1.4.3-正切函数的性质与图像

1.4.3正切函数图像与性质函数y=sinxy=cosx图形定义域值域最值单调性奇偶性周期对称性2522320xy21-122xk时，1maxy22xk时，1miny2xk时，1maxy2xk时，1miny[-2,2]22xkk增函数3[2,2]22xkk减函数[2,2]xkk增函数[2,2]xkk减函数2522320xy1-122对称轴：,2xkkZ对称中心：(,0)kkZ对称轴：,xkkZ对称中心：(,0)2kkZ奇函数偶函数RR[-1,1][-1,1]一、你能否根据研究正弦、余弦函数的图象和性质的经验以同样的方法研究正切函数的图像和性质?探究1、利用正切函数的定义，说出正切函数的定义域；ZkkxRxxfxxxf,2,,tantan∴是周期函数，是它的一个周期．xytan思考由诱导公式知2、正切函数是否为周期函数？xytantan0yxxy的终边不在轴上()2kkz3、正切函数是否具有奇偶性？xytan思考ZkkxRxxfxxxf,2,,tantan由诱导公式知正切函数是奇函数.4、能否由正切线的变化规律及正切函数周期性来讨论它的单调性?思考oxy(1,0)AT正切线AToxy(1,0)AToxy(1,0)AToxy(1,0)ATxxxx作法:(1)等分：(2)作正切线(3)平移(4)连线把单位圆右半圆分成8等份。83488483，，，，，利用正切线画出函数，的图像:xytan22，x44288838320o正切函数图象的简单画法：三点两线法。“三点”:1414)0,0(，）、，、（“两线”:22xx和xy0223223441-1yx1-1/2-/23/2-3/2-0定义域值域周期性奇偶性单调性RT=奇函数函数y=tanx},2|{Zkkxx增区间Zkkk)2,2(二:性质tt+t-你能从正切函数的图象出发,讨论它的性质吗?正切曲线032是由通过点且与y轴相互平行的直线隔开的无穷多支曲线组成(,0)()2kkZ渐进线渐进线正切函数的图像和性质⑴定义域：}Zk,k2x|x{⑵值域：⑶周期性：⑷奇偶性：在每一个开区间，内都是增函数。)2,2(kkZk正切函数图像奇函数，图象关于原点对称。R⑸单调性：Zk,2kx(6)渐近线方程：(7)对称中心kπ(,0)2渐进线性质:渐进线(1)正切函数是整个定义域上的增函数吗？为什么？(2)正切函数会不会在某一区间内是减函数？为什么？问题：AB在每一个开区间，内都是增函数。ππ(-+kπ,+kπ)22kZ问题讨论A是奇函数B在整个定义域上是增函数C在定义域内无最大值和最小值D平行于轴的的直线被正切曲线各支所截线段相等1．关于正切函数,下列判断不正确的是（）２．函数的一个对称中心是（）tanyxxtan(3)yx(,0)9(,0)6(,0)4(,0)4A.B.C.D.基础练习BC例1、比较下列每组数的大小。oo(1)tan167与tan17311πtan(-)413πtan(-)5（2）与说明：比较两个正切值大小，关键是把相应的角化到y=tanx的同一单调区间内，再利用y=tanx的单调递增性解决。例题分析000090167173180tanyx在，上是增函数，200tan167tan173解:(1)（2）∵43tan411tan53tan513tan又∵，函数，是增函数，2534323xytan223，x∴即．53tan43tan513tan411tan例1、比较下列每组数的大小。oo(1)tan167与tan17311πtan(-)413πtan(-)5（2）与解:较001、比大小：(1)tan138_____tan143。13π17π(2)tan(-)_____tan(-)45２、求函数y=tan3x的定义域，值域，单调增区间。｝定义域：｛zk,63kx\xR值域：zk,3k,3k）单调递增区间：（66反馈演练tan3x解不等式：解：0yx323)(2,3Zkkkx由图可知：例2例题分析3tan()63x3、解不等式：1、解不等式1+tanx0反馈演练答案:1.,42xxkxkkZ2.2,33xxkxkkZ2、求函数的周期.tan(3)tan3,xx因为即tan3(x+)=tan3x,3这说明自变量x,至少要增加，函数的值才能重复取得，所以函数的周期是tan3yx3tan3yx3例３反馈练习：求下列函数的周期：(1)5tan2xy(2)tan(4)yx例题分析解：24例4求下列函数的单调区间：);421tan(3)1(xytan:yt所以的单调递增区间为1:(1),3tan24xyt解令t则,22ktkkZ1:24x由t得24212kxk13tan()24yx的单调递增区间为)22,232(kk换元思想,22ktkkZ1:24x由t得24212kxk::3tan();24xy解因为原函数可化为;tan:24xyt令t所以的单调递增区间为1(2)3tan()24yx变题的单调递减区间)232,22(kk13tan()24yx的单调递减区间为tan33yx求函数的定义域、值域，并指出它的单调性、奇偶性和周期性；提高练习、定义域1、值域215|318xxxRxkkZ且，yR3、单调性115,318318xkk在上是增函数；4、奇偶性5、周期性最小正周期是3非奇非偶函数答案:四、小结：正切函数的图像和性质2、性质:xytan象向左、右扩展得到。再利用周期性把该段图的图象，移正切线得、正切曲线是先利用平)2,2(x,xtany1⑴定义域：}Zk,k2x|x{⑵值域：⑶周期性：⑷奇偶性：在每一个开区间，内都是增函数。ππ(-+kπ,+kπ)22kZ奇函数，图象关于原点对称。R(6)单调性：Zk,2kx(7)渐近线方程：(5)对称性：对称中心：无对称轴