1.4.3正切函数的性质和图像

1.4.3正切函数的性质和图像数学必修4一、你能否根据研究正弦、余弦函数的图象和性质的经验以同样的方法研究正切函数的图像和性质?探究1、利用正切函数的定义，说出正切函数的定义域；ZkkxRxxfxxxf,2,,tantan∴是周期函数，是它的一个周期．xytan思考由诱导公式知2、正切函数是否为周期函数？xytantan0yxxy的终边不在轴上()2kkz3、正切函数是否具有奇偶性？xytan思考ZkkxRxxfxxxf,2,,tantan由诱导公式知正切函数是奇函数.4、能否由正切线的变化规律及正切函数周期性来讨论它的单调性?oxy(1,0)AT正切线AToxy(1,0)AToxy(1,0)AToxy(1,0)ATxxxx(,),22kkkZ正切函数在开区间内都是增函数。作法:(1)等分：(2)作正切线(3)平移(4)连线把单位圆右半圆分成8等份。83488483，，，，，5、利用正切线画出函数，的图像:xytan22，x44288838320o渐近线6、利用正切函数的周期性,把图象向左,右扩展,得到正切函数并把它的图象且,)(,2,tanZkkxRxxy叫做正切曲线.从图中可以看出,正切曲线是由被相互平行的直线)(,2Zkkx所隔的无穷多支曲线组成的.xy0223223正切函数图象的简单画法：三点两线法。“三点”:1414)0,0(，）、，、（“两线”:22xx和xy0223223441-1yx1-1/2-/23/2-3/2-0定义域值域周期性奇偶性单调性RT=奇函数函数y=tanx},2|{Zkkxx增区间Zkkk)2,2(二:性质tt+t-你能从正切函数的图象出发,讨论它的性质吗?Zk,2kx6.渐近线方程：7.对称中心：kπ(,0)2无对称轴例1求函数的定义域、周期和单调区间.)32tan(xy,,232Zkkxx.,312Zkkx.,312|Zkkxx)32tan()32tan()(xxxf),2(3)2(2tanxfxZkkxk,2322.,231235Zkkxk.),231,235(Zkkk解:函数的自变量应满足即所以,函数的定义域是由于因此函数的周期为2.由解得因此,函数的单调递增区间是:解:函数的自变量应满足解:函数的自变量应满足三、应用例2求下列函数的周期：);42tan(3)1(xy)42tan(3)(:xxf解);421tan(3)2(xy变题)42tan(3x]4)2(2tan[3x)2(xf2T周期)421tan(3)(:xxf解)421tan(3x]4)2(21tan[3x)2(xf2T周期||T周期（提示：利用正切函数的最小正周期来解）例3比较下列各组中两个正切函数值的大小0167tan)1(0tan173与00009016717318000173tan167tan解：在上是增函数)270,90(00tan,yx又)411tan()2(与)513tan()2,2(,tanxxy且是增函数1113tan()tan()452tan()tan()45132tan()tan()5511tan()tan()44解：20452又(3)tan1,tan2,tan3,tan4把按照从小到大的顺序排列，并说明理由。例4.观察正切曲线，写出满足下列条件的x的值的范围。（1）tanx1（2）tanx–/2–/2/200xxy/4y13/2)2,4(xZkkkx)2,4(3,2x3Zkkkx3,2课堂练习：1、求函数y=tan3x的定义域.｝｛zkkxx,63|)517tan(_____)413tan()2(143tan_____138tan)1(200。、比较大小：3、观察正切曲线。写出满足下列条件的x值的范围（1）若则.(2)若，则.（3）若，则。,0tanx0tanx0tanxZkkxkx,2|Zkkxx,|Zkkxkx,2|小结:1.正切曲线的几何画法以及正切函数的性质2.正切函数性质3.用数形结合的思想理解和处理有关的问题.定义域值域周期性奇偶性单调性RT=奇函数函数y=tanx},2|{Zkkxx增区间Zkkk)2,2(性质