数学模型与数学建模 第4章 量纲分析法

在数学的应用中,需处理的往往不是“纯粹的”数,而是反映事物某一特性的度量.用数加单位来表示具体度量；用量纲的概念来表示被度量的特性.量纲分析法是一种有效的物理建模方法一.单位SI国际单位制（米—千克—秒）；fps英制单位制（英尺—磅—秒）一个模型中单位必须统一二.量纲时间（T）基本物理量质量（M）长度（L）力学中，任何物理量都可以表示为其组合形式，称这种组合形式为物理量的量纲.称为基本量纲其中[质量]=[m]=M,[长度]=[l]=L,[时间]=[t]=T,例4.1.1[加速度]=[a]=LT－2;因为力F=ma,故[F]=[m][a]=MLT－2;部分物理常数也有量纲，如万有引力定律221rmmKf中的引力常数K的量纲为]][[]][[][212212mmrfmmfrK[速度]=[v]=[]==LT－1;dtds213222TMLMLLMT部分物理量是无量纲的,称之为纯数字,如［角度］=LL—1=L0尽管角度是无量纲量,但它有单位(弧度).量纲独立于单位三.量纲齐次性（DimensionalHomogeneity）量纲齐次原则:任一有意义的物理方程必定是量纲一致的,即有[左边]=[右边]1.对数学模型和模型的解进行量纲一致性检验.2.无量纲化方法减少参数个数.例4.1.2非线性震荡运动方程FdtdxCKxdtxdm22.,FCvKxdtdvmvdtdx或模型中有参数：m、K、C令x0=x(0),w0=,v0=x0w0,mK根据量纲齐次性,有[w0]=T－1,[F]=MLT－2,[K]=MT－2,[C]=MT－1.引进无量纲量：T=w0t,X=x/x0,V=v/v0vdTdXvdTdXxwwTdXxddtdx00000)()(得VvvdTdX0特点？dTdVvmwdVvdmdtdvmwT000)()(0将代入原方程，有000000vmwFvvmwCxvmwKdTdV0000020)()(vmwFvvmwCxxmwK=－X－AV+F0其中，因v0=x0w0,w0=mK原方程变形为XFAVdTdV0优点：1.减少了参数的个数；2.方程中的变量X、V、T都是无量纲量.量纲分析是20世纪初提出的在物理领域中建立数学模型的一种方法.对所设问题有一定了解，在实验和经验的基础上利用量纲齐次原则来确定各物理量之间的关系.例4.2.1单摆运动将质量为m的一个小球系在长度为l的线的一端,稍偏离平衡位置后小球在重力mg的作用下(g为重力加速度),做往复摆动.忽略阻力,求摆动周期t的表达式.求解考虑问题中出现的物理量t、m、l、g，假设它们之间有关式321glmt其中α1,α2,α3是待定常数,λ是无量纲的比例常数.上式的量纲表达式为321][][][glmt(1)将[t]=T,[m]=M,[l]=L,[g]=LT－2代入得33212TLMT(2)按照量纲齐次性,有12003321求解为21,21,0321代入式(1)得glt续例4.2.1单摆运动的抽象设变量关系为f(t，m，l，g)=0，(3)假设各变量间的关系如下：4321yyyyglmt(4)其中y1～y4是待定常数,π是无量纲量.各变量的量纲用基本量纲表示如下：[t]=L0M0T1,[m]=L0M1T0,[l]=L1M0T0,[g]=L1M0T－2,(4)式的量纲表达式为000241243TMLTMLyyyyy根据量纲齐次性，有线性方程组成立02,0,041243yyyyy00002001001011004321yyyyAY解得方程组的一个解为11024321yyyy代入(4)式有glt12glt0)(12gltF或者(5)将此例一般化有以下定理BuckinghamPi定理：设有m个物理量q1，q2，…qm,而f(q1，q2，…qm)=0(6)是与量纲单位的选取无关的物理定律。X1,X2,…,Xn是基本量纲,其中n≤m，q1，q2，…qm的量纲可表为niijmjXqij1,,2,1,矩阵A={ai,j}n×m称为量纲矩阵.若A的秩Rank(A)=r若齐次线性方程组AY=0(y是m维向量)的m－r个基本解为：ys=(ys1,ys2,…,ysm)T,s=1,2,…,m－rmjyjssjq1则为m－r个相互独立的无量纲量,且F(π1,π2,…，πm－r)=0(7)与(6)式等价,其中F的形式未知.例4.2.2航船阻力长度为l、吃水深度h的船以速度v航行,若不考虑风的影响,那么航船受到的阻力f除依赖船的诸变量l,h,v以外,还与水的参数—密度ρ,粘性系数μ,以及重力加速度g有关.下面用量纲分析法确定阻力与这些物理量之间的关系.1.航船问题中涉及物理量满足的物理关系记为Ф(f,l,h,v,ρ,μ,g)=0(8)2.这是力学问题,基本量纲选为L、M、T,各物理量的量纲表示为,,,,,][,][211312LTgMTLMLLTvLhLtLMTf3.写出量纲矩阵)()()(21010020110001113111173TMLA(f)(l)(h)(v)(ρ)(μ)(g)方程有m－r=7－3=4个基本解,可取为4.求解齐次线性方程组AY=0,因Rank(A)=r=3TTTTYYYY)0012021()0111010()1002010()0000110(43215.给出4个相互独立的无量纲量1224132211vfllvglvlh(9)式(9)与φ(π1,π2,π3,π4)=0等价,φ是未定的函数.两式表达了航船问题中各物理量之间的全部关系.为得到阻力f的表达式，由式(1)及式(9)中π4的式子可写出f=l2v2ρψ(π1,π2,π3)其中ψ表示一个未定函数用量纲分析法确定的航船阻力与各物理量之间的关系，这个结果用通常的机理分析法难以得到虽然函数ψ的形式无从知道,但这个表达式在物理模拟问题中仍有用途.例4.2.3物理模拟中的比例模型利用航船阻力问题的结果讨论怎样构造航船模型，以确定原型航船在海洋中受到的阻力量纲不变性:无量纲量在模型和原型中保持不变模型中的各物理量：原型中的各物理量：gvhlf,,,,,,gvhlf,,,,,,有),,(lg22lvvhlvlf),,(gl22vlvhlvlf当无量纲量vllvvlvvhlhl,,lg成立时,可得2)(lvvlff原型航船的阻力可由模型船的阻力及其他有关量算出.应用量纲分析法建立数学模型应注意：1.正确确定模型中所含物理量主要靠经验和背景知识,没有一般的方法可以保证得到的结果是正确或有效.2.合理选择基本量纲3.应根据特定的建模目的恰当地构造基本解.一般，在力学中选取L、M、T即可,热学问题加上温度量纲Θ，电学问题加上电量量纲Q).量纲分析建模方法有如下优缺点:1.不需要专门的物理知识和高深的数学方法，可以得到用其他复杂方法难以得到的结果.2.可将无关的物理量去掉.3.可由原始物理量组合成一些有用的无量纲量.4.方法有局限性，PI定理中的等价方程F(·)=0,仍然包含着一些未定函数、参数或无量纲量.5.物理定律中常见的函数，如三角函数sin(·),指数函数exp(·)等是无量纲的,不可能用量纲分析法得到.任何建模方法都有局限性4.2.4无量纲化例：火箭发射2211)(rxmmkxmvxxrxgrx)0(,0)0()(22),,;(gvrtxxm1m2xrv0g星球表面竖直发射。初速v,星球半径r,表面重力加速度g研究火箭高度x随时间t的变化规律t=0时x=0,火箭质量m1,星球质量m2牛顿第二定律，万有引力定律)0(xgxgrkm22——3个独立参数用无量纲化方法减少独立参数个数[x]=L,[t]=T,[r]=L,[v]=LT-1,[g]=LT-2变量x,t和独立参数r,v,g的量纲用参数r,v,g的组合,分别构造与x,t具有相同量纲的xc,tc（特征尺度）—无量纲变量tx,vrtrxcc/,如),,;(gvrtxx利用新变量,,tx将被简化cctttxxx,令xc,tc的不同构造vrtrxcc/,1）令cctttxxx,的不同简化结果),,;(gvrtxxxrvtdxdrvxxvtdxdvx2222),,;(gvrtxx);(txx为无量纲量rvttrxx/,/vxxrxgrx)0(,0)0()(221)0(,0)0(,)1(122xxrgvxxgvtgvxcc/,/23）令),,;(gvrtxx1)0(,0)0(,)1(122xxrgvxx);(txx为无量纲量),,;(gvrtxxgrtrxcc/,2）令rgvxxxx22,)0(0)0()1(1);(txx为无量纲量)/(80008.91063703smrg1）2）3）的共同点只含1个参数——无量纲量);(txx解重要差别rgv2考察无量纲量v1在1）2）3）中能否忽略以为因子的项？1)0(,0)0(,)1(122xxrgvxx1)忽略项无解x不能忽略项1)0(,0)0(,0)1(12xxxtttx2)(21)0(,0)0(,1xxx0)0(,0)0(,)1(12xxxxrgvxxxx22,)0(0)0()1(12)1)0(,0)0(,)1(122xxrgvxx3)忽略项0)(tx不能忽略项忽略项0)(txvxxgx)0(0)0(tttx2)(2gvtgvxcc/,/2cctttxxx,vtgttx221)(火箭发射过程中引力m1g不变即x+rrvxxrxgrx)0(,0)0()(22原问题可以忽略项vtgttx221)(是原问题的近似解为什么3)能忽略项，得到原问题近似解，而1)2)不能?vrtrxcc/,1）令grtrxcc/,2）令gvtgvxcc/,/23）令火箭到达最高点时间为v/g,高度为v2/2g,cctttxxx/,/大体上具有单位尺度)1(项可以忽略cxx1,tx)1(项不能忽略林家翘：自然科学中确定性问题的应用数学作业：P57第16题（雨滴的落地速度计算）