概率论与数理统计习题答案详解版(廖茂新复旦版)

第1页共41页概率论与数理统计习题答案详解版(廖茂新复旦版)习题一1.设A，B，C为三个事件，用A，B，C的运算式表示下列事件：（1）A发生而B与C都不发生；（2）A，B，C至少有一个事件发生；（3）A，B，C至少有两个事件发生；（4）A，B，C恰好有两个事件发生；（5）A，B至少有一个发生而C不发生；（6）A，B，C都不发生.解：（1）ACB或ABC或A（B∪C）.（2）A∪B∪C.（3）（AB）∪（AC）∪（BC）.（4）（ABC）∪（ACB）∪（BCA）.（5）（A∪B）C.（6）CBA或CBA.2.对于任意事件A，B，C，证明下列关系式：（1）(A+B)(A+B)(A+B)(A+B)=；（2）AB+AB+AB+ABAB=AB；（3）A-(B+C)=(A-B)-C.证明：略.第2页共41页3.设A，B为两事件，P（A）=0.5,P(B)=0.3,P(AB)=0.1，求：（1）A发生但B不发生的概率；（2）A，B都不发生的概率；（3）至少有一个事件不发生的概率.解（1）P（AB）=P（A-B）=P（A-AB）=P（A）-P（AB）=0.4；(2)P(BA)=P(BA)=1-P(A∪B)=1-0.7=0.3；(3)P(A∪B）=P(AB）=1-P(AB)=1-0.1=0.9.4.调查某单位得知。购买空调的占15％，购买电脑占12％，购买DVD的占20%；其中购买空调与电脑占6%，购买空调与DVD占10%，购买电脑和DVD占5％，三种电器都购买占2％。求下列事件的概率。（1）至少购买一种电器的；（2）至多购买一种电器的；（3）三种电器都没购买的.解：（1）0.28,（2）0.83,（3）0.725.10把钥匙中有3把能打开门，今任意取两把，求能打开门的概率。解：8/156.任意将10本书放在书架上。其中有两套书，一套3本，另一套4本。求下列事件的概率。（1）3本一套放在一起；（2）两套各自放在一起；（3）两套中至少有一套放在一起.解：（1）1/15，（2）1/210，（3）2/21第3页共41页7.12名新生中有3名优秀生，将他们随机地平均分配到三个班中去，试求：（1）每班各分配到一名优秀生的概率；（2）3名优秀生分配到同一个班的概率.解12名新生平均分配到三个班的可能分法总数为34448412)!4(!12CCC（1）设A表示“每班各分配到一名优秀生”3名优秀生每一个班分配一名共有3！种分法，而其他9名学生平均分配到3个班共有3)!3(!9种分法，由乘法原理，A包含基本事件数为3！·3)!3(!9=2)!3(!9故有P（A）=2)!3(!9/3)!4(!12=16/55（2）设B表示“3名优秀生分到同一班”，故3名优秀生分到同一班共有3种分法，其他9名学生分法总数为!4!4!1!9CCC444819，故由乘法原理，B包含样本总数为3·!4!4!1!9.故有P（B）=2！4!9·3/3！4!12=3/558.箱中装有a只白球，b只黑球，现作不放回抽取，每次一只.（1）任取m+n只，恰有m只白球，n只黑球的概率（m≤a,n≤第4页共41页b）;(2)第k次才取到白球的概率（k≤b+1）;（3）第k次恰取到白球的概率.解（1）可看作一次取出m+n只球，与次序无关，是组合问题.从a+b只球中任取m+n只，所有可能的取法共有nmbaC种，每一种取法为一基本事件且由于对称性知每个基本事件发生的可能性相同.从a只白球中取m只，共有maC种不同的取法，从b只黑球中取n只，共有nbC种不同的取法.由乘法原理知，取到m只白球，n只黑球的取法共有maCnbC种，于是所求概率为p1=nmbanbmaCCC.(2)抽取与次序有关.每次取一只，取后不放回，一共取k次，每种取法即是从a+b个不同元素中任取k个不同元素的一个排列，每种取法是一个基本事件，共有kbaP个基本事件，且由于对称性知每个基本事件发生的可能性相同.前k-1次都取到黑球，从b只黑球中任取k-1只的排法种数，有1Pkb种，第k次抽取的白球可为a只白球中任一只，有1Pa种不同的取法.由乘法原理，前k-1次都取到黑球，第k次取到白球的取法共有11PPakb种，于是所求概率为p2=kbaakbPPP11.(3)基本事件总数仍为kbaP.第k次必取到白球，可为a只白球中任一只，有1Pa种不同的取法，其余被取的k-1只球可以是其余a+b-1只球中的任意k-1只，共有11Pkba种不同的取法，由乘法原理，第k次第5页共41页恰取到白球的取法有111kaabPPp3=111kaabkabPPaPab.9.在区间（0，1）内任取两个数，求这两个数的乘积小于1/4的概率.解设在（0，1）内任取两个数为x,y，则0＜x＜1,0＜y＜1图1-7即样本空间是由点（x，y）构成的边长为1的正方形Ω，其面积为1.令A表示“两个数乘积小于1/4”，则A={（x,y）｜0＜xy＜1/4,0＜x＜1,0＜y＜1}事件A所围成的区域见图1-7，则所求概率第6页共41页P(A)=2ln2141d414311d)411(11dd114/114/111/411/4xxxxyxx.10.两人相约在某天下午5∶00~6∶00在预定地方见面，先到者要等候20分钟，过时则离去.如果每人在这指定的一小时内任一时刻到达是等可能的，求约会的两人能会到面的概率.解设x,y为两人到达预定地点的时刻，那么，两人到达时间的一切可能结果落在边长为60的正方形内，这个正方形就是样本空间Ω,而两人能会面的充要条件是｜x-y｜≤20，即x-y≤20且y-x≤20.令事件A表示“两人能会到面”，这区域如图1-8中的A.则P(A)=.95604060)()(222mAm11.一盒中装有5只产品，其中有3只正品，2只次品，从中取产品两次，每次取一只，作不放回抽样，求在第一次取到正品条件下，第二次取到的也是正品的概率.解设A表示“第一次取到正品”的事件，B表示“第二次取到正品”的事件由条件得P（A）=(3×4)/(5×4)=3/5，P(AB)=(3×2)/(5×4)=3/10，第7页共41页故有P（B｜A）=P（AB）/P（A）=(3/10)/(3/5)=1/2.此题也可按产品编号来做，设1，2，3号为正品，4，5号为次品，则样本空间为Ω={1，2，3，4，5}，若A已发生，即在1，2，3中抽走一个，于是第二次抽取所有可能结果的集合中共有4只产品，其中有2只正品，故得P（B｜A）=2/4=1/2.12.设P（A）=0.3,P(B)=0.4,P(AB)=0.5，求P（B｜A∪B).解()()()()()()()()PABPAPABPBABPABPAPBPAB0.70.510.70.60.5413.设盒中有m只红球，n只白球，每次从盒中任取一只球，看后放回，再放入k只与所取颜色相同的球.若在盒中连取四次，试求第一次，第二次取到红球，第三次，第四次取到白球的概率.解设Ri(i=1,2,3,4)表示第i次取到红球的事件，iR(i=1,2,3,4)表示第i次取到白球的事件.则有.32)()()()()(32142131214321knmknknmnknmkmnmmRRRRPRRRPRRPRPRRRRP14.仓库中有十箱同样规格的产品，已知其中有五箱、三箱、二箱依次为甲、乙、丙厂生产的，且甲厂，乙厂、丙厂生产的这种产品的次品率依次为1/10,1/15,1/20.从这十箱产品中任取一件产品，求取得第8页共41页正品的概率。解：0.9215.有两箱同类零件，第一箱有50个，其中10个一等品，第二箱有30个，其中18个一等品。现任取一箱，从中任取零件两次，每次取一个，取后不放回。求：（1）第二次取到的零件是一等品的概率；（2）在第一次取到一等品的条件下，第二次取到一等品的条件概率；（3）两次取到的都不是一等品的概率。解：设表示取到第一箱零件，：表示第ｉ次取到一等品，由全概率公式知：4856.0)6.02.0(5.0)(5.0)()()()()()()()()()()(23021825021011212112112CCCCAPABPAPABPAPABBPAPABBPBPBBPBBP16.设有甲乙两袋，甲袋中有n只白球、m只红球；乙袋中有N只白球、M只红球.今从甲袋中任取一球放入乙袋中，再从乙袋中任取一球.A)2,1(iBi4.0)(5.0)()()()()()()()()(230112118230218250140110250210122112212ACCCCACCCCABBPAPABBPAPABBPAPABBPAPBP3942.0)(5.0)()()()()(230212250240212121CCCCABBPAPABBPAPBBP第9页共41页问从乙袋中取到白球的概率是多少？解：记1A：甲袋中取得白球；2A：甲袋中取得红球；B：从乙袋中取得白球；由全概率公式12121122()[()]()(|)()(|)()111PBPAABPABABPBAPAPBAPANnNmMNmnMNmn17.一箱产品，A，B两厂生产分别个占60％，40％，其次品率分别为1％，2％。现在从中任取一件为次品，问此时该产品是哪个厂生产的可能性最大？解：取出产品是B厂生产的可能性大。18.由以往的临床记录，某种诊断癌症的试验具有如下效果：被诊断者有癌症，试验反应为阳性的概率为0.95；被诊断者没有癌症，试验反应为阴性的概率为0.95群中患有癌症的概率为0.005，求：已知试验反应为阳性，该被诊断者确有癌症的概率.解设A表示“患有癌症”，A表示“没有癌症”，B表示“试验反应为阳性”，则由条件得P（A）=0.005,P(A)=0.995，P(B｜A)=0.95,P(B｜A）=0.95由此P（B｜A）=1-0.95=0.05第10页共41页由贝叶斯公式得P（A｜B）=)()()()()()(ABPAPABPAPABPAP=0.087.19.设每次射击的命中率为0.2，问至少必须进行多少次独立射击才能使至少击中一次的概率不小于0.9?解设必须进行n次独立射击.1(0.8)0.9n即为(0.8)0.1n故n≥11至少必须进行11次独立射击.20.三人独立地破译一个密码，他们能破译的概率分别为1/5，1/3，1/4，求将此密码破译出的概率.解设Ai={第i人能破译}（i=1,2,3），则31231231()1()1()()()iiPAPAAAPAPAPA42310.653421.设在N件产品中有M件次品，现进行n次有放回的检查抽样，试求抽得k件次品的概率.解由条件，这是有放回抽样，可知每次试验是在相同条件下重复进行，故本题符合n重贝努里试验的条件，令A表示“抽到一件次品”第11页共41页的事件.则P（A）=p=M/N,以Pn(k)表示n次有放回抽样中，有k次出现次品的概率，由贝努里概型计算公式，可知Pn(k)=knknNMNM)1()(Ck,k=0,1,2,…，n.22.将一枚均匀硬币掷2n次，求出现正面次数多于反面次数的概率.解掷2n次硬币，可能出现：A={正面次数多于反面次数}，B={正面次数少于反面次数}，C={正面次数等于反面次数}，A，B，C两两互斥.可用对称性来解决.由于硬币是均匀的，故P（A）=P（B）.所以1()()2PCPA由2n重贝努里试验中正面出现n次的概率为211()()()22nnnnPCC故2211()[1C]22nnnPA习题二1.从一批有10个合格品与3个次品的产品中一件一件地抽取产品，各种产品被抽到的可能性相同，求在二种情况下，直到取出合格第12页共41页品为止，所求抽取次数的分布律：（1）放回；（2）不放回.解（1）1{}(3/13)(10/13)kPXK（2）2.设随机变量X的分布律为P{X=k}=!