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第2节动能定理一、动能1．定义：物体由于而具有的能叫做动能．2．公式：Ek＝.3．单位：与功的单位相同，在国际单位制中都是．4．矢·标性：动能是标量，只有正值．5．动能是状态量，动能的变化量是量．动能具有相对性，其值与参考系的选取有关，一般取地面为参考系．运动12mv2焦耳过程二、动能定理1．内容：力在一个过程中对物体所做的功，等于物体在这个过程中．2．表达式：W＝.3．物理意义：的功是物体动能变化的量度．4．动能定理的适用条件：动能定理既适用于直线运动，也适用于曲线运动；既适用于恒力做功，也适用于变力做功．力可以是各种性质的力，既可以同时作用，也可以不同时作用．动能的变化Ek2－Ek1合力1．下列关于运动物体所受合外力做的功和动能变化的关系正确的是()A．如果物体所受合力为零，则合力对物体做的功一定为零B．如果合力对物体所做的功为零，则合力一定为零C．物体在合力作用下做变速运动，动能一定发生变化D．物体的动能不变，所受合力一定为零解析：合力为零，由W＝Flcosα知，合力做功一定为零，但合力做功为零时，合力却不一定为零，故A选项对、B选项错．物体在合力作用下做变速运动，合力不一定做功，物体的速率不一定变化，动能不一定变化(例如匀速圆周运动)，同样，物体的动能不变，它所受的合力也不一定为零，C、D选项均错．答案：A2．(2012年东营模拟)如图所示，质量为m的物块，在恒力F的作用下，沿光滑水平面运动，物块通过A点和B点的速度分别是vA和vB，物块由A运动到B点的过程中，力F对物块做的功W为()A．W12mv2B－12mv2AB．W＝12mv2B－12mv2AC．W＝12mv2A－12mv2BD．由于F的方向未知，W无法求出解析：对物块由动能定理得：W＝12mv2B－12mv2A，故选项B正确．答案：B3．(2012年苏州模拟)一个小球从高处自由落下．则球在下落过程中的动能()A．与它下落的距离成正比B．与它下落距离的平方成正比C．与它运动的时间成正比D．与它运动时间的平方成正比解析：由动能定理mgh＝12mv2可知A正确；又因为h＝12gt2，代入上式得：12mg2t2＝12mv2，所以D正确．答案：AD4．一架喷气式飞机质量为5.0×104kg，起飞过程中从静止开始滑跑．当位移达到x＝5.3×102m时，速度达到起飞速度v＝60m/s.在此过程中飞机受到的平均阻力是飞机重力的0.2倍(g取10m/s2)．求飞机受到的平均牵引力．解析：取喷气式飞机为研究对象，设飞机受到的平均牵引力为F，飞机受到的平均阻力为Ff，由动能定理得：Fx－Ffx＝12mv2－0，代入数据解得F＝2.7×105N.答案：2.7×105N对动能定理的理解1．总功的计算物体受到多个力作用时，计算合力的功，要考虑各个力共同做功产生的效果，一般有如下两种方法：(1)先由力的合成与分解法或根据牛顿第二定律求出合力F合，然后由W＝F合lcosα计算．(2)由W＝Flcosα计算各个力对物体做的功W1、W2、…、Wn，然后将各个力所做的功求代数和，即W合＝W1＋W2＋…＋Wn.2．动能定理公式中等号的意义等号表明合力做功与物体动能的变化间的三个关系：(1)数量关系：即合力所做的功与物体动能的变化具有等量代换关系．可以通过计算物体动能的变化，求合力的功，进而求得某一力的功．(2)单位相同，国际单位都是焦耳．(3)因果关系：合力的功是引起物体动能变化的原因．3．动能定理中涉及的物理量有F、l、m、v、W、Ek等，在处理含有上述物理量的力学问题时，可以考虑使用动能定理．由于只需要从力在整个位移内做的功和这段位移始末两状态动能变化去考虑，无需注意其中运动状态变化的细节，同时动能和功都是标量，无方向性，所以无论是直线运动还是曲线运动，计算都会特别方便．4．高中阶段动能定理中的位移和速度应以地面或相对地面静止的物体为参考系．动能定理指明了一种功能关系：合力做的功是物体动能变化的量度．[例1]质量为m的小球被系在轻绳一端，在竖直平面内做半径为R的圆周运动，如图所示，运动过程中小球受到空气阻力的作用．设某一时刻小球通过轨道的最低点，此时绳子的张力为7mg，在此后小球继续做圆周运动，经过半个圆周恰好能通过最高点，则在此过程中小球克服空气阻力所做的功是()A.14mgRB.13mgRC.12mgRD．mgR[思路点拨]小球所受空气阻力时刻在变化，运动情况和受力情况均比较复杂，用动能定理求解比较容易．[自主解答]小球通过最低点时，设绳的张力为FT，则FT－mg＝mv21R，即6mg＝mv21R①小球恰好过最高点，绳子拉力为零，这时mg＝mv22R②小球从最低点到最高点的过程中，由动能定理得－mg·2R－Wf＝12mv22－12mv21.③由①②③式解得Wf＝3mgR－2mgR－12mgR＝12mgR.[答案]C1．(2012年中山模拟)如图所示，质量为m的小车在水平恒力F推动下，从山坡(粗糙)底部A处由静止起运动至高为h的坡顶B，获得速度为v，AB之间的水平距离为x，重力加速度为g.下列说法正确的是()A．小车克服重力所做的功是mghB．合力对小车做的功是12mv2C．推力对小车做的功是12mv2＋mghD．阻力对小车做的功是12mv2＋mgh－Fx解析：小车克服重力做功W＝mgh，A正确；由动能定理，小车受到的合力做的功等于小车动能的增量，W合＝ΔEk＝12mv2，B正确；由动能定理，W合＝W推＋W重＋W阻＝12mv2，所以推力做的功W推＝12mv2－W阻－W重＝12mv2＋mgh－W阻，C错误；阻力对小车做的功W阻＝12mv2－W推－W重＝12mv2＋mgh－Fx，D正确．答案：ABD动能定理的应用1．基本步骤(1)选取研究对象，明确它的运动过程；(2)分析研究对象的受力情况和各力的做功情况：(3)明确研究对象在过程的始末状态的动能Ekl和Ek2；(4)列出动能定理的方程W合＝Ek2－Ekl及其他必要的解题方程，进行求解．2．注意事项(1)动能定理的研究对象可以是单一物体，或者是可以看做单一物体的物体系统．(2)动能定理是求解物体的位移或速率的简捷公式．当题目中涉及到位移和速度而不涉及时间时可优先考虑动能定理；处理曲线运动中的速率问题时也要优先考虑动能定理．(3)若过程包含了几个运动性质不同的分过程，既可分段考虑，也可整个过程考虑．但求功时，有些力不是全过程都做功，必须根据不同的情况分别对待求出总功．(4)应用动能定理时，必须明确各力做功的正、负．当一个力做负功时，可设物体克服该力做功为W，将该力做功表达为－W，也可以直接用字母W表示该力做功．使其字母本身含有负号．应用动能定理解题，关键是对研究对象进行准确的受力分析及运动过程分析，并画出物体运动过程的草图，借助草图理解物理过程和各量关系．有些力在物体运动全过程中不是始终存在的，在计算合力做功时更应引起注意．[例2]如图所示，质量为M＝0.2kg的木块放在水平台面上，台面比水平地面高出h＝0.20m，木块离平台的右端L＝1.7m．质量为m＝0.10M的子弹以v0＝180m/s的速度水平射向木块，当子弹以v＝90m/s的速度水平射出时，木块的速度为v1＝9m/s(此过程作用时间极短，可认为木块的位移为零)．若木块落到水平地面时的落地点到台面右端的水平距离为l＝1.6m，求：(1)木块对子弹所做的功W1和子弹对木块所做的功W2；(2)木块与台面间的动摩擦因数μ.[思路点拨]对不同的物体在不同的阶段分别应用动能定理，所以要恰当地选取研究对象及其运动过程．[自主解答](1)由动能定理得，木块对子弹所做的功为W1＝12mv2－12mv20＝－243J子弹对木块所做的功为W2＝12Mv21＝8.1J.(2)设木块离开台面时的速度为v2，木块在台面上滑行阶段对木块由动能定理，有：－μMgL＝12Mv22－12Mv21木块离开台面后的平抛阶段，l＝v22hg解得μ＝0.50.[答案](1)－243J8.1J(2)0.502．剑桥大学物理学家海伦·杰尔斯基研究了各种自行车特技的物理学原理，并通过计算机模拟技术探寻特技动作的极限，设计了一个令人惊叹不已的高难度动作——“爱因斯坦空翻”，并在伦敦科学博物馆由自行车特技运动员(18岁的布莱士)成功完成．“爱因斯坦空翻”简化模型如图所示，质量为m的自行车运动员从B点由静止出发，经BC圆弧，从C点竖直冲出，完成空翻，完成空翻的时间为t，由B到C的过程中，克服摩擦力做功为W，空气阻力忽略不计，重力加速度为g，求自行车运动员从B到C至少做多少功．解析：运动员由C到D过程做竖直上抛运动，设初速度为v0，则有：0＝v0－12gt得v0＝12gt，运动员从B到C至少做功为W0，由动能定理：W0－W＝12mv20，解得：W0＝W＋18mg2t2.答案：W＋18mg2t21．(2011年高考课标全国卷)一质点开始时做匀速直线运动，从某时刻起受到一恒力作用．此后，该质点的动能可能()A．一直增大B．先逐渐减小至零，再逐渐增大C．先逐渐增大至某一最大值，再逐渐减小D．先逐渐减小至某一非零的最小值，再逐渐增大解析：若力F的方向与初速度v0的方向一致，则质点一直加速，动能一直增大，选项A正确．若力F的方向与v0的方向相反，则质点先减速至速度为零后反向加速，动能先减小至零后增大，选项B正确．若力F的方向与v0的方向成一钝角，如斜上抛运动，物体先减速，减到某一值，再加速，则其动能先减小至某一非零的最小值，再增大，选项D正确．答案：ABD2．质量为m的物体在水平力F的作用下，由静止开始在光滑地面上运动，前进一段距离之后速度大小为v，再前进一段距离使物体的速度增大为2v，则()A．第二过程的速度增量等于第一过程的速度增量B．第二过程的动能增量是第一过程动能增量的3倍C．第二过程合力做的功等于第一过程合力做的功D．第二过程合力做的功等于第一过程合力做功的2倍解析：由题意知，A选项正确，由动能定理知W1＝12mv2，W2＝12m(2v)2－12mv2＝32mv2，故B正确．答案：AB3．如图所示，将小球a从地面以初速度v0竖直上抛的同时，将另一相同质量的小球b从距地面h处由静止释放，两球恰在处相遇(不计空气阻力)．则()A．两球同时落地B．相遇时两球速度大小相等C．从开始运动到相遇，球a动能的减少量等于球b动能的增加量D．相遇后的任意时刻，重力对球a做功功率和对球b做功功率相等解析：对b球，由h2＝12gt2得t＝hg，vb＝gt＝gh.以后以初速度gh匀加速下落．对a球，h2＝v0t－12gt2得v0＝gh，在h2处，va＝v0－gt＝0，以后从h2处自由下落．故落地时间tbta，a、b不同时落地，选项A错误．相遇时vb＝gh，va＝0，选项B错误．从开始运动到相遇，a球动能减少量ΔEkb＝12mv2b＝12mgh，b球动能增加量ΔEkb＝12mv2b＝12mgh，选项C正确．相遇之后，重力对b球做功的功率Pb＝mgvb＝mg(gh＋gt)，重力对a球做功的功率Pa＝mg(va＋gt)＝mg·gt，PbPa，选项D错误．答案：C4．如图所示，一辆汽车从A点开始爬坡，在牵引力不变的条件下行驶45m的坡路到达B点时，司机立即关掉油门，以后汽车又向前滑行15m停在C点，汽车的质量为5×103kg，行驶中受到的摩擦阻力是车重的0.25倍，取g＝10m/s2，求汽车的牵引力做的功和它经过B点时的速率．解析：汽车从A到C的过程中，汽车发动机的牵引力做正功，重力做负功，摩擦力做负功，由动能定理可得：WF－mgh－0.25mgl＝0，所以有WF＝mgh＋0.25mgl＝2.25×106J.汽车由B到C的过程中，克服重力做功，克服摩擦力做功，由动能定理可得：－0.25mgl1－mgl1·sin30°＝0－12mv2B，代入数据可得vB＝15m/s.答案：2.25×106J15m/s