【赢在课堂】2016高考数学 5.2复数的四则运算课件 北师大版选修2-2

§5.2复数的四则运算学习目标思维脉络1.掌握复数代数形式的加减法运算法则,并能运用复数加减法法则进行熟练计算.2.掌握复数的乘、除法法则,并能运用复数的乘、除法法则进行计算.3.理解复数的共轭复数的定义,并能说出一个复数与其共轭复数的内在联系.4.能熟练利用z·z=|z|2来解决复数除法问题.5.注意和实数范围内的四则运算进行类比及区分.12341.复数的加法与减法设a+bi和c+di是任意两个复数,则(a+bi)±(c+di)=(a±c)+(b±d)i,也就是说两个复数的和(或差)仍然是一个复数.它的实部是原来两个复数的实部的和(或差),它的虚部是原来两个复数的虚部的和(或差).1234知识拓展复数加减运算的几何意义.已知复数z1=x1+y1i,z2=x2+y2i,x1,x2,y1,y2∈R,其对应的向量𝑂𝑍1=(x1,y1),𝑂𝑍2=(x2,y2)(如图),且𝑂𝑍1和𝑂𝑍2不共线.以OZ1和OZ2为两条邻边作▱OZ1ZZ2,根据向量的加法法则,对角线OZ所表示的向量𝑂𝑍=𝑂𝑍1+𝑂𝑍2,而𝑂𝑍1+𝑂𝑍2所对应的坐标是(x1+x2,y1+y2),这正是两个复数之和z1+z2所对应的有序实数对.因此复数加法的几何意义就是向量加法的平行四边形法则.类似地,向量𝑍2𝑍1对应两个复数的差z1-z2,作𝑂𝑍'=𝑍2𝑍1,则点Z'也对应复数z1-z2.12342.复数的乘法设a+bi与c+di分别是任意两个复数,则(a+bi)·(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i.也就是说,两个复数的积仍然是一个复数.复数的乘法与多项式的乘法是类似的,但在运算过程中,需要用i2=-1进行化简,然后把实部与虚部分别合并.温馨提示1.对复数z1,z2,z和自然数m,n有:zm·zn=zm+n,(zm)n=zm·n,(z1·z2)n=𝑧1𝑛·𝑧2𝑛.实数范围内的乘法公式在复数范围内仍然成立.2.i4n=1,i4n+1=i,i4n+2=-1,i4n+3=-i(n∈Z).练一练1已知i为虚数单位,复数z=2i(2-i)的实部为a,虚部为b,则logab等于()A.0B.1C.2D.3解析:z=2i(2-i)=4i-2i2=2+4i,则a=2,b=4,所以logab=log24=2,故选C.答案:C12343.共轭复数当两个复数的实部相等,虚部互为相反数时,这样的两个复数叫作互为共轭复数.即当z=a+bi时,𝑧=a-bi,于是z·𝑧=|z|2.温馨提示复数z=a+bi(a,b∈R)的共轭复数为𝑧=a-bi,它们对应的点关于实轴对称.当b=0时,z=𝑧,此时z与𝑧对应的点是实轴上的同一个点.如果z=𝑧,可以推得z为实数.由此可得z=𝑧⇔z为实数.1234练一练2已知复数z对应的点在第二象限,它的模是3,实部是-5,则𝑧=()A.-5+2iB.-5-2iC.5+2iD.5-2i解析:设z=-5+bi(b∈R,且b0),则|z|=5+𝑏2=3,且z对应的点在第二象限,即b=2,z=-5+2i,故𝑧=-5-2i.答案:B12344.复数的除法我们规定两个复数除法的运算法则如下:(a+bi)÷(c+di)=𝑎+𝑏i𝑐+𝑑i=(a+bi)(1𝑐+𝑑i)=(a+bi)·𝑐-𝑑i𝑐2+𝑑2=(𝑎𝑐+𝑏𝑑)+(𝑏𝑐-𝑎𝑑)i𝑐2+𝑑2=𝑎𝑐+𝑏𝑑𝑐2+𝑑2+𝑏𝑐-𝑎𝑑𝑐2+𝑑2i.其中a,b,c,d∈R.上述复数除法的运算法则不必死记.在实际运算时,我们把商𝑎+𝑏i𝑐+𝑑i看作分数,分子、分母同乘以分母的共轭复数c-di,把分母变为实数,化简后,就可以得到运算结果.1234练一练31+2i(1-i)2=()A.-1-12iB.-1+12iC.1+12iD.1-12i解析:1+2i(1-i)2=1+2i-2i=(1+2i)i2=-2+i2=-1+12i.答案:B探究一探究二探究三探究四探究五探究一复数的四则运算复数的加、减、乘、除四则运算是复数的最基本运算,也是高考中重点考查的对象.运算时,只需按规定的运算法则进行即可.典例提升1计算:(1)(5-6i)+(-2-i)-(3+4i);(2)(1-i)(1+2i)1+i.解:(1)(5-6i)+(-2-i)-(3+4i)=5-6i-2-i-3-4i=(5-2-3)+(-6-1-4)i=-11i.(2)(1-i)(1+2i)1+i=(1-i)2(1+2i)(1+i)(1-i)=4-2i2=2-i.探究一探究二探究三探究四探究五􀎥变式训练􀎥(1)i是虚数单位,复数7+i3+4i=()A.1-iB.-1+iC.1725+3125iD.-177+257i(2)若(1+i)(2+i)=a+bi,其中a,b∈R,i为虚数单位,则a+b=.解析:(1)7+i3+4i=(7+i)(3-4i)(3+4i)(3-4i)=25-25i25=1-i,故选A.(2)∵(1+i)(2+i)=2+2i+i-1=1+3i,1+3i=a+bi,且a,b∈R.∴a=1,b=3.∴a+b=4.答案:(1)A(2)4探究一探究二探究三探究四探究五探究二共轭复数的性质1.两个共轭复数z,𝑧的积是一个实数,这个实数等于每一个复数的模的平方,即z·𝑧=|z|2=|𝑧|2,通常也写成|z|=|𝑧|=𝑧·𝑧.2.共轭复数的性质①|𝑧|=|z|;②z·𝑧=|z|2=|𝑧|2;③z+𝑧=2a,z-𝑧=2bi;④𝑧1+𝑧2=𝑧1+𝑧2;⑤𝑧1-𝑧2=𝑧1−𝑧2;⑥𝑧1·𝑧2=𝑧1·𝑧2;⑦𝑧1𝑧2=𝑧1𝑧2(z2≠0);⑧z=𝑧⇔z∈R,𝑧=-z(z≠0)⇔z为纯虚数.探究一探究二探究三探究四探究五典例提升2已知z是虚数,m=z+1𝑧是实数,求|z|的值.思路分析:由z为虚数,知z的虚部不为0.根据m为实数建立等式可求|z|.或z∈R⇔z=𝑧进行转化.探究一探究二探究三探究四探究五解:方法一:因为z是虚数,设z=a+bi(a,b∈R,且b≠0),m=z+1𝑧=a+bi+1𝑎+𝑏i=a+𝑎𝑎2+𝑏2+b1-1𝑎2+𝑏2i.因为m∈R,所以b1-1𝑎2+𝑏2=0.又因为b≠0,所以1-1𝑎2+𝑏2=0,即a2+b2=1,则|z|=1.方法二:m是实数,∴m=𝑚,即z+1𝑧=𝑧+1𝑧⇔(z-𝑧)1-1𝑧𝑧=0.∵z为虚数,∴z-𝑧≠0.∴1-1𝑧𝑧=0.∴z𝑧=1,即|z|2=1,∴|z|=1.探究一探究二探究三探究四探究五点评利用化归思想,把复数问题表达为代数形式,从而建立相应的等量关系,求解问题.运用共轭复数的性质,也是一种好方法.探究一探究二探究三探究四探究五探究三利用in(n∈N+)的周期性解题对于n∈N+,都有i4n=1,i4n+1=i,i4n+2=-1,i4n+3=-i.解题时可利用这一规律简化运算,对此还要明确如下几点:(1)in(n∈N+)具有周期性,且最小正周期是4.(2)n可推广到整数集.(3)4k(k∈Z)是in(n∈N+)的周期.显然in+in+1+in+2+in+3=0(n∈N+).因为in(n∈N+)具有周期性,解题时要灵活运用,或适当变形,创造条件转化为i的计算.一般地,有(1±i)2=±2i,1+i1-i=i,1-i1+i=-i.探究一探究二探究三探究四探究五典例提升3计算:(1)2+1i15−1+i222;(2)-23+i1+23i+21-i2016.解:(1)原式=2+ii16−(1+i)22(2)22=(2+i)-(2i)11211=2+i-i11=2+i-i3=2+i+i=2+2i.(2)原式=i(1+23i)1+23i+21-i21008=i+i1008=i+i4=i+1=1+i.点评i的幂的运算,先利用in(n∈N+)的周期性,将其次数降低,然后再进行四则运算.探究一探究二探究三探究四探究五探究四复数运算的综合应用要灵活求解复数的综合问题,除去要掌握复数的四则运算、模的性质、共轭复数的性质、几何意义、复数分类等知识外,还应掌握数学的思想方法.典例提升4设z是虚数,ω=z+1𝑧是实数,且-1ω2.(1)求|z|的值及z的实部的取值范围;(2)设u=1-𝑧1+𝑧,求证:u为纯虚数;(3)求ω-u2的最小值.思路分析:(1)按常规解法,设z=a+bi(a,b∈R),化简ω=z+1𝑧,找出实部、虚部列出等量关系式求解;(2)证明u为纯虚数,可按定义证明实部为零,虚部不为零.或证明u+𝑢=0,且u≠0;(3)要求ω-u2的最小值,由(1),(2)知ω与u2均为实数,所以可先建立ω-u2的函数关系,再设法求出最小值.探究一探究二探究三探究四探究五(1)解:∵z是虚数,∴可设z=x+yi,x,y∈R,且y≠0.∴ω=z+1𝑧=x+yi+1𝑥+𝑦i=x+yi+𝑥-𝑦i𝑥2+𝑦2=x+𝑥𝑥2+𝑦2+𝑦-𝑦𝑥2+𝑦2i.∵ω是实数且y≠0,∴y-𝑦𝑥2+𝑦2=0,∴x2+y2=1,即|z|=1.此时ω=2x.∵-1ω2,∴-12x2,从而有-12x1.即z的实部的取值范围是-12,1.探究一探究二探究三探究四探究五(2)证明:u=1-𝑧1+𝑧=1-(𝑥+𝑦i)1+(𝑥+𝑦i)=(1-𝑥-𝑦i)(1+𝑥-𝑦i)(1+𝑥)2+𝑦2=1-𝑥2-𝑦2-2𝑦i(1+𝑥)2+𝑦2=-𝑦1+𝑥i.∵x∈-12,1,y≠0,∴𝑦1+𝑥≠0.∴u为纯虚数.探究一探究二探究三探究四探究五(3)解:ω-u2=2x--𝑦1+𝑥i2=2x+𝑦1+𝑥2=2x+1-𝑥2(1+𝑥)2=2x+1-𝑥1+𝑥=2x-1+21+𝑥=2(x+1)+21+𝑥-3.∵-12x1,∴1+x0.于是ω-u2=2(x+1)+21+𝑥-3≥22(𝑥+1)·21+𝑥-3=1.当且仅当2(x+1)=21+𝑥,即x=0时等号成立.∴ω-u2的最小值为1,此时z=±i.点评本题的求解涉及复数的有关概念、四则运算及均值不等式的知识.探究一探究二探究三探究四探究五探究五易错辨析易错点:因忽视有关条件而致误典例提升5已知𝑧𝑧-1是纯虚数,求z在复平面内对应点的轨迹.错解:设z=x+yi(x,y∈R),则𝑧𝑧-1=𝑥+𝑦i(𝑥-1)+𝑦i=(𝑥+𝑦i)[(𝑥-1)-𝑦i](𝑥-1)2+𝑦2=𝑥2+𝑦2-𝑥(𝑥-1)2+𝑦2−𝑦(𝑥-1)2+𝑦2i.∵𝑧𝑧-1是纯虚数,∴x2+y2-x=0,即𝑥-122+y2=14,∴z在复平面上对应点的轨迹是以点12,0为圆心,12为半径的圆.错因分析:由𝑧𝑧-1为纯虚数得x2+y2-x=0且y≠0,本题因忽略y≠0而导致错误.探究一探究二探究三探究四探究五正解:设z=x+yi(x,y∈R),则𝑧𝑧-1=𝑥+𝑦i(𝑥-1)+𝑦i=(𝑥+𝑦i)[(𝑥-1)-𝑦i](𝑥-1)2+𝑦2=(𝑥2+𝑦2-𝑥)-𝑦i(𝑥-1)2+𝑦2.∵𝑧𝑧-1是纯虚数,∴𝑥2+𝑦2-𝑥=0,𝑦≠0,即𝑥-122+y2=14(y≠0).∴z在复平面内对应点的轨迹是以点12,0为圆心,12为半径的圆,并去掉点(0,0)和点(1,0).1234561.设复数z=1+2i,则z2-2z等于()A.-3B.3C.-3iD.3i解析:z2-2z=(1+2i)2-2(1+2i)=-1+22i-2-22i=-3.答案:A1234562.复数1-2+i+11-2i的虚部是()A.15iB.15C.-15iD.-15解析:1-2+i+11-2i=-2-i4+1+1+2i1+4=-1+i5=-15+15i.故选B.答案:B1234563.i是虚数单位,21-i2018+1+i1-i6=.解析:原式=21-i21009+1+i1-i6=