2013年高考数学总复习 2-5 对数与对数函数课件 新人教B版

第五节对数与对数函数重点难点重点：①对数的概念、性质、运算法则、换底公式．②对数函数的概念、图象与性质．难点：①对数的换底公式．②对数函数图象、性质的应用．③简单对数方程、不等式的求解．知识归纳一、对数1．定义：ab＝N⇔b＝(a0，a≠1，N0)．2．性质：(1)负数和零没有对数；(2)1的对数为0；(3)底的对数为1.3．恒等式：(1)＝，(2)logaab＝.(a0，a≠1，N0)logaNNb4．运算法则：(1)loga(MN)＝；(2)logaMN＝；(3)logaNn＝；(4)loganN＝.(其中M0，N0，a0且a≠1，n∈N*)logaM＋logaNlogaM－logaNnlogaN1nlogaN5．换底公式：logab＝logcblogca(c，a0且c，a≠1，b0)由换底公式得：logab＝1logba，loganbm＝logab.另外：log10N＝lgN，logeN＝lnN(e＝2.71828…)分别叫做常用对数和自然对数．mn二、对数函数的图象与性质定义y＝logax(a0，a≠1)图象(1)定义域：(0，＋∞)(2)值域：R(3)过点(1,0)，即当x＝1时，y＝0.(4)当时，在(0，＋∞)是增函数；当时，在(0，＋∞)上是减函数．x10x1a1性质0a1指数函数与对数函数互为反函数，图象关于直线y＝x对称，单调性相同．a10a1y0y0y0y0三、反函数的概念与性质1．若函数y＝f(x)的定义域为A，值域为B，对于B中的每一个元素y0，在A中都有唯一的元素x0与之对应，则函数y＝f(x)存在反函数，记为y＝f－1(x)，且y＝f－1(x)的定义域为y＝f(x)的值域．指数函数y＝ax(a0且a≠1)与对数函数y＝logax(a0且a≠1)互为反函数．2．互为反函数的图象之间的关系(1)y＝f－1(x)与y＝f(x)的图象关于直线对称．(2)若点P(a，b)在y＝f－1(x)的图象上，则点在y＝f(x)的图象上．若y＝f(x)存在反函数y＝f－1(x)，则f(a)＝b⇔y＝x(b，a)a＝f－1(b)．误区警示1．忽视底数a1与0a1时性质的区别及函数的定义域致误．2．只有一一对应的函数才存在反函数．3．解答对数的运算及对数函数的问题，要时刻牢记对数运算法则中的限制条件和对数函数的定义域．一、转化的思想指数式ab＝N与对数式logaN＝b(a0且a≠1，N0)可以互化，在解决与指数式、对数式有关的问题时，利用指对互化(或等式两端取同底的对数)结合换底公式常能起到事半功倍的效果．二、数形结合的思想有关指数(或对数)与三角函数或(一次、二次函数、幂函数)构成的方程解的个数讨论，不等式恒成立等问题，常通过作出相应基本初等函数的图象，用数形结合法求解．三、解题技巧1．注意对数恒等式、换底公式及对数运算法则的灵活运用及指对互化的应用．2．(1)同底数的对数比较大小用单调性．(2)同真数的对数比较大小用图象或换底或转化为指数式．(3)作差或作商法(4)利用中间量0、1比较．3．对数函数图象在第一象限内底数越小，图象越靠近y轴(逆时针底数依次变小)，在直线x＝1右侧，底大图低(区分x轴上方与下方)．4．在对数运算中，常常先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后再运用对数运算法则化简合并，在运算中要注意化同底和指对互化的运用．[例1](2011·苏北四市二模)(lg2)2＋lg2lg5＋lg5＝________.分析：注意到lg2＋lg5＝1，可通过提取公因式产生lg2＋lg5求解．对数的运算与性质解析：(lg2)2＋lg2lg5＋lg5＝lg2(lg2＋lg5)＋lg5＝lg2＋lg5＝1.答案：1(文)(2010·四川高考)2log510＋log50.25＝()A．0B．1C．2D．4解析：2log510＋log50.25＝log5100＋log50.25＝log525＝2，故选C.答案：C(理)(1)lg25＋lg2·lg50＋(lg2)2；(2)(log32＋log92)·(log43＋log83)．解析：(1)原式＝(lg2)2＋(1＋lg5)lg2＋lg52＝(lg2＋lg5＋1)lg2＋2lg5＝(1＋1)lg2＋2lg5＝2(lg2＋lg5)＝2.(2)原式＝lg2lg3＋lg2lg9·lg3lg4＋lg3lg8＝lg2lg3＋lg22lg3·lg32lg2＋lg33lg2＝3lg22lg3·5lg36lg2＝54.答案：(1)2(2)54[例2](文)已知函数y＝loga(x＋b)的图象如图所示，则ab＝________.对数函数的图象解析：由图象知logab＝1，logab－2＝0，得a＝b＝3，所以ab＝33＝27.答案：27(理)(2011·湖北六市联考)已知函数f(x)＝loga(2x＋b－1)(a0且a≠1)的图象如图所示，则a，b满足的关系是()A．0a－1b1B．0ba－11C．0b－1a1D．0a－1b－11分析：观察图形可见f(x)为增函数，－1f(0)0，y＝0时x0，可依据以上信息结合解析式讨论．解析：∵t＝2x＋b－1单调增，f(x)单调增，∴a1.由图知－1f(0)0，∴－1logab0，∴a－1b1，故选A.答案：A(文)(2010·四川文，2)函数y＝log2x的图象大致是()解析：由对数函数y＝log2x定义域x0，排除A，B；由单调增排除D，故选C.答案：C(理)(2010·福建省宁德市模拟)函数y＝lg|x－1|的图象是()解析：由解析式可知，x＝0或2时，y＝0，排除B、D；x＝－1时，函数有意义排除C，故选A.答案：A[例3](文)设a1，函数f(x)＝logax在区间[a,2a]上的最大值与最小值之差为12，则a＝()A.2B．2C．22D．4对数函数的单调性与最值解析：因为a1，所以f(x)＝logax在区间[a,2a]上为增函数，最大值为loga2a，最小值为logaa.因此loga2a－logaa＝12，即loga2＝12，解得a＝4.答案：D(理)设a0且a≠1，函数f(x)＝logax在区间[a,2a]上的最大值与最小值之差为12，则a等于()A.2B．2或12C．22D．4或14分析：∵a1与0a1时，f(x)的单调性不同，∴最小值、最大值也不同，故需分类讨论．解析：当0a1时，f(x)在[a,2a]上单调递减，由题意得，logaa－loga2a＝12，∴loga2＝－12，∴a＝14.当a1时，∴f(x)＝logax在[a,2a]上为增函数，∴loga2a－logaa＝12，解得a＝4，故选D.答案：D(2011·江苏四市联考)已知函数f(x)＝|log2x|，正实数m、n满足mn，且f(m)＝f(n)，若f(x)在区间[m2，n]上的最大值为2，则m、n的值分别为()A.12、2B.12、4C.22、2D.14、4解析：f(x)＝|log2x|＝log2x，x≥1－log2x，0x1，根据f(m)＝f(n)及f(x)的单调性知，0m1，n1，又f(x)在[m2，n]上的最大值为2，故f(m2)＝2，易得n＝2，m＝12.答案：A[例4]对于0a1，给出下列四个不等式①loga(1＋a)loga(1＋1a)；②loga(1＋a)loga(1＋1a)；利用对数函数的单调性比较大小解析：由于0a1⇒a1a⇒1＋a1＋1a，∴loga(1＋a)loga(1＋1a)，a1＋a∴选D.答案：D(文)设a1，且m＝loga(a2＋1)，n＝loga(a－1)，p＝loga(2a)，则m，n，p的大小关系为()A．nmpB．mpnC．mnpD．pmn解析：由a1得a2＋12aa－10，∴loga(a2＋1)loga(2a)loga(a－1)．答案：B解析：取a＝12满足条件，则画出图象后知选D.答案：D[例5]设函数f(x)＝loga(x＋b)(a0且a≠1)的图象过点(2,1)，其反函数的图象过点(2,8)，则a＋b等于()A．6B．5C．4D．3分析：反函数的图象和原函数的图象关于直线y＝x对称．点P(a，b)在原函数y＝f(x)的图象上⇔点P′(b，a)在反函数y＝f－1(x)的图象上．解答该题不需要求出反函数．反函数的概念解析：由题意得，logab＋2＝1，logab＋8＝2，解得a＝3，b＝1.于是a＋b＝4，选C.答案：C点评：新课标对反函数要求很低，只要了解以下基本内容即可：①反函数的定义域和值域分别是原来函数的值域和定义域．②反函数的图象与原来函数的图象关于直线y＝x对称，即若点P(a，b)在反函数的图象上，则点P′(b，a)在原来函数的图象上．③由函数的定义知，只有一一对应的函数才存在反函数．(2010·重庆南开中学)函数y＝lg(x＋1)的反函数的图象为()解析：解法1：∵函数y＝lg(x＋1)的图象过点(0,0)，故反函数图象过点(0,0)，排除A、B、C，选D.解法2：函数y＝lg(x＋1)的反函数为y＝10x－1，故选D.答案：D[例6](文)(2011·浙江省“百校联盟”交流联考卷)已知0a1，loga(1－x)logax则()A．0x1B．x12C．0x12D.12＜x1分析：底数相同，真数不同，可利用对数函数y＝logax的单调性脱去对数符号转化为整式不等式求解．对数方程与不等式解析：∵0a1时，y＝logax为减函数，∴原不等式化为1－x0x01－xx，解得0x12.答案：C(理)设0a1，函数f(x)＝loga(a2x－2ax－2)，则使f(x)0的x取值范围是()A．(－∞，0)B．(0，＋∞)C．(－∞，loga3)D．(loga3，＋∞)解析：∵0a1∴loga(a2x－2ax－2)0即a2x－2ax－21∴a2x－2ax－30∴ax3或ax－1(舍)∴xloga3，故选C.答案：C点评：关于含对数式的不等式求解，一般都是用单调性或换元法求解．已知0ab1c，m＝logac，n＝logbc，则m与n的大小关系是________．解析：∵0ab1c，∴logcalogcb0，∴1logca1logcb，即logaclogbc，∴mn.答案：mn一、选择题1．(文)(2011·北京西城一模)设a＝log23，b＝log43，c＝0.5，则()A．cbaB．bcaC．bacD．cab[答案]A[解析]a＝log23，b＝log43＝log23，c＝12＝log22，而y＝log2x在(0，＋∞)上是增函数，所以abc.(理)(2010·全国卷Ⅰ)设a＝log32，b＝ln2，c＝5-12，则()A．abcB．bcaC．cabD．cba[答案]C[解析]a＝log32＝ln2ln3ln2＝b，又c＝5-12＝1512，a＝log32log33＝12，因此cab.2．若定义域为区间(－1,0)的函数f(x)＝log2a(x＋1)，满足f(x)0，则a的取值范围是()A．(0，12)B．(0，12]C．(12，＋∞)D．(0，＋∞)[答案]A[解析]∵－1x0，∴0x＋11.由对数函数性质知，要使f(x)＝log2a(x＋1)在(－1,0)上满足f(x)0，则必有02a1，即0a12.3．(文)为了得到函数y＝lnx－3e的图象，只需把函数y＝lnx的图象上所有的点()A．向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度B．向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度C．向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度D．向右平移3个单位长度，