高考数学中比较大小的策略

第1页共6页高考数学中比较大小的策略云南省会泽县茚旺高级中学杨顺武在每年的高考数学卷中,“比较大小”是一类热点问题.考生们经常找不到解答问题的方法，乱猜导致丢分.为帮助考生避免无谓失分，本文对这类问题的解题策略进行深入探讨，以提高考生的成绩：策略一：直接法就是从题设条件出发，通过正确的运算、推理或判断，直接得出结论。运用此种方法解题需要扎实的数学基础。例1.若22221231111,,,xSxdxSdxSedxx则123SSS的大小关系为（）A．123SSSB．213SSSC．231SSSD．321SSS解：本题考查微积分基本定理22321111733Sxdxx222111lnln21Sdxxx，2223117(1)3xxSedxeeeee。所以213SSS，选B.策略二：估算法就是把复杂问题转化为较简单的问题，求出答案的近似值，或把有关数值扩大或缩小，从而对运算结果确定出一个范围或作出一个估计，进而作出判断的方法。例2.已知lnx，5log2y，12ze，则A.xyzB.zxyC.zyxD.yzx解：1lnx，215log12log25y，eez121，1121e，所以xzy，选D.策略三数形结合法就是利用函数图像或数学结果的几何意义，将比较大小与某些图形结合起来，利用直观几何性质，再辅以简单计算，确定正确答案的方法。第2页共6页例3.已知二次函数),0(0)(2acbxaxxf满足关系)2()2(xfxf，试比较)5.0(f与)(f的大小。思路分析由已知条件)2()2(xfxf可知，在与2x左右等距离的点的函数值相等，说明该函数的图像关于直线2x对称，又由已知条件知它的开口向上，所以，可根据该函数的大致图像简捷地解出此题。解：（如图1）由)2()2(xfxf，知)(xf是以直线2x为对称轴，开口向上的抛物线它与2x距离越近的点，函数值越小。)()5.0(25.02ff思维障碍有些同学对比较)5.0(f与)(f的大小，只想到求出它们的值。而此题函数)(xf的表达式不确定无法代值，所以无法比较。出现这种情况的原因，是没有充分挖掘已知条件的含义，因而思维受到阻碍，做题时要全面看问题，对每一个已知条件都要仔细推敲，找出它的真正含义，这样才能顺利解题。提高思维的变通性。策略四单调性比较法例4.定义在R上的偶函数()fx满足：对任意的1212,[0,)()xxxx，有2121()()0fxfxxx.则A.(3)(2)(1)fffB.(1)(2)(3)fffC.(2)(1)(3)fffD.(3)(1)(2)fff解:由2121()(()())0xxfxfx等价，于2121()()0fxfxxx则()fx在1212,(,0]()xxxx上单调递增,又()fx是偶函数,故()fx在1212,(0,]()xxxx单调递减.且满足*nN时,(2)(2)ff,0321,得(3)(2)(1)fff,故选A.策略5特殊值法xyO2图1第3页共6页就是运用满足题设条件的某些特殊数值对各选择支进行检验或推理，利用问题在某一特殊情况下不真，则它在一般情况下也不真的原理，由此判明选项真伪的方法。用特例法解选择题时，特例取得愈简单、愈特殊愈好。例5.若0x1,则x、x2、x3的大小关系为（）。A、xx2x3B、xx3x2C、x2x3xD、x3x2x分析：本题若用减法或除法比较，相对而言麻烦。象这种选择题用特殊值处理最省劲。解：∵0x1∴不妨取x=0.1得x2=0.01。x3=0.001，显然x3x2x∴选D策略六最值法凡是遇到含有绝对值的比较大小，如12||fxfxe，通常采用最值法来处理。例6.已知1x是函数2xfxaxe的一个极值点．(aR)（1）求a的值；（2）任意1x，20,2x时，证明：12||fxfxe分析：利用极值点处的导数为零可求a，处理12||fxfxe可转化为求20)(，在xf上的最大值与最小值，解：（1）'()(2)exfxaxa，由已知得0)1('f，解得1a．当1a时，()(2)exfxx，在1x处取得极小值．所以1a.（2）由（1）知，()(2)exfxx，'()(1)exfxx.当1,0x时，0)1()('xexxf，)(xf在区间0,1单调递减；当1,2x时，'()(1)0xfxxe，)(xf在区间1,2单调递增.所以在区间0,2上，()fx的最小值为(1)ef.第4页共6页又(0)2f，(2)0f，所以在区间0,2上，()fx的最大值为(2)0f.对于12,0,2xx，有12maxmin()()()()fxfxfxfx．所以12()()0(e)efxfx.策略七构造法构造出函数，通过对函数性质的研究，来达到解决问题的目的．例7.已知函数yfx是定义在实数集R上的奇函数，且当0,0xfxxfx（其中fx是fx的导函数），设1122log4log4,22,afbf1lg5c115fg，则a，b，c的大小关系是A.cabB.cbaC.abcD.acb解：令函数()()Fxxfx，则函数()()Fxxfx为偶函数.当0x时，'()()'()0Fxfxxfx，此时函数递增，则122(log4)(log4)(2)(2)aFFFF,(2)bF,1(lg)(lg5)(lg5)5cFFF，因为0lg5122，所以abc，选C.[提升训练]1．（估算法）三个数51)52(,51)56(,52)56(的大小顺序是（B）。A．51)56(52)56(51)52(B。52)56(51)56(51)52(C．51)56(51)52(52)56(D。51)52(51)56(52)56(点评：幂函数、指数函数的大小比较。2.已知定义在R上的奇函数)(xf，满足(4)()fxfx,且在区间[0,2]上是增函数,().A.(25)(11)(80)fffB.(80)(11)(25)fffC.(11)(80)(25)fffD.(25)(80)(11)fff第5页共6页解:因为)(xf满足(4)()fxfx,所以(8)()fxfx,所以函数是以8为周期的周期函数,则)1()25(ff,)0()80(ff,)3()11(ff,又因为)(xf在R上是奇函数，(0)0f,得0)0()80(ff,)1()1()25(fff,而由(4)()fxfx得)1()41()3()3()11(fffff,又因为)(xf在区间[0,2]上是增函数,所以0)0()1(ff,所以0)1(f,即(25)(80)(11)fff,故选D.3.设2lg,(lg),lg,aebece则A．abcB.acbC.cabD.cba解：本题考查对数函数的增减性，由1lge0,知ab,又c=21lge,作商比较知cb,选B。4.定义在R上的偶函数()fx满足：对任意的1212,(,0]()xxxx，有2121()(()())0xxfxfx.则当*nN时,有A．()(1)(1)fnfnfnB.(1)()(1)fnfnfnC.(C)(1)()(1)fnfnfnD.(1)(1)()fnfnfn121221212121,(,0]()()(()())0()()()(,0]()()(0](1)()(1)(1)()(1)xxxxxxfxfxxxfxfxfxfxfxfnfnfnfnfnfn解析：时，在为增函数为偶函数在，为减函数而n+1nn-10,5.设232555322555abc（）,（），（），则a，b，c的大小关系是A.a＞c＞bB.a＞b＞cC.c＞a＞bD.b＞c＞a解：25yx在0x时是增函数，所以ac，2()5xy在0x时是减函数，所以cb。【方法总结】根据幂函数与指数函数的单调性直接可以判断出来.6.已知22log3log3a，22log9log3b，3log2c则a,b,c的大小关系是A.abcB.abcC.abcD.abc解：2222213log3log3log3log3log322a，2222213log9log32log3log3log322b，2322log21log2log3log3c则第6页共6页abc7.若10ba，则下列不等式成立的是（）。A.aabbbaloglog1B.ba1logablogbaC.ablogba1logbaD.baba1logablog答案：A；点评：运用对数符号确定的有关知识，先讨论两个对数值，然后用指数。8.已知()fx为R上的可导函数，且,xR均有()fxf′（x），则有（）A．20132013(2013)(0),(2013)(0)efffefB．20132013(2013)(0),(2013)(0)efffefC．20132013(2013)(0),(2013)(0)efffefD．20132013(2013)(0),(2013)(0)efffef解：构造函数()()xfxgxe，则2()()()()()()()xxxxfxeefxfxfxgxee，因为xR，均有()()fxfx，并且0xe，所以()0gx，故函数()()xfxgxe在R上单调递减，所以(2013)(0)(2013)(0)gggg，，即20132013(2013)(2013)(0)(0)ffffee，，也就是20132013(2013)(0)(2013)(0)efffef，，故选A.