数学概念的理解与教学

数学概念的理解与教学人民教育出版社章建跃[e-mail]一、教师专业化发展的三大基石•理解数学，理解学生，理解教学。•“三个理解”的内涵：掌握丰富的数学学科知识；中小学数学课程结构体系、教学重点的知识；学生数学学习难点的知识；关于重点知识的教学解释的知识；关于评估学生的知识理解水平的知识；等。•特别是，“内容所反映的数学思想方法”的理解水平决定了教学所能达到的水平和效果。•例1：为什么说在有理数乘法法则的教材设计中，渗透了数系扩充的基本思想——原有数系的运算和运算律保持不变？•例2：理解有理数的意义，重点是理解负有理数的意义。那么，难点在哪里？•难点是用正数、负数表示具有相反意义的量时，描述向指定方向变化的情况，即：向指定方向变化用正数表示，向指定方向的相反方向变化用负数表示．这与学生的日常经验有一定的矛盾，需要一个“心理转换”：把“体重减少1kg”转换为“体重增长－1kg”，需要对“负”与“正”的相对性有较好的理解。•例3在“二元一次方程组”的学习中，学生在认知上会有哪些问题？应如何化解？例4方程概念的本质是什么？•方程是含有未知数的等式——重要吗？例如：ab=ba，是含有字母的恒等式，是不是方程？0x=0，x－x=0，x=1也是含有“未知数”的等式，值得研究吗？•理解方程，其核心在于：•引入方程概念的目的是为了求未知数；•方程是一种关系，即在未知数和已知数之间产生的一种关系；•方程是一种等式关系，借助等式的同解变换，经过对消和还原，将未知数暴露出来。•方程的这些思想方法，是代数方法不同于算术方法的本质所在。•方程使用的代数方法，和算术方法的思路是相反的。如果把未知数当做在河对岸的宝石，那么算术方法是摸着石头过河，一步步地接近宝石；代数的方程解法，则是把带钩子的绳子甩过河，勾住宝石（建立关系），然后一把一把地拉过河，最后得到宝石。二、数学教学存在的主要问题•数学教学“不自然”，强加于人，对学生数学学习兴趣与内部动机都有不利影响；•缺乏问题意识，对学生的创新精神和实践能力培养不利；•重结果轻过程，“掐头去尾烧中段”，关注知识背景和应用不够，导致学习过程不完整；•重解题技能、技巧轻普适性思考方法的概括，方法论层次的内容渗透不够，机械模仿多独立思考少，数学思维层次不高；•讲逻辑而不讲思想，关注数学思想、理性精神不够，对学生整体数学素养的提高不利。三、在理解内容的前提下制定教学目标如何理解三维目标•当前，教学目标的表达比较混乱。较多的老师采用了“三维目标”分别阐述的方式呈现目标。例5同位角、内错角、同旁内角•（一）知识与技能目标：•1．理解同位角、内错角、同旁内角的概念；•2．能在基本的图形中识别同位角、内错角、同旁内角；•（二）过程与方法目标：•1．经历由已知知识，发展推广到新知识的过程；•2．从现实生活中抽象出数学问题并进行探索归纳过程；•3．体会分类分步、化归等数学思维方法；•（三）情感与发展目标：•1．从实际情景引入新课，培养学生学习数学的兴趣；•2．从两直线相交到两直线被第三条所截的变化过程，感受数学的发展与变化关系；•3．培养学生独立思考、合作学习等能力。对上述“目标”的评价•好的方面：已经注意了课堂教学不仅是教知识，关注到显性目标与隐性目标的不同。•需要改进的：贴标签；没有反应内容的特点；不具体；对教学的定向作用不充分；表述混乱；……•特别是：混淆了课程目标与课堂教学目标的关系。“三维目标”的理解•“三维目标”是课程目标，不是课堂教学目标！•“三维目标”有内在统一性，都指向人的发展，是交融互进的：“知识和技能”只有在学生积极反思、大胆批判和实践运用中，才能实现知识的意义建构；“情感、态度和价值观”只有伴随着学生对学科知识技能的反思、批判与运用，才能得到提升；“过程和方法”，只有学生以积极的情感、态度为动力，以知识和技能目标为适用对象，才能体现它的存在价值。•“三维目标”是课程目标的设计思路，是同一学习过程中的三个心理维度，不是教学目标的维度。•教学目标取决于教学内容的特点，要在“三个维度”的指导下，综合考虑学段目标、内容特点和学情来确定；课堂教学不是为了体现课程目标的“三个维度”而存在，而是要具体而扎实地把课程内容传递给学生，促进学生健康发展。数学教学目标系统•教育方针——学校一切学科的目标。•课程目标——宏观目标，要付出大量时间和精力，经过长期努力才能实现的学习结果；通常包含多方面的、更为具体的目标。目前采用“总体目标+学段目标”的方式来呈现。•单元目标——中观目标，用于计划需要几周或几个月的时间学习的单元，是课程目标的具体化。例如，“了解函数的概念”就是一个单元目标，因为函数的概念包含了函数的定义、图像、性质等众多内容。从这个单元目标到课堂教学目标，还需要教师的工作。•课堂教学目标——微观目标。专注于具体内容的学习，只处理细节，它们在计划日常教学中发挥作用。例如，“了解函数的概念”这一单元目标要具体化为：•了解函数的定义和三种表示法，能用函数的概念作简单判断（是不是函数）。•能分析简单实际问题中的函数关系。•能确定简单实际问题中函数自变量的取值范围，并会求出函数值。•能用适当的函数表示法刻画简单实际问题中变量之间的关系。•结合对函数关系的分析，能对变量的变化情况进行初步讨论。正确理解内容基础上制订目标例5“三线八角”的内容理解•“两条直线”被“第三条直线所截”，得到八个角——图形的结构。•对顶角、邻补角、内错角、同位角、同旁内角，都是描述一对角的位置关系；•核心：根据图形结构特征进行分类——正确识别的前提。“三线八角”的教学目标•能以“结构特征”为依据对角的位置关系进行分类，从中体会分类思想。•能正确地分析图形的结构特征，从中找到“两条直线”和“第三条直线”，并识别出同位角、内错角、同旁内角。•在“三线八角”概念的引入过程中，体验研究几何图形的基本思路，如：两条直线→三条直线，共顶点的角→不共顶点的角；借助第三条直线研究平行线；等。例6三角形的有关概念•内容理解•面临一个新的数学对象，应如何搭建“研究框架”？——给学生展示一个研究的“基本套路”：（1）界定研究对象，即给定义（什么叫三角形）——共同特征的概括（内涵的把握）；（2）对象的组成要素、记号（边、角、顶点等）；（3）分类——依据本质属性的异同点，选定分类标准（如，单一属性：角的大小，关系属性：边相等，还有联合属性：等腰直角三角形）；（4）要素之间的关系——边、角之间的关系；（5）相关要素及其关系——高、中线、角平分线，外角等；（6）其他性质，推广和应用等。教学目标•知道三角形的有关概念及三角形的分类，从中体会分类思想。•掌握“三角形的任意两边之和大于第三边”的性质并能初步运用。•理解三角形的中线、角平分线、高的概念，并通过画图了解三角形的三条中线、三条角平分线、三条高所在的直线的交点情况。•通过三角形有关概念的讨论过程，初步体会研究一个几何对象的“基本套路”，培养良好的数学思维习惯。四、提高概念的教学水平1．当前概念教学的问题•概念教学走过场，常常采用“一个定义，三项注意”的方式，在概念的背景引入上着墨不够，没有给学生提供充分的概括本质特征的机会，认为让学生多做几道题目更实惠．•有些老师不知如何教概念．危害•以解题教学代替概念教学的做法严重偏离了数学的正轨．学生在数学上耗费大量时间、精力，结果可能是对数学的内容、方法和意义知之甚少，“数学育人”终将落空．2．教概念的意义•李邦河院士：数学根本上是玩概念的，不是玩技巧．技巧不足道也！3．概念教学的核心•概念教学的核心是概括：将凝结在数学概念中的数学家的思维打开，以典型丰富的实例为载体，引导学生展开观察、分析各事例的属性、抽象概括共同本质属性，归纳得出数学概念。4．理论依据•概括是人们掌握概念的直接前提；•概括是思维的速度、灵活迁移程度、广度和深度、创造程度等思维品质的基础；•概括是科学研究的关键机制；•学习和应用知识的过程也是概括的过程；•数学概括能力是数学学科能力的基础，概括能力的训练是数学能力训练的基础；•概括与归纳、类比等直接相关，是培养创造力的基础。5.概念教学的基本环节•概念的引入——借助具体事例，从数学概念体系的发展过程或解决实际问题的需要引入概念；•概念属性的概括——提供典型丰富的具体例证，进行属性的分析、比较、综合，概括不同例证的共同特征；•概念的明确与表示——下定义，给出准确的数学语言描述（文字的、符号的）；•概念的辨析——以实例为载体分析关键词的含义（恰当使用反例）；•概念的巩固应用——用概念作判断的具体事例，形成用概念作判断的具体步骤；•概念的“精致”——纳入概念系统，建立与相关概念的联系。例7数轴概念的教学设计（一）内容和内容分析•内容：数轴的概念，用数轴上的点表示数（点与数的一一对应）。•内容分析：数形结合思想的产物。由此，数的概念和运算与位置、方向、距离相统一，使数的语言得到了几何解释，数有了直观意义，有助于数的概念的理解，还可以从中得到启发而提出新的问题或结论，如相反数、绝对值等。•数轴上的点表示实数的本质：实数与数轴上的点一一对应（存在性、唯一性）。•这样要求的意义：等价性，将问题转化后所得到的结论就是原问题的结过——需要学生逐渐体会。•在这样的要求下，明确规定原点、方向和单位长度“三要素”是必须而且自然的。数轴的“三要素”与实数集的“三要素”•原点0（原点和0的“基准”作用）•单位长度1（“单位”的“标准”作用）•方向符号（“方向”、“长度”是标记“空间位置差别”的两个要素。数轴的方向“左”“右”，具有“相反意义”，对应于负数、正数。•教学重点是：体会数轴的三要素；体会用数轴上的点表示数的合理性。（二）目标和目标解析•目标（1）能用数轴上的点表示有理数；（2）能借助具体实例，解释数轴三要素的作用。•目标解析：•目标（1）属于“理解”层次，是指学生能画出数轴并找到表示给定数的点；•目标（2）也属“理解”层次，是指学生能判断一种情境是否适合用数轴表示，并将情境中的事物与三要素分别对应起来。•从发展的角度看，学生还应体会到，“用点表示数”时，数轴“三要素”保证了点与数的“一一对应”，即任意一个数对应于数轴上的唯一一个点；反之，数轴上任意一个点对应于唯一一个数。这里，为什么要这样定义，好处是什么，需要逐步体会。另外，还要逐步学会借助数轴研究问题，如与绝对值相关的问题等。（三）教学问题诊断分析•学生第一次遇到用形表示数的问题，领会其中蕴含的思想、体验这一方法的意义，尚待时日。可以借鉴引入负数的经验和生活经验。在基本思想上，还是要借助于具体情境，教师先讲解，学生获得体验后进行模仿式举例。•教学难点：数轴“三要素”与数集中0，1以及数的符号的对应性。(四)教学过程设计1．问题情境下的三次抽象•问题1在一条东西向的马路上，有一个汽车站牌，汽车站牌往东3ｍ和7.5m处分别有一棵柳树和一棵杨树，汽车站牌往西3m和4.8m处分别有一棵槐树和一根电线杆，试画图表示这一情境．•师生活动：学生小组讨论解决问题的方法，学生代表画图演示．学生画图后提问：（1）马路可以用什么几何图形代表？（直线）（2）你认为站牌起什么作用？（基准点）（3）你是怎么确定问题中各物体的位置的？（方向，与站牌的距离）•设计意图：“三要素”为定向，用直线、点、方向、距离等几何符号表示实际问题．这是实际问题的第一次数学抽象．•说明：学生也可能只用与站牌的距离来表示．有不同表示最好，可以与下面的方法做比较，看哪个更方便．•问题2上面的问题中，“东”与“西”、“左”与“右”都具有相反意义．我们知道，正数和负数可以表示两种具有相反意义的量，那么如何用数表示这些树、电线杆与汽车站牌的相对位置呢？•学生画图表示后提问：（1）0代表什么？（基准点）（2）数的符号的实际意义是什么？（方向）（3）如图，在一条直线上，A，B的距离等于B，C的距离，B点用3表示，C点用7.5表示，行吗？为什么？（不行，单位不一致，与实际情境不符）EDOABC－4.8－30137.5（4）上述方法表示了这些树、电线杆与汽车站牌的相对位置