2013年高考数学总复习 9-6 空间向量及其运算(理)课件 新人教B版

第六节空间向量及其运算(理)重点难点重点：①空间向量的运算和运算律．②共面、共线向量定理和空间向量分解定理．难点：共面向量定理与空间向量基本定理的理解与应用知识归纳1．空间向量及其加减与数乘运算(1)在空间中，具有大小和方向的量叫做向量．同向且等长的有向线段表示同一向量或相等的向量．(2)空间向量的加法、减法与向量数乘运算是平面向量对应运算的推广，平面向量加减及数乘的所有运算律都满足．2．共线向量与共面向量(1)如果空间向量的基线，则这些向量叫做共线向量或平行向量，规定零向量与任何一个向量共线．(2)平行于同一平面的向量叫做共面向量．空间任意两个向量总是共面的，三个不共面向量的和等于以这三个向量为邻边的平行六面体的对角线所表示的向量．互相平行或重合(3)共线向量定理：对空间任意两个向量a、b(b≠0)，a∥b的充要条件是.推论：如果l为经过已知点A且平行于已知非零向量a的直线，那么对任一点O，点P在直线l上的充要条件是存在实数t满足等式OP→＝OA→＋ta，其中向量a叫做直线l的方向向量．存在惟一实数λ，使a＝λb(4)共面向量定理：如果两个向量a、b不共线，则向量p与向量a、b共面的充要条件是存在惟一的有序实数对(x、y)，使p＝.推论：空间一点P位于平面MAB内的充要条件是存在惟一的有序实数对(x、y)，使MP→＝xMA→＋yMB→.xa＋yb3．空间向量分解定理如果三个向量a、b、c不共面，那么对空间任一向量p，存在惟一的有序实数组x、y、z，使p＝xa＋yb＋zc.其中{a，b，c}叫做空间的一个基底，a、b、c都叫做基向量．推论：设O、A、B、C是不共面的四点，则对空间任一点P，都存在惟一的有序实数组x、y、z，使OP→＝xOA→＋yOB→＋zOC→.4．空间向量的数量积(1)已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作OA→＝a，OB→＝b，则∠AOB叫做a与b的夹角，记作〈a，b〉．(2)空间向量a、b的数量积的定义，性质及运算律与平面向量相同．5．空间向量的直角坐标运算(1)空间向量的直角坐标设i，j，k是空间直角坐标系O－xyz中沿x轴、y轴、z轴正方向的单位向量，对于空间任一向量a，由空间向量的基本定理，存在惟一的有序实数组(a1，a2，a3)，使a＝a1i＋a2j＋a3k.有序实数组(a1，a2，a3)叫做a在空间直角坐标系O－xyz中的坐标，记为a＝(a1，a2，a3)．对于空间任一点A，对应一个向量OA→，于是存在惟一的有序实数组x、y、z，使OA→＝xi＋yj＋zk，即点A的坐标为(x，y，z)．(2)向量的直角坐标运算设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则a＋b＝(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3)；a－b＝(a1－b1，a2－b2，a3－b3)；λa＝(λa1，λa2，λa3)；a·b＝a1b1＋a2b2＋a3b3；a∥b⇔a＝λb⇔a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3(λ∈R)或a1b1＝a2b2＝a3b3(b1，b2，b3均不为0)．a⊥b⇔a·b＝0⇔a1b1＋a2b2＋a3b3＝0.设A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，则AB→＝OB→－OA→＝(x2－x1，y2－y1，z2－z1)；(2)夹角和距离公式设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则|a|＝a·a＝a21＋a22＋a23；cosa，b＝a·b|a|·|b|＝a1b1＋a2b2＋a3b3a21＋a22＋a23b21＋b22＋b23.在空间直角坐标系中，已知A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，则|AB→|＝x2－x12＋y2－y12＋z2－z12.误区警示1．零向量是一个特殊向量，在解决问题时要特别注意零向量，避免因对零向量的忽视致误．2．空间两向量平行与空间两直线平行是不同的，直线平行是不允许重合的，而两向量平行，它们所在的直线可以平行也可以重合．3．当p、a、b都是非零向量时，共面向量定理实际上也是p、a、b所在的三条直线共面的充要条件，但用于判定时，还需证明其中一条直线上有一点在另外两直线所确定的平面内．4．特别注意向量的数量积运算与实数的积的区别(1)两个向量的数量积是一个实数，不是向量，符号由cosθ的符号所决定．(2)在实数中，若a≠0，且a·b＝0，则b＝0；但是在数量积中，若a≠0，且a·b＝0，不能推出b＝0，因为其中cosθ有可能为0，即两向量垂直时a·b＝0.(3)已知实数a、b、c(b≠0)，则ab＝bc⇒a＝c，在向量数量积中a·b＝b·c(b≠0)并不一定有a＝c.(4)在实数中，有(a·b)·c＝a(b·c)，但是在向量中(a·b)c≠a(b·c)．(5)a、b同向时，a·b＝|a|·|b|；a与b反向时，a·b＝－|a|·|b|.一、与平面向量对比学习空间向量是平面向量的拓展，空间向量的概念、性质、运算及运算律与平面向量大多相同或相似，故在学习空间向量时，应注意与平面向量的类比以提高效率．二、平行、共线、共面问题利用向量共线可以解决两直线平行的问题，也可以解决三点共线的问题，解题时表述一定要完整准确；利用空间向量基本定理判断四点共面的问题，用OP→＝xOA→＋yOB→＋zOC→时，关键证明x＋y＋z＝1.[例1]已知P为矩形ABCD所在平面外一点，PA⊥平面ABCD，M在线段PC上，N在线段PD上，且PM＝2MC，PN＝ND，若MN→＝xAB→＋yAD→＋zAP→，则x＋y＋z的值为()A．1B．－13C．－23D．－43空间向量的线性运算分析：AB→，AD→，AP→是三个不共面的向量，故MN→用AB→，AD→，AP→表示的结果是惟一的，结合图形可逐步向AB→，AD→，AP→过渡，MN→←PM→←PC→←AP→、AB→BC→←AD→PN→←PD→←AP→、AD→解析：MN→＝PN→－PM→＝12PD→－23PC→＝12(AD→－AP→)－23(PA→＋AC→)＝12AD→－12AP→＋23AP→－23(AB→＋AD→)＝－23AB→－16AD→＋16AP→，∴x＋y＋z＝－23－16＋16＝－23，故选C.答案：C在Rt△ABC中，∠B＝90°，P为平面ABC外一点，且PA⊥平面ABC，F为PB的中点，G为△PBC的重心，若FG→＝xAB→＋yAC→＋zAP→，则x＝________，y＝________，z＝________.解析：FG→＝PG→－PF→＝23PD→－12PB→＝23(PA→＋AD→)－12(PA→＋AB→)＝23PA→＋23·12(AB→＋AC→)－12PA→－12AB→＝－16AB→＋13AC→－16AP→，∴x＝－16，y＝13，z＝－16.答案：－1613－16[例2]已知A、B、C三点不共线，对平面ABC外的任一点O，若点M满足OM→＝13(OA→＋OB→＋OC→)．(1)判断MA→、MB→、MC→三个向量是否共面；(2)判断点M是否在平面ABC内．空间向量基本定理分析：(1)判断三向量平面，即寻找实数x、y，使MA→＝xMB→＋yMC→，为此将条件式变形产生MA→、MB→、MC→即可；(2)判断点M在平面ABC内，即证四点A、B、C、M共面，由(1)立得．解析：(1)由已知OA→＋OB→＋OC→＝3OM→，∴OA→－OM→＝(OM→－OB→)＋(OM→－OC→)，即MA→＝BM→＋CM→＝－MB→－MC→，∴MA→，MB→，MC→共面．(2)由(1)知，MA→，MB→，MC→共面且过同一点M，∴四点M、A、B、C共面，从而点M在平面ABC内．点评：应用共线向量定理、共面向量定理证明点共线、点共面方法的区别与联系如下图，在棱长为a的正方体OABC－O1A1B1C1中，E、F分别是棱AB、BC上的动点，且AE＝BF＝x，其中0≤x≤a，以O为原点建立空间直角坐标系O－xyz.(1)写出点E、F的坐标；(2)求证：A1F→⊥C1E→；(3)若A1、E、F、C1四点共面，求证：A1F→＝12A1C1→＋A1E→.解析：(1)∵正方体棱长为a，AE＝BF＝x，∴E(a，x,0)，F(a－x，a,0)．(2)∵A1(a,0，a)，C1(0，a，a)，∴A1F→＝(－x，a，－a)，C1E→＝(a，x－a，－a)，A1F→·C1E→＝－ax＋a(x－a)＋a2＝0，∴A1F→⊥C1E→.(3)∵A1、E、F、C1四点共面，∴A1F→与A1E→，A1C1→共面，∴存在实数λ，μ，使A1F→＝λA1E→＋μA1C1→，∵A1C1→＝(－a，a,0)，A1E→＝(0，x，－a)，∴λA1E→＋μA1C1→＝(0，λx，－λa)＋(－aμ，aμ，0)＝(－aμ，λx＋aμ，－λa)，∴－x＝－aμa＝λx＋aμ－a＝－aλ，∴λ＝1μ＝12，∴A1F→＝12A1C1→＋A1E→.[例3]如下图，已知空间四边形OABC中，M为BC中点，N为AC中点，P为OA中点，Q为OB中点，若AB＝OC，求证PM⊥QN.数量积及其应用分析：要证PM⊥QN，只须证明PM→⊥QN→，只须选取基向量，将PM→与QN→用基向量线性表示后验证PM→·QN→＝0即可．证明：OM→＝12(OB→＋OC→)，ON→＝12(OA→＋OC→)∴PM→＝PO→＋OM→＝12(AO→＋OB→＋OC→)＝12(OB→－OA→＋OC→)＝12(AB→＋OC→)QN→＝QO→＋ON→＝12(BO→＋OA→＋OC→)＝12(OA→－OB→＋OC→)＝12(BA→＋OC→)＝12(OC→－AB→)∴PM→·QN→＝12(AB→＋OC→)·12(OC→－AB→)＝14(OC2→－AB2→)＝14(|OC→|2－|AB→|2)由AB＝OC得|AB→|＝|OC→|.∴PM→·QN→＝0，即PM→⊥QN→，∴PM⊥QN.如下图所示，已知空间四边形ABCD的各边和对角线的长都等于a，点M、N分别是AB、CD的中点．(1)求证：MN⊥AB，MN⊥CD；(2)求MN的长．分析：要证两线垂直及求线段长，只须先取基向量将MN→、AB→、CD→用基向量表示，然后运用数量积运算及其性质求解，基向量的选取应使待解决问题中的向量容易表示．解析：(1)设AB→＝p，AC→＝q，AD→＝r.由题意可知，|p|＝|q|＝|r|＝a，且p、q、r三向量两两夹角均为60°.MN→＝AN→－AM→＝12(AC→＋AD→)－12AB→＝12(q＋r－p)，∴MN→·AB→＝12(q＋r－p)·p＝12(q·p＋r·p－p2)＝12(a2cos60°＋a2cos60°－a2)＝0.∴MN⊥AB.同理可证MN⊥CD.(2)由(1)可知MN→＝12(q＋r－p)，∴|MN→|2＝MN→2＝14(q＋r－p)2＝14[q2＋r2＋p2＋2q·r－2q·p－2r·p]＝14[a2＋a2＋a2＋a2－a2－a2]＝a22.∴|MN→|＝22a.∴MN的长为22a.[例4]已知a＝(1,0，－1)，b＝(－1,1,2)，(1)求a－b与a的夹角的余弦值；(2)若ka＋b与a－2b平行，求k的值；(3)若ka＋b与a＋3b垂直，求k的值．分析：利用向量的夹角公式及平行、垂直的条件求解．空间向量及运算的坐标表示解析：(1)∵a－b＝(2，－1，－3)，|a－b|＝14，|a|＝2，(a－b)·a＝5，∴cos〈a－b，a〉＝a－b·a|a－b|·|a|＝514·2＝5714.(2)∵ka＋b＝(k－1,1，－k＋2)，a－2b＝(3，－2，－5)．(ka＋b)∥(a－2b)，∴k－13＝1－2＝－k＋2－5，∴k＝－12.(3)∵ka＋b＝(k－1,1，－k＋2)，a＋3b＝(－2,3,5)，(ka＋b)⊥(a＋3b)，∴－2(k－1)＋3＋5(－k＋2)＝0，∴k＝157.已知a＝(1,0,0)，b＝(0,1,0)，c＝(0,1，－1)，p＝(3，－5,4)．(1)将p用a，b，c表示．(2)求a·(b＋c)；(3)求〈b，c〉．解析：(1)设p＝xa