新人教22.2二次函数与一元二次方程

二次函数与一元二次方程22.2问题:如图以40m/s的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出时，球的飞行路线将是一条抛物线，如果不考虑空气阻力，球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间具有关系h=20t－5t2考虑以下问题：（1）球的飞行高度能否达到15m？如能，需要多少飞行时间？（2）球的飞行高度能否达到20m？如能，需要多少飞行时间？（3）球的飞行高度能否达到20.5m？为什么？（4）球从飞出到落地需要用多少时间？所以可以将问题中h的值代入函数解析式，得到关于t的一元二次方程，如果方程有合乎实际的解，则说明球的飞行高度可以达到问题中h的值；否则，说明球的飞行高度不能达到问题中h的值．解：（1）解方程15＝20t－5t2t2－4t＋3=0t1=1，t2=3当球飞行1s和3s时，它的高度为15m．分析：由于球的飞行高度h与飞行时间t的关系是二次函数h=20t－5t2t1=1st2=3s15m15m（2）解方程20＝20t－5t2t2－4t＋4=0t1=t2=2当球飞行2s时，它的高度为20m．t1=2s20m（3）解方程20.5＝20t－5t2t2－4t＋4.1=0因为（－4）2－4×4.1＜0，所以方程无解．球的飞行高度达不到20.5m．20m（4）解方程0＝20t－5t2t2－4t=0t1=0,t2=4当球飞行0s和4s时，它的高度为0m，即0s时球从地面发出，4s时球落回地面．0ｓ４ｓ从上面可以看出，二次函数与一元二次方程关系密切．例如，已知二次函数y=－x2＋4x的值为3，求自变量x的值，可以解一元二次方程－x2＋4x=3（即x2－4x+3=0）．反过来，解方程x2－4x+3=0又可以看作已知二次函数y=x2－4x+3的值为0，求自变量x值．二、思考探究。获取新知问题1画出函数y=x²-4x+3的图像，根据图像回答问题：（1）图象与x轴交点的坐标是什么？（2）当x取何值时，y=0？这里x的取值与方程x²-4x+3=0有什么关系？（3）你能从中得到什么启示？一般地，二次函数y=ax²+bx+c的图像和x轴交点的横坐标是一元二次方程ax²+bx+c=0的根下列二次函数的图象与x轴有公共点吗？如果有，公共点的横坐标是多少？当x取公共点的横坐标时，函数的值是多少？由此，你能得出相应的一元二次方程的根吗？（1）y=x2＋x－2（2）y=x2－6x＋9（3）y=x2－x＋1（1）抛物线y=x2＋x－2与x轴有两个公共点，它们的横坐标是－2，1.当x取公共点的横坐标时，函数的值是0.由此得出方程x2＋x－2＝0的根是－2，1.（2）抛物线y=x2－6x＋9与x轴有一个公共点，这点的横坐标是3.当x=3时，函数的值是0．由此得出方程x2－6x＋9＝0有两个相等的实数根3.（3）抛物线y=x2－x＋1与x轴没有公共点，由此可知，方程x2－x＋1＝0没有实数根．1y=x2－6x＋9y=x2－x＋1y=x2＋x－2一般地，二次函数y=ax²+bx+c的图像和x轴交点的横坐标就是一元二次方程ax²+bx+c=0的根归纳：二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点一元二次方程ax2+bx+c=0的根一元二次方程ax2+bx+c=0根的判别式Δ=b2-4ac有两个交点有两个不相等的实数根b2-4ac0只有一个交点有两个相等的实数根b2-4ac=0没有交点没有实数根b2-4ac0二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点的横坐标与一元二次方程ax2+bx+c=0的根有什么关系?二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点有三种情况:(1)有两个交点(2)有一个交点(3)没有交点二次函数与一元二次方程b2–4ac0b2–4ac=0b2–4ac0若抛物线y=ax2+bx+c与x轴有交点,则b2–4ac≥0△＞0△=0△＜0OXY二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点试一试1.若抛物线y=x²-mx+1与x轴没有公共点，则m的取值范围是。2.求证：抛物线y=x²+ax+a-2与x轴总有两个交点。三、运用新知，深化理解1.画出函数y=x²-2x-3的图象，利用图象回答：（1）方程x²-2x-3=0的解是什么？（2）x取什么值时，函数值大于0？（3）x取什么值时，函数值小于0？（1）当x1=3，x2=-1（2）当x＜-1或x＞3时函数值大于0（3）当-1＜x＜3时，函数值小于02.利用函数图像求方程x²-2x-2=0的实数解？解：作y=x²-2x-2的图象，它与x轴的公共点的横坐标大约是-0.7,2.7所以方程x²-2x-2=0的实数根为x1≈-0.7，x2≈2.7知识巩固:1.抛物线y=2x2-3x-5与y轴交于点＿＿＿＿,与x轴交于点＿＿＿＿.2.一元二次方程3x2+x-10=0的两个根是x1=-2,x2=5/3,那么二次函数y=3x2+x-10与x轴的交点坐标是＿＿＿＿＿.一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根为x1,x2,则抛物线y=ax2+bx+c与x轴的交点坐标是(x1,0),(x2,0)(0,-5)(2.5,0)(-1,0)(-2,0)(5/3,0)5.根据下列表格的对应值:判断方程ax2+bx+c=0(a≠0,a,b,c为常数)一个解x的范围是()A3X3.23B3.23X3.24C3.24X3.25D3.25X3.26x3.233.243.253.26y=ax2+bx+c-0.06-0.020.030.09C6.已知抛物线y=x2+mx+m–2求证:无论m取何值,抛物线总与x轴有两个交点.知识提高:1.若抛物线y=x2+bx+c的顶点在第一象限,则方程x2+bx+c=0的根的情况是＿＿＿＿＿.2.直线y=2x+1与抛物线y=x2+4x+3有＿＿＿＿个交点.基础练习:1.不与x轴相交的抛物线是()Ay=2x2–3By=-2x2+3Cy=-x2–3xDy=-2(x+1)2-32.若抛物线y=ax2+bx+c,当a0,c0时,图象与x轴交点情况是()A无交点B只有一个交点C有两个交点D不能确定DC3.如果关于x的一元二次方程x2-2x+m=0有两个相等的实数根,则m=＿＿＿＿,此时抛物线y=x2-2x+m与x轴有＿＿＿＿个交点.4.已知抛物线y=x2–8x+c的顶点在x轴上,则c=＿＿＿＿.1116四、师生互动，课堂小结1.抛物线y=ax²+bx+c与一元二次方程ax²+bx+c=0有何关联？你能不画抛物线y=ax²+bx+c而了解此抛物线与x轴的交点情况吗？你是怎样做的？2.你能引用抛物线来确定相应的方程的根的近似值吗？从中你有哪些体会？