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4.1.2复数的有关概念学习目标思维脉络1.理解复数的有关概念及两个复数相等的充要条件;2.了解复平面的概念,理解并掌握复数的几何意义;3.理解复数模的概念,会求复数的模.1231.复数相等的充要条件两个复数a+bi与c+di(a,b,c,d∈R)相等.当且仅当它们的实部与虚部分别相等,即a+bi=c+di当且仅当a=c,且b=d.练一练1复数4-3a-a2i=a2+4ai,则实数a的值为()A.1B.1或-4C.-4D.0或-4解析:由题意知4-3𝑎=𝑎2,-𝑎2=4𝑎,解得a=-4.答案:C1232.复平面与复数的几何意义(1)复平面(2)复数的几何意义123练一练2若向量a的坐标为(x,y),则它对应的复数应是()A.x+yiB.y+xiC.x+yi或y+xiD.x+yi或x-yi答案:A123练一练3设z=(2m-3)+(7+3m)i对应的点Z在第二象限,则实数m的取值范围是.解析:由题意可知,点Z的坐标为(2m-3,7+3m).因为点Z在第二象限,所以2𝑚-30,7+3𝑚0,即-73m32.答案:-73,321233.复数的模设复数z=a+bi在复平面内对应的点是Z(a,b),点Z到原点的距离|OZ|叫作复数z的模或绝对值,记作|z|.显然|z|=𝑎2+𝑏2.名师点拨复数的模的几何意义复数z=a+bi(a,b∈R)的模的几何意义就是复数z=a+bi所对应的点Z(a,b)到原点的距离.其中|z|=r的轨迹就是以原点为圆心、以r为半径的圆,当r=1时为单位圆,复数的模是实数的绝对值的概念的推广,当复数z为实数时,|z|就是实数的绝对值.123练一练4若z1=1+2i,z2=-1,则|z1||z2|.(填“”“”或“=”)解析:|z1|=12+22=5,|z2|=(-1)2=1,51,故|z1||z2|.答案:探究一探究二探究三探究四探究一复数相等在两个复数相等的充要条件中,注意前提条件是a,b,c,d∈R.忽略条件后,不能成立.因此在解决复数相等问题时,一定要把复数的实部与虚部分离出来,再利用复数相等的充要条件化复数问题为实数问题来解决.探究一探究二探究三探究四典例提升1(1)已知(2x-3y)+(x-y+1)i=(x-y)+(3x-4y)i,求实数x,y的值.(2)已知复数z1=-4a+1+(2a2+3a)i,z2=2a+(a2+a)i,其中a∈R,若z1z2,求a的值.思路分析:(1)根据复数相等的充要条件,将问题转化为关于x,y的方程组求解.(2)由两个复数存在大小关系的条件,列出不等式组求解.探究一探究二探究三探究四解:(1)由复数相等的充要条件,得2𝑥-3𝑦=𝑥-𝑦,𝑥-𝑦+1=3𝑥-4𝑦,解得𝑥=2,𝑦=1.(2)∵z1z2,∴z1,z2都是实数且z1z2.∴2𝑎2+3𝑎=0,𝑎2+𝑎=0,-4𝑎+12𝑎.①②③由①得a=0或a=-32,由②得a=0或a=-1,由③得6a-10,由①②得a=0代入③成立.因此,a=0.探究一探究二探究三探究四变式训练1设z1=1+sinθ-icosθ,z2=11+sin𝜃+(cosθ-2)i.若z1=z2,求θ.解:由已知,得1+sin𝜃=11+sin𝜃,cos𝜃=2-cos𝜃,解得sin𝜃=0,cos𝜃=1.则θ=2kπ(k∈Z).探究一探究二探究三探究四探究二复数的几何意义按照复数集和复平面内所有的点的集合之间的一一对应关系,每一个复数都对应着一个有序实数对,只要在复平面内找出这个有序实数对所表示的点,就可根据点的位置确定复数的实部、虚部满足的条件.探究一探究二探究三探究四典例提升2实数a取什么值时,复平面内表示复数z=a2+a-2+(a2-3a+2)i的点满足:(1)位于第二象限?(2)位于直线y=x上?思路分析:位于第二象限的点的横坐标小于0,纵坐标大于0;位于直线y=x上的点的横坐标等于纵坐标.解:根据复数的几何意义可知,复平面内表示复数z=a2+a-2+(a2-3a+2)i的点就是点Z(a2+a-2,a2-3a+2).(1)由点Z位于第二象限,得𝑎2+𝑎-20,𝑎2-3𝑎+20,解得-2a1.故满足条件的实数a的取值范围为(-2,1).(2)由点Z位于直线y=x上,得a2+a-2=a2-3a+2,解得a=1.故满足条件的实数a的值为1.探究一探究二探究三探究四变式训练2求实数m的取值范围,使复数z=lg(m2+2m+1)+(m2+3m+2)i在复平面内的对应点分别满足:(1)在实轴上;(2)在第三象限.解:(1)若复数z的对应点在实轴上,则𝑚2+2𝑚+10,𝑚2+3𝑚+2=0,解得m=-2.故当m=-2时,复数z的对应点在实轴上.(2)若复数z对应的点在第三象限,则lg(𝑚2+2𝑚+1)0,𝑚2+3𝑚+20,解得-2m-1.故当实数m的取值范围是(-2,-1)时,复数z的对应点在第三象限.探究一探究二探究三探究四探究三复数的模1.求复数的模的步骤:(1)将复数化为z=a+bi(a,b∈R)的形式;(2)代入公式|z|=𝑎2+𝑏2求值.2.复数z=x+yi(x,y∈R)的模|z|的几何意义是点Z(x,y)到坐标原点的距离.探究一探究二探究三探究四典例提升3(1)已知复数z1=3-4i,复数z2=a+i,若|z1||z2|,试求实数a的取值范围.(2)设z∈C,满足下列条件的点Z的集合是什么图形?①|z|=2;②|z|≤3.思路分析:(1)求出模,列不等式求解;(2)根据模的几何意义说明,或者设出复数,化为实数问题说明.探究一探究二探究三探究四解:(1)∵z1=3-4i,∴|z1|=32+(-4)2=5.∵z2=a+i,a∈R,∴|z2|=𝑎2+1.∵|z1||z2|,∴5𝑎2+1,即-26a26.∴实数a的取值范围是(-26,26).(2)方法一:①复数z的模等于2,这表明向量𝑂𝑍的长度等于2,即点Z到原点的距离等于2,因此满足条件|z|=2的点Z的集合是以原点O为圆心,以2为半径的圆.②满足条件|z|≤3的点Z的集合是以原点O为圆心,以3为半径的圆及其内部.方法二:设z=x+yi(x,y∈R).①∵|z|=2,∴x2+y2=4.∴点Z的集合是以原点O为圆心,以2为半径的圆.②∵|z|≤3,∴x2+y2≤9.∴点Z的集合是以原点O为圆心,以3为半径的圆及其内部.探究一探究二探究三探究四方法总结解决关于复数的模的几何意义问题,通常有两种方法:(1)根据|z|表示点Z和原点间的距离,把复数条件转化为几何条件;(2)设出复数,利用模的定义,把复数方程(不等式)转化为实数方程(不等式).探究一探究二探究三探究四变式训练3若复数z=(m-2)+mi的模等于2,则实数m的值为.解析:由题意可知(𝑚-2)2+𝑚2=2,∴(m-2)2+m2=4,即m2-2m=0,解得m=0或m=2.答案:0或2探究一探究二探究三探究四探究四易错辨析易错点:套用复数中不适用的公式致错探究一探究二探究三探究四典例提升4已知关于x的方程x2+kx+(k+1)i=0(k∈R)有实根,求这个实根.错解:由x2+kx+(k+1)i=0,得x=-𝑘±𝑘2-4(𝑘+1)i2.错因分析:套用实系数一元二次方程的求根公式,求出的根可能是虚数.正解:设x=m是方程的实根,代入方程,得m2+km+(k+1)i=0,由复数相等的充要条件,得𝑚2+𝑘𝑚=0,𝑘+1=0,解得𝑚=0,𝑘=-1或𝑚=1,𝑘=-1.故方程的实根为0或1.123451.当23m1时,复数z=(3m-2)+(m-1)i在复平面上对应的点位于()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限解析:∵23m1,∴3m-20,m-10.∴复数z=(3m-2)+(m-1)i对应的点Z(3m-2,m-1)在第四象限.答案:D123452.若𝑂𝑍=(0,-3),则𝑂𝑍对应的复数为()A.0B.-3C.-3iD.3解析:复数的实部为0,虚部为-3,所以对应的复数为-3i.答案:C123453.若复数a-2i=bi+1(a,b∈R),则a+b=.解析:由复数相等的充要条件,得a=1,b=-2,故a+b=-1.答案:-1123454.如果复数z=1+ai满足条件|z|2,那么实数a的取值范围是.解析:由z=1+ai,|z|2,a∈R,得𝑎2+12,解得-3a3.答案:(-3,3)123455.指出满足条件2≤|z|3的复数z在复平面内表示的图形.解:如图所示,图形是以原点O为圆心,半径分别为2和3的两个圆所夹的圆环,但不包括大圆圆周.