21.6-重积分的应用-数学分析课件(华师大-四版)-高教社ppt-华东师大教材配套课件

一、曲面的面积二、重心三、转动惯量应用重积分可求立体的体积及空间物体的质量,还可求曲面的面积、立体的重心、转动惯量和物体之间的引力等.§6重积分的应用数学分析第二十一章重积分*点击以上标题可直接前往对应内容四．引力数学分析第二十一章重积分高等教育出版社设D为可求面积的平面有界区域,(,)fxy在D上具有连续的一阶偏导数，(,),(,)zfxyxyD所表示的曲面S的面积.(1)对区域D作分割T，把D分成n个小区域i(1,2,,).in这个分割相应地将曲面S也分成n个小曲面片(1,2,,).iSiniS,iM(2)在每个上任取一点作曲面在这一点的切§6重积分的应用曲面的面积重心引力转动惯量曲面的面积现讨论由方程平面i,并在i,iA上取出一小块iAiS使得与在数学分析第二十一章重积分高等教育出版社近用切平面iA代替小曲面片,iS从而当T充分小时,11,nniiiiSSA,,iiSSA这里分别2138图xyz:(,)SzfxyDOiAiiMiSi平面上的投影都是xy(见图21-38).iM在点附§6重积分的应用曲面的面积重心引力转动惯量的面积.,,iiSSA表示1niiA0T(3)当时,定义和式的极限(若存在)作为的面积.S有数学分析第二十一章重积分高等教育出版社现在按照上述曲面面积的概念,来建立曲面面积的计算公式.iA为此首先计算的面积.是曲面S在点(,,)iiiiM处的法向量n,轴的夹角为,i则§6重积分的应用曲面的面积重心引力转动惯量|cos(,)||cos|inz,iiAxy因为在平面上的投影为所以221(,)(,).cosiixiiyiiiiAff注意到和数iπ的法向量就由于切平面记它与z221.1(,)(,)xiiyiiff数学分析第二十一章重积分高等教育出版社22111(,)(,)nnixiiyiiiiiAff是连续函数221(,)(,)xyfxyfxy在有界闭域D§6重积分的应用曲面的面积重心引力转动惯量上的积分和,而右边趋于221(,)(,)dd.xyDfxyfxyxy这就得到曲面S的面积计算公式:221(,)(,)dd,(1)xyDSfxyfxyxy1dd.(2)|cos(,)|DSxynz或另一形式:0T;S时,上式左边趋于于是当数学分析第二十一章重积分高等教育出版社解据曲面面积公式,221dd,xyDSzzxy其中D是222211,,24xyxxy即曲面方程22zxy22xyx例1求圆锥在圆柱体内那一部分的面积.2222,,xyxyzzxyxy故22.zxy是§6重积分的应用曲面的面积重心引力转动惯量2ddDSxy2212,xyzz22π.4D数学分析第二十一章重积分高等教育出版社(,),(,),(,),(,)(3)xxuvyyuvzzuvuvD表示，一阶偏导数,若空间曲面S由参数方程参数曲面的面积公式222(,)(,)(,)0,(,)(,)(,)yzzxxyuvuvuv§6重积分的应用曲面的面积重心引力转动惯量(,),(,),(,)xuvyuvzuv在D上具有连续的其中且则曲面S在点(,,)xyz的法线方向为(,)(,)(,),,.(,)(,)(,)yzzxxynuvuvuv记数学分析第二十一章重积分高等教育出版社222(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)xyzxyzWuvuvuvuv2222222()()(),uuuvvvuvuvuvxyzxyzxxyyzz与z轴夹角的余弦为n§6重积分的应用曲面的面积重心引力转动惯量其中1(,)cos(,)(,)(,)xynzWuvuv2(,)1,(4)(,)xyuvEGF222,uuuExyz,uvuvuvFxxyyzz222.vvvGxyz数学分析第二十一章重积分高等教育出版社则有1dd|cos(,)|DSxynz1(,)dd.|cos(,)|(,)Dxyuvnzxy由(4),便得参数曲面(3)的面积公式：(,),(,),xxuvyyuv2dd.(5)DSEGFuv§6重积分的应用曲面的面积重心引力转动惯量(,)0(,)xyuv当时,对公式(2)作变换:数学分析第二十一章重积分高等教育出版社§6重积分的应用曲面的面积重心引力转动惯量例2求球面上两条纬线和两条经线之间曲面的面积（图21-39中阴影部分).解设球面的参数方程为coscos,cossin,sin,xRyRzR其中R是球面半径.1212,这里是求当时球面上的面积.2139图xyzO21由于数学分析第二十一章重积分高等教育出版社2222,ExyzR所以由公式(5)即得所求曲面的面积:22cos.EGFR22112dcosdSR§6重积分的应用曲面的面积重心引力转动惯量22121()(sinsin).R0,F22cos,GR数学分析第二十一章重积分高等教育出版社§6重积分的应用曲面的面积重心引力转动惯量求证此曲线绕x轴旋转一周得到的旋转面的面积为22()1()d.baSfxfxx证由于上半旋转面的方程为22(),zfxy22()(),()xfxfxzfxy2222222()()()1.()xyfxfxfxzzfxy(),[,](()0).yfxxabfx*例3设平面光滑曲线的方程为因此222,()yyzfxy数学分析第二十一章重积分高等教育出版社222()22()()()()2dd()bfxafxfxfxfxSxyfxy2()2021()4d()d()1()bfxafxyxfxyfxfx122014()1()dd1bafxfxxtt22()1()d.bafxfxx不妨设()0,[,],fxxab则§6重积分的应用曲面的面积重心引力转动惯量数学分析第二十一章重积分高等教育出版社(,,)xyz设密度函数为的空间物体V，(,,)xyz在V上连续.iV(,,)iiiiV于是小块的质量可用近似代替,把每一块看作质量集中在(,,)iii的质点时,物体就可用这n个质点的质点系来近似代替.由于质点系的重心坐标公式为iV(,,),iii在属于T的每一小块上任取一点§6重积分的应用曲面的面积重心引力转动惯量重心为求得V的重心坐标,先对V作分割T,若整个数学分析第二十一章重积分高等教育出版社11(,,),(,,)niiiiiinniiiiiVxV11(,,),(,,)niiiiiinniiiiiVyV11(,,),(,,)niiiiiinniiiiiVzV§6重积分的应用曲面的面积重心引力转动惯量数学分析第二十一章重积分高等教育出版社的重心坐标:(,,)d,(,,)dVVxxyzVxxyzV(,,)d,(,,)dVVyxyzVyxyzV(,,)d.(,,)dVVzxyzVzxyzV当物体V的密度均匀分布时,即为常数时，0T时，当自然地可把它们的极限定义作为V§6重积分的应用曲面的面积重心引力转动惯量则有数学分析第二十一章重积分高等教育出版社111d,d,d.VVVxxVyyVzzVVVV同样可以得到,密度函数为(,)xy的平面薄板D的重心坐标:(,)d,(,)dDDxxyxxy当为常数时，则有§6重积分的应用曲面的面积重心引力转动惯量1d,DxxD1d.DyyD(,)d.(,)dDDyxyyxy数学分析第二十一章重积分高等教育出版社§6重积分的应用曲面的面积重心引力转动惯量例4求密度均匀的上半椭球体的重心.解设椭球体由2222221,0xyzzabc表示.又由为常数,所以0,0.xy称性知道ddVVzVzV由§5例5已知2ddd,4Vzxyzabcddd.2π3Vzxyzabc借助对即求得上半椭球体的重心坐标为3(0,0,).8c数学分析第二十一章重积分高等教育出版社A的质量,r是A与l的距离.现在讨论空间物体V的转动惯量问题,我们仍然采用前面的办法,然后用取极限的方法求得V的转动惯量.设(,,)xyz为V的密度函数,它在V上连续.对V作分割T,在属于T的每一小块iV上任取一点质点A对于轴l的转动惯量为2,Jmr§6重积分的应用曲面的面积重心引力转动惯量转动惯量其中m是把V看作由n个质点组成的质点系，照例(,,),iiiiV(,,)iiiiV以近似替代的质量.当以质点系(,,),1,2,,iiiin近似替代V时,数学分析第二十一章重积分高等教育出版社§6重积分的应用曲面的面积重心引力转动惯量质点系对于x轴的转动惯量是22,1()(,,).nxniiiiiiiJV令0,T上述和式的极限就是V对于x轴的转22()(,,)d.xVJyzxyzV动惯量:类似可得V对于y轴与z轴的转动惯量分别为22()(,,)d,yVJzxxyzV22()(,,)d.zVJxyxyzV数学分析第二十一章重积分高等教育出版社§6重积分的应用曲面的面积重心引力转动惯量同理,物体V对于坐标平面的转动惯量分别为2(,,)d,xyVJzxyzV2(,,)d,yzVJxxyzV同样地,平面薄板D对于坐标轴的转动惯量为22(,)d,(,)d;xyDDJyxyJxxy2(,)(,)d,lDJrxyxy(,)rxy(,)xy其中为D中点到l的距离.2(,,)d.zxVJyxyzV平面薄板D对于轴l的转动惯量为数学分析第二十一章重积分高等教育出版社例5求密度均匀的圆环D对于垂直于圆环面中心轴的转动惯量(图21-40).解设圆环D为222212,RxyR密度为,则D中任一点(,)xy与z轴的距离平方22()dDJxy2140图xyzO于是转动惯量为22.xy为§6重积分的应用曲面的面积重心引力转动惯量4421()2RR其中为圆环的质量.2221(ππ)mRR212π30ddRRrr2221(),2mRR数学分析第二十一章重积分高等教育出版社§6重积分的应用曲面的面积重心引力转动惯量例6求均匀圆盘D对其直径的转动惯量(图21-41).解设圆盘D为222,xyR密度为,求对于y轴的转动惯量.(,)xy,x与y轴的距离为故xy2141图RDO2dDJx2π2300cosdddRrrrr其中m为圆盘的质量.由于D内任一点2π200d(cos)dRrrr42π1,44RmR数学分析第二十一章重积分高等教育出版社§6重积分的应用曲面的面积重心引力转动惯量例7设某球体的密度与各点到球心的距离成正比，试求它对于切平面的转动惯量.解设球体由不等式2222xyzR表示;为222,kxyzk为比例常数;.xR则球体对于此平面的转动惯量为2222()dddVJkxyzRxxyz2ππ23000dd(sincos)sindRkRrrr密度函数取切平面方程为数学分析第二十一章重