2013年高考江苏数学试题及答案(word解析版)

12014年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数学Ⅰ一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．．（1）【2014年江苏，1，5分】函数3sin(2)4yx的最小正周期为_______．【答案】【解析】函数π3sin24yx的最小正周期2ππ2T．（2）【2014年江苏，2，5分】设2(2i)z(i为虚数单位)，则复数z的模为_______．【答案】5【解析】22222i44ii33i544z．（3）【2014年江苏，3，5分】双曲线221169xy的两条渐近线的方程为_______．【答案】34yx【解析】由题意可知所求双曲线的渐近线方程为34yx．（4）【2014年江苏，4，5分】集合1,0,1共有_______个子集．【答案】8【解析】由于集合1,0,1有3个元素，故其子集个数为328．（5）【2014年江苏，5，5分】右图是一个算法的流程图，则输出的n的值是_______．【答案】3【解析】第一次循环后：82an，；第二次循环后：263an，；由于2620，跳出循环，输出3n．（6）【2014年江苏，6，5分】抽样统计甲，乙两位射击运动员的5次训练成绩(单位：环)，结果如下：运动员第1次第2次第3次第4次第5次甲8791908993乙8990918892则成绩较为稳定(方差较小)的那位运动员成绩的方差为．【答案】2【解析】由题中数据可得=90x甲，=90x乙．22222287909190909089909015394s甲，22222289909090919088909015292s乙，由22ss甲乙，可知乙运动员成绩稳定．故应填2．注意事项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求1．本试卷共4页，包含填空题（第1题—第14题）、解答题（第15题第20题）．本卷满分160分，考试时间为120分钟．考试结束后，请将答题卡交回．2．答题前，请您务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．3．请在答题卡上按照顺序在对应的答题区域内作答，在其他位置作答一律无效．作答必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔．请注意字体工整，笔迹清楚．4．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．5．请保持答题卡卡面清洁，不要折叠、破损．一律不准使用胶带纸、修正液、可擦洗的圆珠笔．2（7）【2014年江苏，7，5分】现有某类病毒记作mnXY，其中正整数,(7,9)mnmn可以任意选取，则,mn都取到奇数的概率为________．【答案】2063【解析】由题意知m的可能取值为1，2，3，…，7；n的可能取值为1，2，3，…，9．由于是任取m，n：若1m时，n可取1，2，3，…，9，共9种情况；同理m取2，3，…，7时，n也各有9种情况，故m，n的取值情况共有7963种．若m，n都取奇数，则m的取值为1，3，5，7，n的取值为1，3，5，7，9，因此满足条件的情形有4×5=20种．故所求概率为2063．（8）【2014年江苏，8，5分】如图，在三棱柱111ABCABC中，,,DEF分别是1,,ABACAA的中点，设三棱锥FADE的体积为1V，三棱柱111ABCABC的体积为2V，则12:VV_______．【答案】1:24【解析】由题意可知点F到面ABC的距离与点1A到面ABC的距离之比为1:2，1:4ADEABCSS:．因此12131:242AEDABCAFSAFSVV:．（9）【2014年江苏，9，5分】抛物线2yx在1x处的切线与两坐标轴围成三角形区域为D(包含三角形内部和边界)．若点(,)Pxy是区域D内的任意一点，则2xy的取值范围是________．【答案】12,2【解析】由题意可知抛物线2yx在1x处的切线方程为21yx．该切线与两坐标轴围成的区域如图中阴影部分所示：当直线20xy平移到过点1,02A时，2xy取得最大值12．当直线20xy平移到过点1(0)B，时，2xy取得最小值2．因此所求的2xy的取值范围为12,2．（10）【2014年江苏，10，5分】设,DE分别是ABC的边,ABBC上的点，12ADAB，23BEBC，若12DEABAC(12,为实数)，则12的值为________．【答案】12【解析】由题意作图如图．∵在ABC中，1223DEDBBEABBC12()23ABACAB121263ABACABAC，∴116，223．故1212．（11）【2014年江苏，11，5分】已知()fx是定义在R上的奇函数．当0x时，2()4fxxx，则不等式()fxx的解集用区间表示为________．【答案】5,0)5()(－,＋【解析】∵函数fx为奇函数，且0x时，24fxxx，则22400040fxxxxxxxx∴原不等式等价于204xxxx或204xxxx，由此可解得5x或50x．（12）【2014年江苏，12，5分】在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的标准方程为22221(0,0)xyabab，右焦点为F，右准线为l，短轴的一个端点为B，设原点到直线BF的距离为1d，F到l的距离为2d．若216dd，则椭圆的离心率为________．3【答案】33【解析】设椭圆C的半焦距为c，由题意可设直线BF的方程为=1xycb，即0bxcybc．于是可知122bcbcdabc，22222aacbdcccc．∵216dd，∴26bbcca，即26abc．∴22246aacc．∴42610ee．∴213e．∴33e．（13）【2014年江苏，13，5分】平面直角坐标系xOy中，设定点(,)Aaa，P是函数1(0)yxx图像上一动点，若点,PA之间最短距离为22，则满足条件的实数a的所有值为________．【答案】1，10【解析】设P点的坐标为1,xx，则222222111()=2=2xaaxaxaxxAxP．令12txx，则2222222222PAtatataat．结合题意可知(1)当2a，2t时，2PA取得最小值．此时22228aa，解得1a，3a(舍去)．(2)当2a，ta时，2PA取得最小值．此时228a，解得10a，10a(舍去)．故满足条件的实数a的所有值为10，1．（14）【2014年江苏，14，5分】在正项等比数列na中，512a，673aa．则满足123123......nnaaaaaaaa的最大正整数n的值为_______．【答案】12【解析】设正项等比数列na的公比为q，则由26753aaaqq可得2q，于是62nna，则1251(12)13221232nnnaaa．∵512a，2q，∴61a，111210261aaaaa．∴12111aaa．当n取12时，7612121211121213222aaaaaaaa成立；当n取13时，86713121312111213121322132·22aaaaaaaaaa．当13n时，随着n增大12naaa将恒小于12naaa．因此所求n的最大值为12．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内．．．．．．．．作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．（15）【2014年江苏，15，14分】已知cossina，，cossinb，，0．（1）若2ab，求证：ab；（2）设01c,，若abc，求，的值．解：（1）解法一：由||2ab，得：22||()2abab，即2222aabb．又2222||||1abab，所以222ab，0ab，故ab．解法二：(coscos,sinsin)ab，由||2ab，得：22||()2abab，即：22(coscos)(sinsin)2，化简，得：2(coscossinsin)0，coscossinsin0ab，所以ab．（2）(coscos,sinsin)ab，可得：coscos0(1)sinsin1(2)解法一：4由（1）得：coscos()，又0，(0,)，故．代入（2），得：1sinsin2，又0，所以5,66．解法二：22(1)(2)，得：122(coscossinsin)1,cos()2，又0，(0,)．故有：23，23代入（1）式：2cos()cos03，化简，得：133cossin0,tan,2236．从而56．解法三：两式和差化积，得：2coscos0(3)222sincos1(4)22，可得：cos02，又0，(0,)2，所以22．代入（4）式，可得：1cos22，又(0,)22，23．以上联立，解得：5,66．（16）【2014年江苏，16，14分】如图，在三棱锥SABC中，平面SAB平面SBC，ABBC，ASAB．过A作AFSB，垂足为F，点E，G分别是侧棱SA，SC的中点．求证：（1）平面EFG//平面ABC；（2）BCSA．解：（1）因为ASAB，AFSB于F，所以F是SB的中点．又E是SA的中点，所以//EFAB．因为EF平面ABC，AB平面ABC，所以//EF平面ABC．同理可证//EG平面ABC．又EFEGE，所以平面//EFG平面ABC．（2）因为平面SAB平面SBC于SB，又AF平面SAB，AFSB，所以AF平面SBC．因为BC平面SBC，所以AFBC．又因为ABBC，AFABA，AFAB、平面SAB，所以BC平面SAB．又因为SA平面SAB，所以BCSA．（17）【2014年江苏，17，14分】如图，在平面直角坐标系xOy中，点03A,，直线24lyx：．设圆的半径为1，圆心在l上．（1）若圆心C也在直线1yx上，过点A作圆C的切线，求切线的方程；（2）若圆C上存在点M，使2MAMO，求圆心C的横坐标a的取值范围．解：（1）由题设，圆心C是直线24yx和1yx的交点，解得点2(3)C,，于是切线的斜率必存在．设过3(0)A,的圆C的切线方程为3ykx，由题意，2|31|11kk，解得0k或34，故所求切线方程为3y或34120xy．（2）因为圆心在直线24yx上，所以圆C的方程为22221xaya．设点()Mxy，，因为2MAMO，所以22223=2xyxy，化简得22230xyy，即2214xy，所以点M在以1(0)D，为圆心，2为半径的圆上．由题意，点()Mxy，在圆C上，所以圆C与圆D有公共点，则2121CD，即22