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考点聚焦考点1二次函数的概念一般地，形如________________(a、b、c是常数，a≠0)的函数叫做二次函数.二次函数的概念当a≠0，b＝c＝0时，y＝ax2是二次函数的特殊形式.y＝ax2＋bx＋c考点2二次函数的性质函数二次函数y＝ax2＋bx＋c(a、b、c为常数，a≠0)a0a0图象开口方向抛物线开口向上，并向上无限延伸．抛物线开口向下，并向下无限延伸．对称轴直线x＝－b2a顶点坐标－b2a，4ac－b24a增减性在对称轴的左侧，即当x－b2a时，y随x的增大而减小；在对称轴的右侧，即当x－b2a时，y随x的增大而增大，简记左减右增．在对称轴的左侧，即当x－b2a时，y随x的增大而增大；在对称轴的右侧，即当x－b2a时，y随x的增大而减小，简记左增右减.最值抛物线有最低点，当x＝－b2a时，y有最小值，y最小值＝4ac－b24a.抛物线有最高点，当x＝－b2a时，y有最大值，y最大值＝4ac－b24a.考点2二次函数的性质考点3二次函数的解析式的确定名称关键点回顾1.一般式：y＝ax2＋bx＋c(a、b、c是常数，a≠0)；2.顶点式：y＝a(x－h)2＋k，(a、h、k是常数，a≠0)；二次函数解析式的形式3.交点式：y＝a(x－x1)(x－x2)(x1、x2是抛物线与x轴交点的横坐标，a≠0)．待定系数法确定二次函数的解析式分三种情况：1.已知抛物线上任意三个点的坐标时，选用一般形式；2.已知抛物线顶点坐标时，选用顶点式；二次函数解析式的确定3.已知抛物线与x轴两个交点的坐标时，选用交点式.考点4二次函数与一元二次方程名称关键点回顾二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与x轴的交点的横坐标就是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根．1.当b2－4ac＞0时抛物线与x轴有________交点，方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有两个不相等的实数根；2.当b2－4ac＝0时抛物线与x轴有________交点，方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有两个相等的实数根；二次函数与一元二次方程的关系3.当b2－4ac＜0时抛物线与x轴__________交点，方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)没有实数根.两个一个没有考点5二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象特征与a、b、c之间的关系字母关键点回顾1.a0时，开口向上；2.a0时，开口向下.a||a越大，抛物线的开口程度________，||a越小，抛物线的开口程度________.b1.b＝0时，对称轴为y轴；2.ab0(b与a同号)时，对称轴在y轴左侧；3.ab0(b与a异号)时，对称轴在y轴右侧．c1.c＝0时，经过原点；2.c＞0时，与y轴正半轴相交；3.c＜0时，与y轴负半轴相交．特殊关系1.当x＝1时，y＝a＋b＋c；2.当x＝－1时，y＝a－b＋c；3.若a＋b＋c＞0，即x＝1时，y＞0；4.若a－b＋c＞0，即x＝－1时，y＞0.越小越大考点6二次函数图象的平移将抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)用配方法化成_______________________的形式，而任意抛物线y＝a(x－h)2＋k均可由y＝ax2平移得到，具体平移方法如下：y＝a(x－h)2＋k(a≠0)[注意]确定抛物线平移后的解析式最好利用顶点式，利用顶点的平移来研究图形的平移．探究一二次函数的定义泰考探究命题角度：二次函数的概念．例1若y＝(m＋1)x是二次函数，则m＝()A．7B．－1C．－1或7D．以上都不对m2－6m－5A根据x的次数为2，系数不为0，列出方程与不等式解答即可．由题意得m2－6m－5＝2且m＋1≠0，解得m＝7或－1，m≠－1，∴m＝7，故选A.解析根据二次函数的定义，二次函数中自变量的次数是2，且二次项的系数不为0直接列方程或不等式求解．不能遗漏二次项的系数不为0这个条件．探究二二次函数的图象与性质命题角度：1．二次函数的图象及画法；2．二次函数的性质．例2[2013·泰安]对于抛物线y＝－12(x＋1)2＋3，下列结论：①抛物线的开口向下；②对称轴为直线x＝1；③顶点坐标为(－1，3)；④x1时，y随x的增大而减小．其中正确结论的个数为()A．1B．2C．3D．4C由－120，得抛物线开口向下，①正确；关系式写成了顶点形式，因此对称轴为直线x＝－1，顶点坐标为(－1，3)，②错误；③正确；由－120，当x1－1时，y随x的增大而减小，④正确．故选C.解析二次函数的图象与性质涉及开口方向、对称轴、顶点坐标、最值和函数的增减性，解答这些问题的关键是把二次函数关系式配方成顶点式或直接利用公式求解．变式题[2012·咸宁]对于二次函数y＝x2－2mx－3，有下列说法：①它的图象与x轴有两个公共点；②如果当x≤1时y随x的增大而减小，则m＝1；③如果将它的图象向左平移3个单位后过原点，则m＝－1；④如果当x＝4时的函数值与x＝2008时的函数值相等，则当x＝2012时的函数值为－3.其中正确的说法是________．(把你认为正确说法的序号都填上)①④探究三二次函数的解析式的求法命题角度：1．一般式，顶点式，交点式；2．用待定系数法求二次函数的解析式．例3已知二次函数y=ax2+bx+c的最大值是2，图象顶点在直线y=x+1上，并且图象经过点（3，-6）。求二次函数表达式。由于已知二次函数图象的最大值是2且顶点在y=x+1上可得顶点坐标为(1，2)，所以可设所求二次函数的解析式为顶点形式y＝a(x－1)2+2，再把x＝3，y＝-6代入函数解析式中确定a的值．解析可设所求二次函数的解析式为y＝a(x－1)2+2(a≠0)，∵抛物线过原点(3，-6)，∴a(3－1)2+2＝-6，解得a＝-2，∴该函数解析式为y＝-2(x－1)2+2，即y＝-2x2+4x.解用待定系数法确定二次函数解析式时，已知三点的坐标，通常设为一般形式y＝ax2＋bx＋c；已知顶点坐标，通常设为顶点形式y＝a(x－h)2＋k；已知抛物线与x轴的两个交点的坐标，通常设为交点式y＝a(x－x1)(x－x2)．无论用哪种方法，都必须具备三个已知条件．变式题[2012·泰州]如图，在平面直角坐标系xOy中，边长为2的正方形OABC的顶点A、C分别在x轴、y轴的正半轴上，二次函数y＝－23x2＋bx＋c的图象经过B、C两点．(1)求该二次函数的解析式；(2)结合函数的图象探索：当y0时x的取值范围．用待定系数法将已知两点的坐标代入二次函数解析式，即可求出b，c的值，然后通过解一元二次方程求抛物线与x轴的交点坐标，由图象法求得函数值y为正数时，自变量x的取值范围．解析(1)由题意可得B(2，2)，C(0，2)，将点B、C的坐标代入y＝－23x2＋bx＋c，得c＝2，b＝43，所以二次函数的解析式是y＝－23x2＋43x＋2.(2)解－23x2＋43x＋2＝0，得x1＝3，x2＝－1，由图象可知：y0时x的取值范围是－1＜x＜3.解求二次函数的解析式时，涉及到几何图形的问题要首先根据几何意义求出点的坐标，然后将点的坐标代入求解．解析式的形式有的已经给出，如果没有给出，要根据函数的图象或已知条件设出相应的解析式进行求解．探究四二次函数与一元二次方程命题角度：1．二次函数与一元二次方程之间的关系；2．图象法解一元二次方程；3．二次函数与不等式(组)．例4[2013·苏州]已知二次函数y＝x2－3x＋m(m为常数)的图象与x轴的一个交点为(1，0)，则关于x的一元二次方程x2－3x＋m＝0的两实数根是()A．x1＝1，x2＝－1B．x1＝1，x2＝2C．x1＝1，x2＝0D．x1＝1，x2＝3B由于二次函数y＝x2－3x＋m(m为常数)的图象与x轴的一个交点为(1，0)，即x＝1是一元二次方程x2－3x＋m＝0的根，代入得12－3＋m＝0，m＝2，原方程为x2－3x＋2＝0，解得x1＝1，x2＝2，故选B.解析抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴的交点横坐标就是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的解，体现了数学的数形结合思想．探究五二次函数图象的平移命题角度：1．二次函数图象的平移规律；2．利用平移求二次函数的解析式．例5[2013·枣庄]将抛物线y＝3x2向上平移3个单位，再向左平移2个单位，那么得到的抛物线的解析式为()A．y＝3(x＋2)2＋3B．y＝3(x－2)2＋3C．y＝3(x＋2)2－3D．y＝3(x－2)2－3由“上加下减”的原则可知，将抛物线y＝3x2向上平移3个单位所得抛物线的解析式为y＝3x2＋3；由“左加右减”的原则可知，将抛物线y＝3x2＋3向左平移2个单位所得抛物线的解析式为y＝3(x＋2)2＋3.故选A.解析注意向左、向右平移是相对于x所做的平移，如本题中，抛物线y＝3x2＋3向左平移2个单位后所得抛物线的解析式为y＝3(x＋2)2＋3，而不是y＝(3x＋2)2＋3.A变式题[2013·聊城]如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝12x2经过平移得到抛物线y＝12x2－2x，其对称轴与两段抛物线弧所围成的阴影部分的面积为()A．2B．4C．8D．16B过点A作AC⊥y轴于点C，将y＝12x2－2x配方得y＝12(x－2)2－2，所以点P坐标为(2，－2)．当x＝2时，y＝12x2＝2，点A坐标为(2，2)，由抛物线的对称性知，阴影部分的面积等于正方形OBAC的面积＝4.故选B.解析C（2,-2）（2,2）探究六二次函数的图象特征与a，b，c之间的关系命题角度：1．二次函数图象的开口方向，对称轴，顶点坐标，与坐标轴的交点情况与a，b，c的关系；2．图象上的特殊点与a，b，c的关系．例6[2013·广安]已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，对称轴是直线x＝1.下列结论：①abc0；②2a＋b＝0；③b2－4ac0；④4a＋2b＋c0，其中正确的是()A①③B只有②C②④D③④C∵开口向上，∴a＞0.∵与y轴交于正半轴，∴c＞0.∵对称轴是x＝1，∴－b2a＝1，∴b＜0，∴abc＜0，故①错误；∵对称轴为直线x＝－b2a＝1，∴2a＋b＝0，故②正确；抛物线与x轴有两个不同的交点，即ax2＋bx＋c＝0有两个不相等的实数根，b2－4ac＞0，故③错误；∵对称轴为x＝1，与x轴的一个交点的取值范围为0＜x1＜1，∴与x轴的另一个交点的取值范围为1＜x2＜2，∴当x＝2时，4a＋2b＋c＞0，故④正确．故选C.解析二次函数的图象特征，主要从开口方向，与x轴有无交点，与y轴交点及对称轴的位置，确定a，b，c及b2－4ac的符号，有时也可把x的值代入，根据图象确定y的符号．a、b的符号与对称轴的关系：左同、右异深度剖析某跳水运动员在一次跳水训练时的跳水曲线为如图所示的抛物线的一段，已知跳水板AB长为2m，跳水板距水面CD的高BC为3m，CE＝5m，CF＝6m，为安全和空中姿态优美，训练时跳水曲线应在离起跳点hm(h≥1)时达到距水面最大高度4m，规定：以CD为横轴，CB为纵轴建立直角坐标系．(1)当h＝1时，求跳水曲线所在的抛物线方程；(2)若跳水运动员在区域EF内入水时才能达到压水花的训练要求，求达到压水花的训练要求时h的取值范围．命题角度：二次函数的图象与性质的综合运用．题型分类·深度剖析思维启迪(1)可根据抛物线方程的顶点式求跳水曲线所在的抛物线方程；(2)利用x＝5，x＝6时函数值的符号求h范围．解(1)由题意知最高点为(2＋h,4)，h≥1，设抛物线方程为y＝a[x－(2＋h)]2＋4，当h＝1时，最高点为(3,4)，方程为y＝a(x－3)2＋4，将A(2,3)代入，得3＝a(2－3)2＋4，解得a＝－1.∴当h＝1时，跳水曲线所在的抛物线方程为y＝－(x－3)2＋4.题型分类·深度剖析(2)将点A(2,3)代入y＝a[x－(2＋h)]2＋4当x=5，－1h2[5-(2+h)]2＋4=0，解得：h=1（h＞0）当x=6时，－1h2[6-(2+h)]2＋4=0.解得：h=43.（h＞0）达到压