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等腰三角形有关角度问题等腰三角形是一种特殊而又十分重要的三角形，就是因为这种特殊性，在具体处理问题时往往又会出现错误，因此，同学们在求解有关等腰三角形的问题时一定要注意分类讨论。例1.已知等腰三角形的一个内角为75°则其顶角为（）A.30°B.75°C.105°D.30°或75°简析：75°角可能是顶角，也可能是底角。当75°是底角时，则顶角的度数为180°－75°×2=30°；当75°角是顶角时，则顶角的度数就等于75°。所以这个等腰三角形的顶角为30°或75°。故应选D。说明：对于一个等腰三角形，若条件中并没有确定顶角或底角时，应注意分情况讨论，先确定这个已知角是顶角还是底角，再运用三角形内角和定理求解。变式1:已知等腰三角形的一个外角为100°，则其顶角为______。简析：（1）若外角与顶角相邻，则其顶角为80°；（2）若外角与底角相邻，则其顶角为20°。变式2:如果等腰三角形中一个角是另一个角的两倍，那么它的底角是__________度简析：（1）若底角是顶角的2倍，则其底角为72°；（2）若顶角是底角的2倍，则其底角为45°。例2．等腰三角形一腰上的高与另一腰所成的夹角为45°，求这个等腰三角形的顶角的度数。简析：依题意可画出图1和图2两种情形。图1中顶角为45°，图2中顶角为135°。等腰三角形有关边的计算问题例题：已知等腰三角形的一边等于5，另一边等于6，则它的周长等于_________。简析：已知条件中并没有指明5和6谁是腰长谁是底边的长，因此应由三角形的三边关系进行分类讨论。当5是等腰三角形的腰长时，这个等腰三角形的底边长就是6，则此时等腰三角形的周长等于16；当6是腰长时，这个三角形的底边长就是5，则此时周长等于17。故这个等腰三角形的周长等于16或17。说明：对于底和腰不等的等腰三角形，若条件中没有明确哪条是底哪条是腰时，应在符合三角形三边关系的前提下分类讨论。变式1：等腰三角形的一边长为6，周长为14，那么它的腰长为______。简析：当底边为6时，则腰长为4；当腰长为6时，则底边为2；变式2：等腰三角形的一边长为2，周长为8，那么它的腰长为______。简析：当底边为2时，则腰长为3；当腰长为2时，则底边为4，但此时不能构成三角形，所以腰长只为3.说明：求出来的解应满足三角形三边关系例2.若等腰三角形一腰上的中线分周长为9cm和12cm两部分，求这个等腰三角形的底和腰的长。简析：已知条件并没有指明哪一部分是9cm，哪一部分是12cm，因此，应有两种情形。若设这个等腰三角形的腰长是cm，底边长为cm，可得或解得或即当腰长是6cm时，底边长是9cm；当腰长是8cm时，底边长是5cm。说明：这里求出来的解应满足三角形三边关系定理。平面直角坐标系中的等腰三角形问题例1.在平面直角坐标系中，已知A（2，-2），在y轴上确定点P，使△AOP为等腰三角形，求点P的坐标.【解析】由于题目中没有明确等腰三角形的顶角顶点，所以需要对此进行分类讨论(如图)。点A、O、P均有可能为等腰三角形顶角的顶点。若点A为顶点，则点P坐标为（0，-4）；若点O为顶点，则点P坐标为（0，22），或（0，22）；若点P为顶点，此时，OA为底边，点P在线段OA的中垂线上，则点P坐标为（0，-2）.所以，点P的坐标为（0，-4），（0，22），（0，22），（0，-2）。例2.如图，在平面直角坐标系中，OABC是矩形，点A、C坐标分别为A（10,0），C（0,4），D是OA的中点，P在BC边上运动，当△ODP是腰长为5的等腰三角形时，点P的坐标为多少？【解析】由于题目只是给出△ODP是腰长为5的等腰三角形，所以需要对等腰三角形的腰进行分类讨论。由题意，OD=5,当OD为腰时，点O和点D均有可能为等腰三角形顶角的顶点，所以若点O为顶点时，则OP=5，故点P坐标为（3,4），若点D为顶点时，则DP=5，故点P坐标为（2,4）或（8,4）；当OD为底边时，点P就在OD的中垂线上，则此时点P坐标为（4），显然此时两腰长不为5，不合题意。【答案】点P坐标为（2,4）或（8,4）或（3,4）拓展提升在平面直角坐标系中，已知点P(-2,1),关于y轴的对称点为Q，点B（x,0)是横轴上的一个动点，当三角形QBO是等腰三角形时，求x的值。因为P与Q关于y轴对称,P（-2,1）所以Q（2,1）,OP`=根号5当△P`TO是等腰三角形时,分以下几种情况进行讨论：1.当点T在x轴的正半轴时：（1）若TP`=OP`,因为OP`=根号5,TP`²=OP`²,所以（t-2）²+1²=5.t(t-4)=0.因为P`TO要构成三角形,所以T点不可能与O点重合所以t=4（2）若OT=TP`,则（t-0）²+（0-0）²=（t-2）²+（1-0）²所以t=5/4（3）若OP`=OT,则有OP`²=OT²,即（2-0）²+（1-0）²=（t-0）²+（0-0）²所以t²=5,因为T点在x轴的正半轴,所以t=根号5.2.当点T在x轴的负半轴时,角TOP`一定是一个钝角三角形,所以当且仅当OT`与OP`作三角形的腰时,才可构成等腰三角形.所以OT²=OP`²,则t²=5,因为T点在x轴的负半轴,所以t=-根号5在平面直角坐标系xOy中,已知点P（2,2）,点Q在y轴上,△PQO是等腰三角形,则满足条件的点Q共有具体点的坐标在平面直角坐标系xOy中,已知点P（2,2）,点Q在y轴上,△PQO是等腰三角形,则满足条件的点Q共有————具体点的坐标(0,2倍根号2)(0,负2倍根号2)(0,4)(0,2)例5.为美化环境，计划在某小区内用的草皮铺设一块一边长为10的等腰三角形绿地，请你求出这个等腰三角形绿地的另两边长。简析：在等腰ΔABC中，设AB=10，作CD⊥AB于D，由，可得CD=6。如下图，当AB为底边时，AD=DB=5，所以。如下图，当AB为腰且ΔABC为锐角三角形时，，所以，。如下图，当AB为腰且ΔABC为钝角三角形时，，，所以。说明：三角形的高是由三角形的形状决定的，对于等腰三角形，当顶角是锐角时，腰上的高在三角形内；当顶角是钝角时，腰上的高在三角形外。五.遇中垂线需讨论例6.在ΔABC中，AB=AC，AB的中垂线与AC所在直线相交所得的锐角为50°，则底角∠B=____________。简析：按照题意可画出如图1和如图2两种情况的示意图。如图1，当交点在腰AC上时，ΔABC是锐角三角形，此时可求得∠A=40°，所以∠B=∠C=（180°－40°）=70°。如图2，当交点在腰CA的延长线上时，ΔABC为钝角三有形，此时可求得∠BAC=140°，所以∠B=∠C=（180°－140°）=20°故这个等腰三角形的底角为70°或20°。说明：这里的图2最容易漏掉，求解时一定要认真分析题意，画出所有可能的图形，这样才能正确解题。六.和方程问题的综合讨论例7.已知ΔABC的两边AB，AC的长是关于的一元二次方程的两个实数根，第三边BC长为5。（1）为何值时，ΔABC是以BC为斜边的直角三角形？（2）为何值时，ΔABC是等腰三角形，并求ΔABC的周长。简析：（1）略。（2）若ΔABC是等腰三角形，则有AB=AC，AB=BC，AC=BC这三种情形。方程可化为，即，，显然，即。当AB=BC或AC=BC时，5是方程的根。当时，代入原方程可得，解得，。当时，原方程的解为，等腰ΔABC的三边长分别为5，5，4，周长为14。当时，原方程的解为，等腰ΔABC的三边长分别为5，5，6，周长为16。所以当或时，ΔABC是等腰三角形，周长分别为14或16。分类讨论思想1、等腰三角形的底边长为3，腰长为5，那么它的周长是______。2、等腰三角形的一边长为3，一边长为5，那么它的周长是______。3、等腰三角形的一边长为2，周长为8，那么它的腰长为______。分类讨论题：一个等腰三角形的一个外角等于110°,则这个三角形的三个内角应该为----------------------如上,一定要分类讨论噢分类讨论题：一个等腰三角形的一个外角等于110°,则这个三角形的三个内角应该为----------------------如上,一定要分类讨论噢1）若顶角为180°-110°=70°,由于两底角相等,三角形内角和为180°,则三个内角为70,55,552)若底角为70,同理可得,三个内角为70,70,401、如图，在△ABC中，AB=AC，ABCD100°外角∠ACD=100°，则∠B=______80°（2）等腰三角形的一个底角是70°，则其顶角是__________40°（3）如果等腰三角形的一个内角等于70°那么它的底角度数____________.70°或55º（4）如果等腰三角形中一个角是另一个角的两倍，那么它的底角是__________度72或45°小结：当等腰三角形中遇“角”的计算问题时，需对各种可能的情况分类讨论当顶角或底角不能确定时,必须进行分类讨论分类讨论思想是中学数学解题中常用的一种思想方法，它就是将要研究的数学对象按照一定的标准进行分类，划分为若干种不同的情形，然后再逐类进行研究，最后综合各类结果，并得到整个问题的解答和求解的一种数学解题策略。解题时，要注意在分类时，必须按同一标准分类，做到“不重不漏”，并保证解答的完整准确。在解决与等腰三角形有关的题目时，分类讨论思想无事不在。本文就“等腰三角形”问题中分类讨论思想的应用，结合例题加以分析，供同学们参考。分类讨论思想在等腰三角形中的应用50°