机票预售价格预测和数量决策的优化模型

机票预售价格预测和数量决策的优化模型摘要本文针对航空公司机票预定价格的变动规律，以及在综合考虑经济利润和社会声誉情况下最优预售票数的决策进行了讨论。在问题1中，本文建立了基于趋势比率法的季节预测模型和基于SARIMA的时间序列预测模型。首先根据价格走势图初步认为原价格时间序列受长期趋势及季节变动的影响明显。之后由原数据建立直线趋势方程，得出各月的趋势值，并根据古典时间序列分解模型，分离出季节比率，之后调整季节比率得到季节指数，每月季节指数与各月的趋势值的乘积即为各月的机票价格的预测值。用这种方法可以得到2010年4月到2011年3月的机票预订价格预测值：1040、1106、1013、1138、1283、1032、1207、1080、935、1064、956、917，单位：元。在采用SARIMA方法建模时，用EVIEWS软件首先通过一阶差分消除原序列的非平稳性，再进行一次季节性差分，削弱了季节因素的影响。然后考察平稳序列的自相关系数、偏相关系数，用AIC定阶准则建立了较为合适的SARIMA模型12)1,12,1)(9,1,9(SATIMA：ttuDYD+−=676056.612ttvLLLLuLLLL)471241.11)(261903.51)(503009.21)(004015.11()025949.01)(404643.01)(420978.01)(810866.01(12921292−++−=+−++并对其进行了白噪声检验。之后对模型进行样本内预测，通过MAPE、Theil、BP、VP、CP指标对预测精度进行了评估，结果显示较好。再次，对2010年4月到2011年3月机票预订价格进行预测，结果如下：886、961、830、972、1047、930、956、895、752、687、719、759，单位：元。最后针对两种方法的预测结果的差异进行分析，认为在预测时SARIMA模型较合适,并综合两种模型描述了机票价格的变动规律。在问题2中，本文基于Taguchi模型，并做了一定的优化。以公司经济利益最大化和社会声誉尽量不受影响为原则公司。经济利益可以用机票收入扣除飞行费用和赔偿金，再加上订金收入后的利润来衡量，同时为了维持一定的社会声誉又要确保会被挤下飞机的乘客数量尽可能的小，因此建立了一个两目标的优化模型。而又考虑到预订票后乘客是否前来登机是随机的，所以文章运用概率的思想使其服从二项分布。公司的首先假定不优先考虑头等舱乘客的利益，分别对经济舱、头等舱用MATLAB进行了数值求解：当预订者不按时登机的概率0.05p=时，航空公司发出318张经济舱票、22张头等舱票总收益大，单位费用的总收益1.338；当预订者不按时登机的概率0.1p=时，航空公司发出334张经济舱票、23张经济舱票总收益最大，单位费用收益也为1.338。但又考虑到航空公司作为盈利组织，会充分保障头等舱乘客的利益，优先考虑这部分人的利益，以确保将来的客流量，所以本文从乘客转舱的角度，又分三种情况进行了更为深入探讨。最后对以上三个模型进行了评价，以利于对其改进及推广。1【关键词】趋势比率法SARIMA模型白噪声检验Taguchi模型二项分布一、问题重述航空公司对机票一般采取预定策略。客户可以通过电话或互联网预定，这种预定具有很大的不确定性，客户很可能由于各种原因取消预定。航空公司为了争取更大的利润，一方面要争取客户，另一方面要降低客户取消预定遭受的损失。为此，航空公司采用一些措施。首先，要求客户提供信用卡号，预付一定数量的定金。如果客户在飞机起飞前48小时内取消预定，定金将如数退还，否则定金将被没收。其次，航空公司采用变动价格，根据市场需求情况调整机票价格，一般来说旺季机票价格比较高，淡季价格略低。（1）建立机票预定价格的数学模型，并对以下实例作分析。表中（见附录一）给出了某某航空公司某条航线2005年10月～2010年3月期间，每月经济舱机票平均价格(单位:元)，利用所建模型说明价格变动的规律，并据此估计未来一年内的经济舱机票的参考价格。还可以收集更多的数据来佐证所建模型的价值（要求注明出处）。（2）在旺季，航空公司往往可以预定出超过实际座位数的机票数,以减低客户取消预定时航空公司的损失。当然这样做可能会带来新的风险,因为万一届时有超出座位数的客户出现,航空公司要通过升级机票档次或赔款来解决纠纷,为此航空公司还会承担信誉风险。某条航线就一中机型，有头等舱20座，经济舱300座，每天一班航班。试为该航线制定合理的预定策略,并论证理由。二、问题的分析2.12.12.12.1问题一：首先我们根据原始数据（机票价格）关于时间作出曲线图，如图1：图1机票价格关于时间的走势图从该图我们初步判断，机票价格受到季节因子的影响，周期为一年，即12个月。每年的5、8、12月为旺季。同时，机票价格又受到长期趋势的影响，每年同期的价格呈上涨的趋势。因此我们采用趋势比率法进行季节预测。建立趋势方程，并将长期趋势因子、季节变动因子分离，得到每一个月的季节比率。再算出一年后的趋势值，与季节比率的乘积即为之后一年的预测值。2另外我们建立SARIMA模型，特别适合于预测受季节因素影响的时间序列。2.22.22.22.2问题二：由于航空公司订票业务的开展，若限制订票数额与飞机可容纳乘客数恰好相等，那么当乘客订了机票而未按时登机的情况发生时，飞机则会因为不满员而利润降低。若不限制订票数额，那么当前来登机的乘客超过飞机容量时，必然会引起部分乘客的抱怨，导致公司的声誉及经济造成损失。因此需要在二者辨证关系中，找到一个最佳订票数额点。公司的经济利益可以用机票收入扣除飞行费用和赔偿金后的利润来衡量，声誉可以用按时前来登记但被挤下飞机的乘客限制在一定数量为标准]1[。由于我们假定预订票的乘客是否前来登机是随机的，因此我们要讨论利润和声誉的平均期望值。该问题可以看做是一个最优化问题。三.模型假设1111．．．．在问题一中，本文假设不会出现突发事件导致机票价格或订票乘客数量有突然的改变。并且，在宏观、微观的政治经济环境上，将来一年不会发生巨大的变化。2222．．．．在旺季时，合理预定机票数量的限额都能达到，即所有预订票都能售出。3333．假设每位预订票的乘客是否前来登机是互相独立的，并且是随机的。4．不优先考虑头等舱乘客的利益，即如果头等舱已经满员，多出的持头等舱票的乘客不能进入经济舱，只能等待下一班飞机并获得赔偿。四、符号的约定4.14.14.14.1针对问题一：t：时间变量，单位：月；tT：长期趋势因素；tS：季节变动因素；tC：周期变动因素；tI：不规则变动因素；tY：原始时间序列，即机票价格序列；tY⌢：趋势值；e：残差；a：趋势方程的截距项。b：趋势方程的斜率ity−∆：时间序列的i阶差分，),2,1,0(mi⋯=d：非季节差分的阶数3D：季节差分的阶数s：季节周期p：非季节自相关的最大滞后阶数q：非季节偏自相关的最大滞后阶数P：季节自相关的最大滞后阶数Q：季节偏自相关的最大滞后阶数4.24.24.24.2针对问题二：N：飞机的容量g：机票的价格f：飞行费用m：预订票数量的限额p：每位乘客不按时前来登机的概率b：被挤掉后需付的赔偿金S：每次航班的利润()jpm：被挤掉的乘客人数超过j人的概率()Jm：单位费用获得的平均利润S：平均利润五、模型的建立与求解5.15.15.15.1．问题一模型的建立、求解与检验5.1.15.1.15.1.15.1.1模型一：基于趋势比率法的季节预测模型由古典时间序列分解模型我们知道，时间序列可以分解成长期趋势tT、季节变动tS、周期变动tC和不规则变动tI四个因素。我们认为，时间序列Y是这四个因素的函数，即：),,,(tttttICSTfY=这个函数通常有两种形式：1）加法模型：tttttICSTY+++=2）乘法模型：tttttICSTY***=而选择加法模型的条件必须满足：四个因素彼此独立。否则会产生重复计算问题。4而乘法模型不需要该条件。因此针对本题，我们选择乘法模型计算。1111．建立趋势方程，求各期趋势值。令直线趋势方程为：btaYt+=⌢。根据标准最小二乘法原理：∑∑===−−=−=ntnttttbtaYYYbae1122)()(),(最小值⌢根据微分原理：⎪⎩⎪⎨⎧=∂∂=∂∂00beae⇒⎩⎨⎧+=+=∑∑∑∑∑2tbtatYtbnaYtt（1）将数据代入试（1）得到：⎩⎨⎧==0882.79252.636ba故，直线趋势方程为：tYt0882.79252.636+=⌢（2）其中，t的起始值为1，该时间点位于2005年10月。由于一般认为，趋势因素和循环因素不分开，而不规则变动因素是不可预测的，因此分离出循环因素和不规则变动因素对于时间序列的预测是没有多少价值的。故接下来我们直接分离季节因素。2222．分离季节因素，求季节比率。根据方程（2），即趋势方程，令54,2,1⋯=t，分别求出各年的趋势值。由季节比率的公式：季节比率=各期实际值/同期趋势值。求得各期的季节比率。见表1：5表1机票价格直线趋势最小平方法计算表：63333．通过季节变动规律，计算季节指数表2季节指数计算表我们取各年同月季节比率的平均得到同月平均季节比率，取最近一年内各月的季节比率作为最近季节比率，趋势分析比率=同月平均值+最近季节比率—最远季节比率。同时由公式：12季节比率合计季节指数季节比率=7且这12个月份季节指数之和为12。以此得到季节指数。4444．选取季节指数从季节指数计算表（表2）我们看到，各年同月季节指数从2005年到2007年呈增加趋势，而2007年到2010年呈减少趋势。因此要预测下一年的值，我们最好选取由趋势分析比率得到的季节指数，该指数适合季节变动大但趋势稳定的情况。5555．根据乘法模型预测。1111）首先我们算出下一年的趋势值：令56,56,55⋯=t。代入趋势方程（方程2）中，得到：7785.102655=Y,8667.103356=Y,9550.104057=Y,0432.104858=Y,1314.105559=Y,2197.106260=Y,3079.106961=Y,3962.107662=Y,4844.108363=Y,5727.109064=Y,6609.109765=Y,7491.110466=Y。2222）计算各月趋势值与各月季节指数的乘积，如表3333：该乘积即为下一年机票价格预测值。表3下一年机票价格预测值5.1.25.1.25.1.25.1.2模型二：基于SARIMASARIMASARIMASARIMA模型的时间序列预测1111．数据的平稳性检验及平稳化人们对时间序列分析是通过建立以因果关系为基础的结构模型进行的。这种分析背后有一个隐含的假设，即原始数据是平稳的。否则，通常的统计检验结果不可靠，甚至出现“虚假回归”问题，即两个毫无关系的非平稳时间序列很可能会得到一个“显著”的线性回归模型。因此，建立时间序列模型时首先需要检验时间序列数据的平稳性。]1[81111）平稳性的图示检验由图1（第3页），机票价格没有围绕一个平均值上下波动，而是有一个向上的趋势，平且有明显的季节性，周期为一年。因此本题数据为包含趋势项的非平稳时间序列。2222）ADFADFADFADF检验ADF检验从以下三个模型中选择一个模型进行检验：模型1：∑=−−+∆+=∆mititittyyy11εβδ模型2：∑=−−+∆++=∆miiitittyyy11εβδα模型3：∑=−−+∆+++=∆miiitittyyty11εβδβα其中模型3中其中t是时间变量，反映了时间序列的趋势变化；模型2包含了截距项，而模型1不包含截距项和趋势项。实际检验时原假设均为0:0=δH,即存在单位根。用EVIEWS对原始数据进行ADF检验，从模型3开始，若平稳（拒绝原假设）则停止，若不平稳则按模型2、模型1继续检验，直到平稳为止。平稳的标志是ADF检验值小于软件输出的临界值。过程如下：1）用原序列选择含截距项和趋势项的模型检验。输出结果如下：结果显示，ADF检验值为-2.5106