1.73)专题突破四┃方案设计题解：(1)∵⊙O1、⊙O2、⊙O3两两外切，∴O1O2＝O2O3＝O1O3＝a.又∵O2A＝O3A，∴O1A⊥O2O3，∴O1A＝a2－14a2＝32a.(2)hn＝na，h′n＝32n－1a＋a，专题突破四┃方案设计题(3)方案二装运钢管最多．即：按图③的方式排放钢管，放置根数最多．根据题意，第一层排放31根，第二层排放30根，设钢管的放置层数为n，可得32n－1×0.1＋0.1≤3.1，解得n≤35.68.∵n为正整数，∴n＝35.钢管放置的最多根数为：31×18＋30×17＝1068(根)．专题突破四┃方案设计题例4[2012·南充]学校6名教师和234名学生集体外出活动，准备租用45座大车或30座小车．若租用1辆大车2辆小车共需租车费1000元；若租用2辆大车1辆小车共需租车费1100元．(1)求大、小车每辆的租车费各是多少元？(2)若每辆车上至少要有一名教师，且总组成费用不超过2300元，求最省钱的租车方案．►类型之三经济方案设计题专题突破四┃方案设计题解：(1)设租用一辆大车的租车费是x元，租用一辆小车的租车费是y元，依题意，答：大、小车每辆的租车费分别是400元和300元．专题突破四┃方案设计题(2)240名师生都有座位，租车总辆数≥6；每辆车上至少要有一名教师，租车总辆数≤6.故租车总数为6辆，设大车辆数是x辆，则租小车(6－x)辆．得：解得4≤x≤5.∵x是正整数，∴x＝4或5.于是有两种租车方案，方案1：大车4辆小车2辆总租车费用2200元，方案2：大车5辆小车1辆总租车费用2300元，可见最省钱的是方案1.专题突破四┃方案设计题例5[2012·青岛]在“母亲节”期间，某校部分团员参加社会公益活动，准备购进一批许愿瓶进行销售，并将所得利润捐给慈善机构．根据市场调查，这种许愿瓶一段时间内的销售量y(个)与销售单价x(元/个)之间的对应关系如图X4－4所示：(1)试判断y与x之间的函数关系，并求出函数关系式；►类型之四利用函数进行方案设计图X4－4专题突破四┃方案设计题(2)若许愿瓶的进价为6元/个，按照上述市场调查的销售规律，求销售利润w(元)与销售单价x(元/个)之间的函数关系式；(3)若许愿瓶的进货成本不超过900元，要想获得最大利润，试确定这种许愿瓶的销售单价，并求出此时的最大利润．专题突破四┃方案设计题解：(1)y是x的一次函数，设所求函数关系式为y＝kx＋b.由于该函数的图象过点(10，300)，(12，240)，∴y＝－30x＋600.当x＝14时，y＝180；当x＝16时，y＝120，即点(14，180)，(16，120)均在函数y＝－30x＋600图象上．∴y与x之间的函数关系式为y＝－30x＋600.专题突破四┃方案设计题(2)w＝(x－6)(－30x＋600)＝－30x2＋780x－3600.即w与x之间的函数关系式为w＝－30x2＋780x－3600.(3)由题意得6(－30x＋600)≤900，解得x≥15.w＝－30x2＋780x－3600图象的对称轴为x＝－7802×（－30）＝13.∵a＝－300，∴抛物线开口向下，当x≥13时，w随x增大而减小．∴当x＝15时，w最大＝1350.即以15元/个的价格销售这批许愿瓶可获得最大利润1350元．专题突破四┃方案设计题在实际问题或数学问题中建立方程、不等式或函数模型后，利用不等式(组)、函数的最大(小)值可求最大利润、最大面积、最佳方案等问题.专题突破四┃方案设计题