5通信网理论-排队论基础3

通信网理论（三）排队论与通信网业务分析排队论基础（3）纪阳北京邮电大学移动生活与新媒体实验室E-mail:[e-mail]11.()()2.mrrrttmrTTTtRtTRtdtTTErlangAErlangmττττ=+=====∑∫业务量：占线时间：在观测时间内信道被占用的总时间。设有条线路，在条被占用秒，则若瞬时有条线被占用，观测期内的业务量为呼叫量：线路占用率－观察时间内线路被占用的百分比占线时间业务量呼叫量（）观察时间观察时间单位：厄朗（），亦称爱尔兰。可见，若11;111lim()ttAmAARtdtττττ+→∞=≤→∞=∫则若则可能平均呼叫量－网设计要求之一，理论上，通信网业务模型与分析一各种测度()130:Rtthroughputofferedtrafficτ∞∴=g但在区间内不稳定通常取小时－小时呼叫量（小时厄朗）日呼叫量－一天中最忙小时内的厄朗数（亦称小时厄朗）年呼叫量－一年取日，其日呼叫量的平均值－基准呼叫量小网－四季变化不大，以日呼叫量为设计依据大网－日呼叫量变化不大，以年呼叫量为设计依据可见呼叫量－指实际可接通的业务流（）－实际要求接通的呼叫量，若不超网能力（二者相等）0000/1:a=mmpm=mmmλλλττμλτλλρλτμμ=====g对应排队模型的参数：－窗口数（线路数）－每窗口平均分担呼叫率（次秒）总到达率－平均服务时间，即每次呼叫的平均占线时间。（）则平均呼叫量为其中（排队强度）01.();-lim2.NttNNNλλλ→∞ΔΔ=gggg纯随机呼叫潜在呼叫源用户为无限多用户间满足平稳、独立、疏稀性泊桑流；则内有呼叫的概率为，总呼叫率为此类呼叫数学上便于描述处理，但实际网用户总量是有限的，只能近似，严格说并非纯随机呼叫。准随机呼叫：有限用户数，相互独立，但很大；实际呼叫多属此类；到达与--0,-tteertNrtNλμλμλΔΔ服务均服从指数分布（）设有个用户在通信，则内有呼叫的概率为（）越大，越接近于纯随机呼叫；二几类呼叫()()11234%()()!1-iiirtiiikkktNrrIpterttttktptekitλλλλλααλλδλ−=−⋅↑↑↑⋅==++⋅⋅⋅=−∑重复呼叫：拒绝系统，被拒再呼，增加复杂性当很大，重呼不太严重，可视为新的呼叫，仍为泊桑流重复呼叫－－拒－再增－至拥塞。其他呼叫：如阶指数分布：共类，第类占－综合业务阶厄朗分布：－成批处理（电报）定长分布：（）－信息包（分组）1.()TCCC⎧⎨⎩呼叫与阻塞为稳态——实际多为拒绝型截止型用户看为呼损当系统为拒绝态系统视为阻塞呼损率与阻塞率--拒态占全态的百分比两种阻塞率：时间阻塞率呼叫阻塞率三各种指标cnncccnCCTppnCppPtnPnCCP====时间阻塞率：观察时间内阻塞时间所占百分比呼叫阻塞率：从次数上看阻塞时间－拒概（截止）总时间被拒呼叫次数－呼损率总呼叫次数排队模型看：－拒概：任时刻随机观察，队长为的概率；－到达时刻观察，处于的概率。（）－有呼叫，统计（用户角度），不呼叫不统计，但不呼叫时可能已阻塞。0000(),(-)(-)ncncnnnrrTCPCCTCPPPPNNnPCCNnPλγλλ=∴≤≤==∑Q－时间统计，客观统计（客观角度）阻塞时间内可能无呼叫发生，用户未表现出有即。纯随机呼叫时，准随机呼叫情况下的呼损个用户，每用户平均呼叫率有个正被服务呼叫阻塞率：0Nnnnrr0cnncN,Nn,limNPCC=PTCPNnPPPPλλλλ→∞→∞===≈∑??=当时为纯随机呼叫此时有可见，时，用时间比统计，一般交易；用次数比统计，稍难（现代技术亦不尽然）()112.stciiPP=−−∏呼损与转借次数，转接越多，总呼损越高。时延指标：是网的另一重要指标，对实时性业务尤为重要。时延－指消息进入系统至服务完毕所需要的时间包括转接。cc=W=0PW0Pωτ+↑↑+≠时延系统时间传输时间+处理时间可以从技术上减少主要考虑此项时延与呼损有关，并非时延越小越好。即拒方式－，大（实时业务）延拒方式－，小（非实时业务）时延业务亦可用排队方式—呼叫排队。（如程控呼叫等待）31-()1-/rWTTrPcPcτηαλ∴⋅⎧⎨⎩适当等待以减小呼损，但通话时不允许较大时延。一般时延指标只考虑，不计。通过量与信道利用率无呼损两者相等通过量与要求传送的量有呼损两者不等呼叫量的通过量（）厄朗呼叫次数接通量（）（次秒）(1-)TrCTrCPcmηαη=∴=信道利用率－窗口平均占有率－呼叫的通过量（如占用路数）－信道容量（如总路数）业务分析的步骤与举例一分析步骤¾规定模型：选择适当的排队模型与实际问题近似。直接引用，不可套用。考虑某些原则（如优先制）。¾定义状态：求解的关键。定义好状态随机变量，减少维数。常见的如系统队长，占线数等。¾作状态图：即状态转移图。注意马尔可夫性的利用。¾列状态方程：某状态概率变化率=进入该态概率-离开该态概率¾求解状态方程组：求解各目标参量，网的指标。00Nme,Nμτλμλλ−=交换站（局）：用户，每用户，条出中继线，每中继线服务时间（占用时间）为指数分布总到达率1)有限用户即时拒绝系统二举例0101000101://()-1(1)[()](0)(0)-1kkkmmkMMmnNkPkPNkkPkmNPPkNmPmPλμλλμλμλμ−+−+++=−+==+=定义状态：队长。模型非纯问题。稳态方程：（）（）0()1mrrkmP=⎧⎪⎨⎪=⎩=∑及0022102001000000-)-)mmNmrrNrkkNkNmkkNkCmmmmNCncrPNPPCPPCPPPCTCPPCPNnPCCPCCNnPρρρλμρρρρρλλ=−====⋅⋅⋅=⎡⎤=⎢⎥⎣⎦==∑=∑求解：令递推：归一求：－时间阻塞率－即拒绝概率（－呼损－参见前准随机呼叫结果（（000-100-1000-)()-)()-)-)nrmmmmmmNNcmmmrrrrrrNNrrNmPNrPNmCPCPNrPNrPNrCPCλρρλρρ===−====−∑∑∑∑∑）（（（（-1!!(-)()()!!()!!!(1)!(-)()!!(-1)!!(1)![(-1)]!!()kmNNmNkNNNNCNmCNmNkkNkkNNNNmNmmNmmNNNCNmmNkCNC==−⋅−−⋅−==−−−=⋅=−−=⋅有-100-12002,111-12125-12,0.512kNmNNNNNNPNNmNNammλρρλμμρρλρμ====→=⎡⎤=++=⎢⎥⎣⎦====Q以为例（即－到达与服务统计平衡）（）代入得相当于强度即222()1()51120.119(1)(2)5522,0mmccNTCPPNNNPPNNCCPNNNP−===−====→−−==−+==→占满线率（拒概）与有关，有阻塞呼损：无呼损012121100012001,1/22,111022112-125-1(1-)NckkkPPPPPPCPNPPNNPPNPkmηρρρηαη=⎧⎪∴=⎨⎪=⎩=⋅++=+=====+==，而（）不满足此为泊桑的结果，此处不可用。因为此时的呼叫量与系统状态有关，不是常量11000mkkNmkkmkkkNkNCkPmmCρρηρ−−=====∑∑∑效率：占用率：22-15-1105ccncnNNNppNppNmppNNmη→∞=→∞=≈??可见：时时（约）可取即可近似两种输出线路zA:主用线zB：备用线（A溢出时B）并非A故障时用B目标与假设：分析呼损，为方便可假设为无限用户定义状态：（a,b）={00,01,10,11}01－有，AB占，A先毕，B尚有2）例：主备线即时拒绝系统001001110111011010001100:()(1)01:()(2)11:2()(3)10:()(4)pppppppppppλμμλμμλλμλμ=+=+=++=+状态图:λλλμμμμ()0010011120001221011220110112112221)(22)(2)21)(22)(22)1(1)222//22ijppppppppppppMMλρμρρρρρρρρρρρρρρρρηρρ=+++====+++++++==++++++=++=++∑加即令解得：（（系统利用率：（）（此时利用率同3）公用备线即时拒绝系统如图，A，B公用一条备线服务率均为μ状态为三维矢量（x,y,z），分别表示三线的空闲状况状态图：服务率均为μ()()()()1200001000110012001011101120102000011110121001000110101101120100011111211010102100111210110011()()()()(2)()(2)(2)(ppppppppppppppppppppppppppλλμλλμμλλμλμλλμλμλμλμλλμλλμλμλ+=++++=+++=++++=+++=++++=+++=+001111111011121102101)3()pppppμμλλλλ+=+++状态方程：服务率均为μ()()()()()1222000001220101000111102232110110:143375430.535.53243463ijkpppppppppλλλλρμρρρρρρρρρρρρρρρρ====+++==ΔΔ++++====ΔΔ++++==ΔΔ∑归一化条件令解得：（）()()11011112011111121223212111432——8201632141215103ccccAACpppBBCppppppρρρλλλρρρρρρρρρ=+=+====+++==ΔΔ=+++++路呼损率，忙，路呼损率，忙，在上述，条件下，二者相等，为：（）全系统阻塞率为其中2232282016322210.260.2ccccAppppρρρρρρρρ+++′==++Δ′===公用备线与两个主备系统的比较右图省一条备用线，今讨论省此线对呼损的影响，取路呼损。（）左图右图当时，，，共有备线呼损大，（省一线的结果）（中呼叫率）22222222222111(1)222212121163(1)()221103111231121222211ccccccppppppρρρρρρρρρρρρρρρρρρρρρρρρρρρ⎡⎤⎢⎥==≈⋅≈⋅−⎢⎥+++++⎢⎥⎣⎦+′≈⋅+⋅⋅++′′==≈−≈−+++++=?B当为低呼叫率情况左图右图或低时与差别较小，共用线有好处（省一条线）当时为高呼叫率情况二者呼损都相当高可见：在业务量不大的情况下，公用备线对呼叫率影响甚小，可取（省线）。在业务繁忙的情况下，采用公用备线需考虑呼损是否允许。4）优先制系统（非即拒）以上三例均为即拒，现考虑允许排队的优先制情况。方式：zN个业务流z共用一个信道z事先确定的优先级（级低的占线条件：高级别的无排队，且线路空）z甚至可强拆（级高的呼叫可强行中断在占线的级低用户）以两队为例（A，B均为可排队，线空A优先，不强拆）定义状态及变量：线路t{1线不空0线空}rArsBs⎧⎨⎩－队为人等待排队－队为人等待状态：（t，r，s）t=0则r=0，s=0(系统无顾客)（t，r，s）=（0，0，0）态，设t=0为0态，于是t=1时可用二维描述。(t，r，s)→（r，s）11:(,)(00,01,02,11,12,20,21,22)rsptArBstrs===⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅↑－时，队人，队人等待的概率（不计服务中的）；；线上有人，无人排队状态图：()()()()12010,120,-11201,01-1,0121-1,2,-11,12000000001:01:00:0:1sssrrrrsrsrsrsrsrzrtPpppstPpprsPppprstPPPPλλμμμλλλμμλλλμλλμλλμ+++∞====++=++==++=+++=++===+=+=∑方程：，第一行，第一列，归一化：ABS0BMM10∞≡+若不拒绝，为个方程与变量——二维差分方程