1.4.2(2)正弦函数余弦函数的性质

1.4.2正弦函数、余弦函数的性质（2）复习旧知：正弦函数、余弦函数的性质2Tsin()cos()(00R)yAxyAxAAx一般地，函数及函数、、为常数，，，的周期为求下列函数的周期：1)3cos2)sin213)2sin(),26yxyxyxxR在闭区间上,是增函数；2π2π，(4)正弦函数的单调性xyo--1234-2-312π2π32π52π72π2π32π5xsinx2π2π2π3…0………-1010-1在闭区间上，是减函数.2π32π，Zkkk,π22ππ,22π观察正弦函数图象Zkkk,π223ππ,22π余弦函数的单调性y=cosx(xR)xcox22-……0……-1010-1yxo--1234-2-31223252722325增区间为其值从-1增至1[+2k,2k],kZ减区间为，其值从1减至-1[2k,2k+],kZy=sinxy=cosx图象RR[1,1][1,1])(22Zkkx时ymax=1)(22Zkkx时ymin=1)(2Zkkx时ymax=1)(2Zkkx时ymin=1)(Zkkx)(2Zkkxxyo--1234-21定义域值域最值y=0xyo--1234-21y=sinxy=cosx图象周期性奇偶性单调性22奇函数偶函数)](22,22[Zkkk)](223,22[Zkkk)](2,2[Zkkk)](22,2[Zkkk单调增区间:单调减区间:单调增区间:单调减区间:xyo--1234-21xyo--1234-21例:下列函数有最大值、最小值吗？如果有，请写出取最大值、最小值时的自变量x的集合，并说出最大值、最小值分别是什么？(1)cos1,;(2)3sin2,;yxxRyxxR（1）y=cosx+1,xR2,xxkkZy=cosx+1,xRy=cosx，xR使函数取得最大值的x集合,就是使函数取得最大值的x的集合解：使函数取得最小值的x集合,就是使函数取得最小值的x的集合y=cosx+1,xRy=cosx，xR(21),xxkkZ函数的最大值是1+1=2，最小值是-1+1=0y=cosx+1,xR(2)y=-3sin2x,xR令z=2x,使函数y=-3sinz,zR取得最大值的z的集合是2,2zzkkZ22zk由2x=4k得x使函数y=-3sinz,zR取得最大值的z的集合是x,4xkkZ同理，使函数y=-3sinz,zR取得最小值的z的集合是x,4xkkZ函数y=-3sinz,zR最大值是3，最小值是-3解：练习：求函数的最大值与最小值及取到最值时的自变量x的值.23(2)(sin)22yx(1)2cosyx解:(1)max2y当时，2,xkkZmin2y当时，2,xkkZ(2)视为23()2,sin2yuux当，即时，1u2,2xkkZmax174y当，即时，1u2,2xkkZmin74y例：利用三角函数的单调性，比较下列各组数的大小(1)sin(),sin()18102317(2)cos(),cos()54(1)sin()sin()1810与021018y=sinx-,02sin-sin-10正弦函数在区间上是增函数，所以（）18解：2317(2)cos()cos()54与23233cos()=cos()=cos()5551717cos()cos()cos()4443045y=cosxx03cos()cos()451723cos()cos()45且，，是减函数，所以即解析：练习.不通过求值，比较下列各对函数值的大小：(1)sin()和sin()；π18π10(2)sin和sin3π2．4π3解(1)因为，＜＜＜2π18π10π2π且y＝sinx在上是增函数．]2π2π[，(2)因为，＜＜＜π4π33π22π所以sin＞sin．4π33π2且y＝sinx在上是减函数，]π2π[，．＜)18πsin()10πsin(所以y=3sin-2x3求函数的单调递减区间例：∵函数y＝sinx在－π2＋2kπ，π2＋2kπ(k∈Z)上是增函数，∴－π2＋2kπ≤2x－π3≤π2＋2kπ，即－π12＋kπ≤x≤5π12＋kπ(k∈Z)．∴函数y＝3sinπ3－2x的单调递减区间为－π12＋kπ，5π12＋kπ(k∈Z).X-,2若改为求（2）的单调递增区间？练习.求下列函数的单调区间：224222kxk838kxk2324222kxk8783kxk单调增区间为]83,8[kk所以：解：单调减区间为]87,83[kky=3sin(2x-4）[例3]求下列函数的值域：(1)y＝cosx＋π6，x∈0，π2；(2)y＝cos2x－4cosx＋5.[解](1)由y＝cosx＋π6，x∈0，π2可得x＋π6∈π6，2π3，函数y＝cosx在区间π6，2π3上单调递减，1．函数y＝2－sinx的最大值及取最大值时x的值为()A．ymax＝3，x＝π2B．ymax＝1，x＝π2＋2kπ(k∈Z)C．ymax＝3，x＝－π2＋2kπ(k∈Z)D．ymax＝3，x＝π2＋2kπ(k∈Z)解析：选∵y＝2－sinx，∴当sinx＝－1时，ymax＝3，此时x＝－π2＋2kπ(k∈Z)．C课堂练习2．下列函数中，周期为π，且在π4，π2上为减函数的是()A．y＝sin2x＋π2B．y＝cos2x＋π2C．y＝sinx＋π2D．y＝cosx＋π2解析：选因为函数的周期为π，所以排除C、D.又因为y＝cos2x＋π2＝－sin2x在π4，π2上为增函数，故B不符．只有函数y＝sin2x＋π2的周期为π，且在π4，π2上为减函数．A3．sin3π5，sin4π5，sin9π10，从大到小的顺序为________．解析：∵π23π54π59π10π，又函数y＝sinx在π2，π上单调递减，∴sin3π5sin4π5sin9π10.4．若y＝asinx＋b的最大值为3，最小值为1，则ab＝________.解析：当a0时，a＋b＝3，－a＋b＝1，得a＝1，b＝2.当a0时，a＋b＝1，－a＋b＝3，得a＝－1，b＝2.答案：±25．求函数y＝13sinπ6－x，x∈[0，π]的单调递增区间．解：由y＝－13sinx－π6的单调性，得π2＋2kπ≤x－π6≤3π2＋2kπ，k∈Z，即2π3＋2kπ≤x≤5π3＋2kπ，k∈Z.又x∈[0，π]，故2π3≤x≤π.即单调递增区间为2π3，π.