2013年高考数学总复习 5-4 向量的应用及向量与其它知识课件 新人教B版

第四节向量的应用及向量与其它知识的综合问题重点难点重点：了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题．难点：(1)平面向量数量积的应用；(2)向量与其它知识的综合问题．知识归纳一、向量的应用1．向量在几何中的应用用向量法证明几何问题的基本思想是：将问题中有关的线段表示为向量，然后根据图形的性质和特点，应用向量的运算性质、法则，推出所要求证的结论．要注意挖掘题目中，特别是几何图形中的隐含条件．(1)用向量法求角设向量a与b的夹角为α，则cosα＝a·b|a|·|b|.若a＝(x1，y1)、b＝(x2，y2)，则cosα＝x1x2＋y1y2x21＋y21×x22＋y22；(2)用向量法处理垂直要证两线段AB⊥CD，只需证AB→·CD→＝0.(3)用向量法处理平行要证两线段AB∥CD，只需证存在实数λ≠0，使等式AB→＝λCD→成立．(4)用向量法处理距离要证线段AB＝CD，可转化为证明AB→2＝CD→2或|AB→|＝|CD→|.2．向量在物理中的应用用向量法处理物理问题，首先要把物理问题用向量模型加以表达，然后通过求解向量模型解释相关物理现象．(1)由于物理学中的力、速度、位移都是矢量，它们的分解与合成与向量的加法与减法相似，可以用向量的知识来解决．(2)物理学中的功是一个标量，这是力F与位移s的数量积．即W＝F·s＝|F||s|cosθ(θ为F与s的夹角)．二、平面向量与其它数学知识的交汇平面向量的代数与几何双重身份必然成为知识的交汇点．平面向量作为一种运算工具，经常与函数、不等式、三角函数、数列、解析几何等知识结合，当平面向量给出的形式中含有未知数时，由向量平行或垂直的充要条件可以得到关于该未知数的关系式．在此基础上，可以求解有关函数、不等式、三角函数、数列的综合问题．误区警示1．用向量法证明平行时，应注意是否在同一条直线上，因为向量平行与直线平行是有区别的．2．力和“向量”既有联系又有区别，力有作用点．1．向量具有数的特性，常与函数、三角、数列、不等式等许多重要内容结合命题，而且我们也可通过构造向量来处理许多代数问题．平面向量与几何问题的综合及应用通常涉及到长度、角度、平行、垂直、共线、共点等问题的处理，目标是将几何问题符号化、数量化、坐标化，从而将推理转化为运算．向量的代数形式的运算与其几何意义是紧密联系在一起的，明确了几何意义使向量的代数形式的运算得以实施，而运算的结果则可以肯定或否定几何结论．一般研究夹角问题总是从数量积入手，研究长度则从模的运算性质入手，而研究共线、共点问题则多从向量的加减运算及实数与向量的积着手．2．用向量方法解决平面几何问题的步骤(1)建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；(2)通过向量运算，研究几何元素之间的关系；(3)把运算结果“翻译”成几何关系．3．向量与解析几何向量的坐标表示，使向量成为解决解析几何问题的有力工具，在证明垂直、求夹角、写直线方程时显示出了它的优越性，在处理解析几何问题时，需要将向量用点的坐标表示，利用向量的有关法则、性质列出方程，从而使问题解决．4．向量与三角结合命题是主要命题方向，解决这类问题时，运用向量共线、垂直、夹角等条件去掉其向量外衣后，就是一个纯三角函数问题．不论平面向量与哪种知识整合，向量大多都作为一种工具．提供某种条件，其解题思路一般都是利用向量平行与垂直的充要条件或数量积的性质、公式和运算律转化为代数问题．[例1]求证：(ac＋bd)2≤(a2＋b2)(c2＋d2)．分析：联想到向量模的坐标表示式，可将a2＋b2与c2＋d2分别视作向量α＝(a，b)，β＝(c，d)的模，于是ac＋bd＝α·β，因此可以运用向量知识探求证明方法．向量在代数中的应用证明：设OA→＝(a，b)，OB→＝(c，d)．当OA→、OB→至少有一个为零向量时，所证不等式成立；当OA→、OB→均不是零向量时，设其夹角为α，则有cosα＝OA→·OB→|OA→|·|OB→|＝ac＋bda2＋b2·c2＋d2，∵|cosα|≤1，∴ac＋bda2＋b2·c2＋d2≤1，即(ac＋bd)2≤(a2＋b2)(c2＋d2)．点评：待解决的代数、几何、三角、物理等问题，只要其表达式能用向量运算来表示，就可以考虑使用向量方法去试着解决．本例中a2＋b2，c2＋d2与向量的模有联系，而ac＋bd与向量的数量积有联系，故可尝试能否设出向量来表示.[例2]如图，在平行四边形ABCD中，已知AD＝1，AB＝2，对角线BD＝2，求对角线AC的长．向量在几何中的应用分析：线段的长可视作向量的模，故求线段长度的问题，可利用向量模的知识加以解决．解析：设AB→＝a，AD→＝b，则BD→＝b－a，由条件知|a|＝2，|b|＝1，|b－a|＝2，∴a·b＝12，∴|AC→|2＝|a＋b|2＝a2＋b2＋2a·b＝6，∴AC＝|AC→|＝6.如图，在等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB，D为BC的中点，E是AB上的一点，且AE＝2EB.求证：AD⊥CE.证明：AD→·CE→＝(AC→＋12CB→)·(CA→＋23AB→)＝－|AC→|2＋12CB→·CA→＋23AB→·AC→＋13AB→·CB→＝－|AC|2＋12|CB→||CA→|cos90°＋223|AC→|2cos45°＋23|AC→|2cos45°＝－|AC→|2＋|AC→|2＝0，∴AD→⊥CE→，即AD⊥CE.[例3]如图，四边形MNPQ是⊙C的内接梯形，C是圆心，C在MN上，向量CM→与PN→的夹角为120°，QC→·QM→＝2.建立适当的坐标系．向量在解析几何中的应用(1)求⊙C的方程；(2)求以M、N为焦点且过点P、Q的椭圆的方程．解析：(1)以MN所在直线为x轴、C为原点建立直角坐标系xOy.∵CM→与PN→的夹角为120°，故∠QCM＝60°.于是△QCM为正三角形，∠CQM＝60°.又QC→·QM→＝2，即|QC→||QM→|cos∠CQM＝2，于是r＝|QC→|＝2.故⊙C的方程为x2＋y2＝4.(2)依题意，2c＝4,2a＝|QN|＋|QM|，而|QN|＝42－22＝23，|QM|＝2，于是a＝3＋1，b2＝a2－c2＝23.∴所求椭圆的方程为x24＋23＋y223＝1.(文)如图所示，在△AOB中，若A，B两点坐标分别为(2,0)，(－3,4)，点C在AB上，且平分∠BOA，求点C的坐标．解析：设点C坐标为(x，y)由于cos∠AOC＝cos∠BOC，且cos∠AOC＝OA→·OC→|OA→|·|OC→|，cos∠BOC＝OB→·OC→|OB→|·|OC→|，∴OA→·OC→|OA→|＝OB→·OC→|OB→|，∴2，0·x，y2＝－3，4·x，y5，∴y＝2x.①又∵BC→与AC→共线，BC→＝(x＋3，y－4)，AC→＝(x－2，y)，∴(x＋3)·y－(x－2)·(y－4)＝0，∴4x＋5y－8＝0.②由①，②联立解之得x＝47，y＝87.∴C点的坐标为47，87.(理)已知点C的坐标为(0,1)，A、B是抛物线y＝x2上不同于原点O的相异的两个动点，且OA→·OB→＝0.(1)求证：AC→∥AB→；(2)若AM→＝λMB→(λ∈R)，且OM→·AB→＝0，试求点M的轨迹方程．解析：设A(x1，x21)，B(x2，x22)，x1≠0，x2≠0，x1≠x2,∵OA→·OB→＝0，∴x1x2＋x21x22＝0，又x1≠0，x2≠0，∴x1x2＝－1.(1)解法1：kAC＝1－x21－x1＝－1x1＋x1，同理有kBC＝－1x2＋x2，∵x1x2＝－1，∴kAC＝kBC，∴A、B、C三点共线，即AC→∥AB→.解法2：∵AC→＝(－x1,1－x21)，BC→＝(－x2,1－x22)，∴(－x1)(1－x22)－(－x2)(1－x21)＝(x2－x1)＋x1x2(x2－x1)＝(x2－x1)(1＋x1x2)＝0，∴AC→∥BC→即AC→∥AB→.(2)解：∵AM→＝λMB→，∴A、M、B三点共线，又C在AB上，∠OMC＝90°，故点M在以OC为直径的圆上运动，其轨迹方程为x2＋(y－12)2＝14(y≠0).[例4]已知a＝(2cosx2，tanx2＋π4)，b＝2sinx2＋π4，tanx2－π4.令f(x)＝a·b.(1)求函数f(x)的最大值，最小正周期，并写出f(x)在[0，π]上的单调区间．(2)是否存在实数x∈[0，π]，使f(x)＋f′(x)＝0？若存在，求出x的值；若不存在，请证明．向量与三角函数交汇点评：向量与三角函数交汇命题，向量仅仅作为一个工具，提供某种条件，解题时紧扣向量平行与垂直的条件、夹角公式等脱去向量外衣转化为相应的三角函数问题即可．(文)(2011·武汉期末)已知向量a＝(2，sinx)，b＝(cos2x,2cosx)，则函数f(x)＝a·b的最小正周期是()A.π2B．πC．2πD．4π解析：f(x)＝2cos2x＋2sinxcosx＝sin2x＋cos2x＋1＝2sin(2x＋π4)＋1，∴周期T＝2π2＝π.答案：B(理)(2011·南通模拟)已知向量m＝(3sinx4，1)，n＝(cosx4，cos2x4)．(1)若m·n＝1，求cos(2π3－x)的值；(2)记f(x)＝m·n，在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且满足(2a－c)cosB＝bcosC，求函数f(A)的取值范围．解析：(1)m·n＝3sinx4·cosx4＋cos2x4＝32sinx2＋1＋cosx22＝sin(x2＋π6)＋12，∵m·n＝1，∴sin(x2＋π6)＝12.cos(x＋π3)＝1－2sin2(x2＋π6)＝12，cos(2π3－x)＝－cos(x＋π3)＝－12.(2)∵(2a－c)cosB＝bcosC，由正弦定理得(2sinA－sinC)cosB＝sinBcosC，∴2sinAcosB－sinCcosB＝sinBcosC.∴2sinAcosB＝sin(B＋C)．∵A＋B＋C＝π，∴sin(B＋C)＝sinA≠0.∴cosB＝12，∵0Bπ，∴B＝π3.∴0A2π3.∴π6A2＋π6π2，sinA2＋π6∈12，1.又∵f(x)＝sin(x2＋π6)＋12.∴f(A)＝sin(A2＋π6)＋12∈(1，32)．故函数f(A)的取值范围是(1，32).[例5]已知两点M(－1,0)，N(1,0)，且点P使MP→·MN→，PM→·PN→，NM→·NP→成公差小于零的等差数列．(1)点P的轨迹是什么曲线？(2)若点P的坐标为(x0，y0)，记θ为PM→与PN→的夹角，求tanθ.平面向量与其它知识的整合解析：(1)设P(x，y)，则PM→＝－MP→＝(－1－x，－y)，PN→＝－NP→＝(1－x，－y)，MN→＝－NM→＝(2,0)，∴MP→·MN→＝2(1＋x)，PM→·PN→＝x2＋y2－1，NM→·NP→＝2(1－x)，由题意x2＋y2－1＝12[21＋x＋21－x]21－x－21＋x0，即x2＋y2＝3x0，所以点P的轨迹是以原点为圆心，3为半径的右半圆(不含端点)．(2)点P的坐标为(x0，y0)，而PM→·PN→＝x20＋y20－1＝2.又|PM→|·|PN→|＝1＋x02＋y20×1－x02＋y20＝24－x20.所以cosθ＝PM→·PN→|PM→|·|PN→|＝14－x20，∵0x0≤3，∴12cosθ≤1，∴0≤θπ3，∴sinθ＝1－cos2θ＝1－14－x20，故tanθ＝sinθcosθ＝1－14－x2014－x20＝3－x20＝|y0|.(2010·山东临沂高三一模)已知A(3，3)，O是原点，点P(x，y)的坐标满足3x－y0，x－3y＋20，y≥0，则OA→·OP→|OP→|的取值范围