2013年高考数学总复习 5-2 平面向量基本定理及向量的坐课件 新人教B版

第二节平面向量基本定理及向量的坐标表示重点难点重点：①掌握平面向量基本定理，会进行向量的正交分解②理解平面向量坐标的概念，掌握平面向量的坐标运算难点：向量的正交分解与平面向量基本定理知识归纳1．平面向量基本定理(1)如果e1、e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数a1、a2，使得a＝.我们把不共线的向量e1、e2叫做表示这个平面内所有向量的一组基底．a1e1＋a2e2(2)直线的向量参数方程式：A、B是直线l上两点，O为l外一点，点P在直线l上的充要条件是OP→＝(1－t)OA→＋tOB→(t为参数)．(4)OM→＝12(OA→＋OB→)⇔M是线段AB的中点．2．已知两个非零向量a与b，作OA→＝a，OB→＝b，则∠AOB＝θ叫做a与b的夹角．(0°≤θ≤180°)当θ＝0°时，a与b方向；当θ＝180°时，a与b方向；当θ＝90°时，称a与b3．如果基底的两个基向量互相垂直，则称其为正交基底，把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解．相同相反垂直．4．平面向量的直角坐标表示在平面直角坐标系内，分别取与x轴、y轴正方向相同的两个单位向量i、j作为基底，对平面内任一向量a，有且只有一对实数x，y，使得a＝xi＋yj，则实数对(x，y)叫做向量a的直角坐标，记作a＝(x，y)，其中x，y分别叫做a在x轴、y轴上的坐标，相等的向量其坐标相同，坐标相同的向量是相等向量．5．平面向量的直角坐标运算(1)已知点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则AB→＝(x2－x1，y2－y1)，|AB→|＝x2－x12＋y2－y12.(2)已知a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)，λa＝(λx1，λy1)．a∥b⇔x1y2－x2y1＝0，a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0.(3)非零向量a的单位向量为±a|a|.误区警示1．已知向量的始点和终点坐标求向量的坐标时，一定要搞清方向，用对应的终点坐标减去始点坐标．2．要注意区分向量的坐标与向量终点的坐标．3．只要两个向量不共线，这两个向量就可以作为平面的一组基底，同一向量在不同．．基底下的坐标不同，在同一基底下的坐标是惟一的．4．注意向量共线与向量垂直的坐标表示的区别，若a＝(x1，x2)，b＝(y1，y2)，则a∥b⇔x1y2－x2y1＝0，当a，b都是非零向量时，a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0，同时还要注意a∥b与x1x2＝y1y2不等价．解题技巧证明共线(或平行)问题的主要依据：(1)对于向量a，b，若存在实数λ，使得b＝λa，则向量a与b共线(平行)．(2)a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，若x1y2－x2y1＝0，则向量a∥b.(3)对于向量a，b，若|a·b|＝|a|·|b|，则a与b共线．[例1]已知点A(－1,2)，B(2,8)，AC→＝13AB→，DA→＝－13BA→，求点C、D的坐标和CD→的坐标．分析：只要设出C、D的坐标，就可以利用向量线性运算的坐标表示求解．向量的坐标运算解析：设点C、D的坐标分别为(x1，y1)、(x2，y2)，∴AC→＝(x1＋1，y1－2)，AB→＝(3,6)，DA→＝(－1－x2,2－y2)，BA→＝(－3，－6)．∵AC→＝13AB→，DA→＝－13BA→，∴x1＋1＝1y1－2＝2，和－1－x2＝12－y2＝2.解得x1＝0y1＝4，和x2＝－2y2＝0.所以点C、D的坐标分别是(0,4)、(－2,0)，从而CD→＝(－2，－4)．(文)(2011·山东烟台一模)在平行四边形ABCD中，AC为一条对角线，若AB→＝(2,4)，AC→＝(1,3)，则BD→＝()A．(－2，－4)B．(－3，－5)C．(3,5)D．(2,4)解析：由题意得BD→＝AD→－AB→＝BC→－AB→＝(AC→－AB→)－AB→＝AC→－2AB→＝(1,3)－2(2,4)＝(－3，－5)，选B.答案：B(理)已知A(7,1)，B(1,4)，直线y＝12ax与线段AB交于C，且AC→＝2CB→，则实数a等于()A．2B．1C.45D.53解析：设C(x0，y0)，则y0＝12ax0，∴AC→＝(x0－7，12ax0－1)，CB→＝(1－x0,4－12ax0)，∵AC→＝2CB→，∴x0－7＝21－x012ax0－1＝24－12ax0，∴x0＝3a＝2.答案：A点评：如果注意到点C在直线y＝12ax上，可直接设C(2x0，ax0)，求出AC→，CB→代入AC→＝2CB→解方程即可.[例2]如图所示，在▱ABCD中，已知AE→＝13BC→，AC与BE相交于点F，AF→＝λAC→，则λ＝________.分析：∵BE与AC相交于点F，∴BE→与BF→共线，故可利用此共线条件求λ.向量共线的应用解析：设BA→＝a，BC→＝b.则BE→＝BA→＋AE→＝a＋13b.而AC→＝b－a，所以AF→＝λAC→＝λ(b－a)．故BF→＝BA→＋AF→＝a＋λ(b－a)＝(1－λ)a＋λb.∵BE→与BF→共线，且a与b不共线，∴1－λ1＝λ13，∴λ＝14.答案：14点评：向量共线的条件是高考考查平面向量的主要命题方向之一．解答这类题目一般利用共线条件列出方程求解．(文)(2011·天津十二校联考)已知直角坐标平面内的两个向量a＝(1,3)，b＝(m,2m－3)，使平面内的任意一个向量c都可以唯一的表示成c＝λa＋μb，则m的取值范围是________．解析：∵c可唯一表示成c＝λa＋μb，∴a与b不共线，∴2m－3≠3m，∴m≠－3.答案：{m|m∈R，m≠－3}(理)已知向量OA→＝(1，－3)，OB→＝(2，－1)，OC→＝(k＋1，k－1)，若A、B、C三点不能构成三角形，则实数k应满足的条件是()A．k＝－2B．k＝12C．k＝1D．k＝2解析：∵A、B、C三点构不成三角形，∴A、B、C三点在同一条直线上，∴存在实数λ，使OC→＝λOA→＋(1－λ)OB→，∴(k＋1，k－1)＝(2－λ，－2λ－1)，∴k＋1＝2－λk－1＝－2λ－1，解之得k＝2.答案：D点评：由于三点A、B、C构不成三角形，∴A、B、C共线，∴AB→与AC→共线，∴存在λ，使AC→＝λAB→，解λ，k的方程可得k值.[例3](2011·北京西城模拟)已知向量a＝(3,1)，b＝(1,3)，c＝(k,7)，若(a－c)∥b，则k＝()A．3B．0C．5D．－5分析：已知向量的坐标和两向量平行求参数值，可用向量共线的坐标表示求解，a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a∥b⇔x1y2－x2y1＝0.由向量共线求参数的值或取值范围解析：由已知得：a－c＝(3－k，－6)，又∵(a－c)∥b，∴3(3－k)＋6＝0，∴k＝5.答案：C(2011·湖北八市调研)向量a＝(13，tanα)，b＝(cosα，13)，且a∥b，则锐角α的正弦值为()A.12B.19C.22D.32解析：依题意得13×13－tanα×cosα＝0，即sinα＝19.答案：B[例4]如图所示，在△ABO中，OC→＝14OA→，OD→＝12OB→，AD与BC相交于点M.设OA→＝a，OB→＝b.平面向量基本定理(1)试用a和b表示向量OM→；(2)在线段AC上取一点E，在线段BD上取一点F，使EF过点M，设OE→＝λOA→，OF→＝μOB→，当EF为AD时，λ＝1，μ＝12，此时1λ＋3μ＝7；当EF为CB时，λ＝14，μ＝1，此时1λ＋3μ＝7，有人得出如下结论：不论E、F在线段AC、BD上如何变动，1λ＋3μ＝7总成立．试问他的这个结论对吗？请说明理由．分析：初学者解答这类题目常常找不到解决问题的切入点，这里如果抓住B、M、C共线和A、M、D共线，并用已知向量a，b来表示其它向量，利用共线向量定理列方程则不难获解．解析：(1)设OM→＝ma＋nb，则AM→＝OM→－OA→＝ma＋nb－a＝(m－1)a＋nb，AD→＝OD→－OA→＝12OB→－OA→＝－a＋12b.∵A、M、D三点共线，∴AM→与AD→共线．故存在实数t，使得AM→＝tAD→，即(m－1)a＋nb＝t(－a＋12b)，∴m－1＝－tn＝t2，消去t得m－1＝－2n，即m＋2n＝1①∵CM→＝OM→－OC→＝ma＋nb－14a＝(m－14)a＋nb，CB→＝OB→－OC→＝b－14a，又C、M、B三点共线，∴CM→与CB→共线．同理可得4m＋n＝1.②由①②解得m＝17，n＝37.∴OM→＝17a＋37b.(2)1λ＋3μ＝7这个结论是对的．∵E、F、M三点共线，由直线的向量参数方程式可知存在实数k，使得OM→＝kOE→＋(1－k)OF→，即17a＋37b＝λka＋μ(1－k)b，又∵OA→、OB→不共线，即a、b不共线，∴17＝λk37＝μ1－k，消去k整理得1λ＋3μ＝7.(2011·辽宁铁岭六校联考)平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知两点A(3,1)，B(－1,3)，若点C满足OC→＝αOA→＋βOB→，其中α、β∈R且α＋β＝1，则点C的轨迹方程为()A．(x－1)2＋(y－2)2＝5B．3x＋2y－11＝0C．2x－y＝0D．x＋2y－5＝0分析：求轨迹方程的问题求谁设谁，设C(x，y)，据向量的运算法则及向量相等的关系，列出关于α、β、x、y的关系式，消去α、β即得．解析：解法1：设C(x，y)，则OC→＝(x，y)，OA→＝(3,1)，OB→＝(－1，3)．由OC→＝αOA→＋βOB→得(x，y)＝(3α，α)＋(－β，3β)＝(3α－β，α＋3β)．于是x＝3α－β，y＝α＋3β，α＋β＝1.由β＝1－α消去β得，x＝4α－1y＝3－2α.再消去α得x＋2y＝5，即x＋2y－5＝0.∴选D.解法2：由平面向量共线定理，当OC→＝αOA→＋βOB→，α＋β＝1时，A、B、C三点共线．因此，点C的轨迹为直线AB，由两点式直线方程得y－13－1＝x－3－1－3即x＋2y－5＝0.∴选D.答案：D一、选择题1．(2011·日照模拟)已知点A(－1,1)，点B(2，y)，向量a＝(1,2)，若AB→∥a，则实数y的值为()A．5B．6C．7D．8[答案]C[解析]∵AB→＝(3，y－1)，AB→∥a，∴3×2－1×(y－1)＝0，∴y＝7.2．已知平面向量a＝(1，－1)，b＝(－1,2)，c＝(3，－5)，则用a，b表示向量c为()A．2a－bB．－a＋2bC．a－2bD．a＋2b[答案]C[解析]设c＝xa＋yb，∴(3，－5)＝(x－y，－x＋2y)，∴x－y＝3－x＋2y＝－5，解之得x＝1y＝－2，∴c＝a－2b，故选C.3．(文)(2011·广东湛江模拟)已知向量AB→＝(2,4)，AC→＝(a,3)，若AB→⊥AC→，则a的值为()A．6B．－6C.32D．－32[答案]B[解析]因为AB→⊥AC→，所以2a＋12＝0，解得a＝－6，故选B.(理)(2011·广东湛江模拟)已知向量a＝(1,1)，b＝(2，y)，若|a＋b|＝a·b，则y等于()A．－3B．－1C．1D．3[答案]D[解析]因为a＋b＝(3，y＋1)，a·b＝2＋y，依题意知，9＋(y＋1)2＝(2＋y)2，解得y＝3，故选D.二、填空题4．(2011·江苏南通二调)设M＝{a|a＝(2,0)＋m(0,1)，m∈R}和N＝{b|b＝(1,1)＋n(1，－1)，n∈R}都是元素为向量的集合，则M∩N＝________.[答案]{(2,0)}[解析]M＝{a|a＝(2，m)，m∈R}，N＝{b|b＝(1＋n,1－n)，n∈R}，由2＝1＋n，m＝1－n，得m＝0，n＝1.于是a＝b＝(2,0)，所以M∩N＝{(2,0)}．