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数学模型在物流系统中的应用1.绪论物流(Logistics)指的是在合适的时间，将正确的产品以适当的数量准确地送到用户手中的一系列活动.它联结生产与消费，使货畅其流，物尽其用，以促进生产不断发展，满足日益增长的社会生产消费需求.因此，物流在生产和市场之间或在被时空隔离的供应商之间架起了一座桥梁.物流的这种作用就要求我们在分析物流时要重点分析各种产品或有形商品及其有关信息.物流概念的提出,最早始于美国.在我国,“物流”这个概念是在20世纪70年代末从日本传入的.而在日本当时所谓的物流则是于60年代初来源于美国“实物配送”的概念.随着日本经济的高速发展，生产规模迅速扩大，商品流量急剧增长，为了降低物流成本，加速商品周转，开始重视物流研究，日本的物流研究团体如物流管理协会等也相继产生.进入80年代中期以后，物流合理化的观念面临着进一步变革的要求，物流研究的价值也逐渐被大家所认可.至此，物流的发展进入了一个崭新的阶段.在物流活动的全过程中，始终贯穿着大量的物流信息.物流系统要通过这些信息把各个子系统有机的联系起来.如何把信息收集全面、处理好，并使之指导物流活动，是非常复杂的事情.物流系统的边界是广阔的，其范围横跨生产、流通、消费三大领域.这给物流组织系统带来了很大的困难.而且随着科学技术的进步，生产的发展，物流技术的提高，物流系统的边界范围还将不断地向内深化，向外扩张.为了实现系统开发、计划、设计和应用，需要定量或定性地分析和掌握系统的功能与特性.在物流研究中，定量的系统分析、系统综合已受到人们更多的重视，物流系统模型是开展这项工作的有效工具.模型是对物流系统的特征要素、有关信息和变化规律的一种抽象表述，它反映厂系统某些本质属性.模型描述了物流系统各要素间的相互关系、系统与环境之间的相互作用.物流系统模型更深刻、更普遍地反映所研究物流系统主题的特征.在物流系统工程中，能对所研究的系统进行抽象模型化，反映了人们对物流系统认识的飞跃.2.物流系统模型概述2.1物流系统数学模型的要求物流系统的数学模型模型的要求主要有：1.保持足够的精度.模型应把本质的东西反映进去，把非本质的东西去掉，但又不影响模型反映现实的真实程度.2.简单实用.模型既要精确，又要力求简单.若模型过于复杂，一则难以推广，二则求解费用高.3.尽量借鉴标准形式.在模拟某些实际对象时，如有可能应尽量借鉴一些标推形式的模型，这样可以利用现有的数学方法或其他方法，有利于问题的解决.2.2物流系统数学模型的分类物流系统模型按结构形式分为实物模型、图式模型、模拟模型和数学模型.1.实物模型实物模型是现实系统的放大或缩小，它能表明系统的主要特性和各个组成部分之间的关系.如桥梁模型、电机模型、城市模型、风洞试验中的飞机模型等.这种模型的优点是比较形象，便于共同研究问题；它的缺点是不易说明数量关系，特别是不能揭示要素的内在联系，也不能用于优化.2.图式模型图式模型是用图形、图表、符号等把系统的实际状态加以抽象的表现形式如网络图(层次与顺序、时间与进度等)、物流图(物流量、流向等).图式模型是在满足约束条件下的目标值的比较中选取较好值的一种方法，它在选优时只起辅助作用.当维数大于2时，该种模型作图的范围受到限制.其优点是直观、简单；缺点是不易优化，受变量因素的数量的限制.3.模拟模型用一种原理上相似，而求解或控制处理容易的系统，代替或近似描述另一种系统，前者称为后者的模拟模型.它一般有两种类型：一种是可以接受输入并进行动态表演的可控模型，如对机械系统的电路模拟，可用电压模拟机械速度，电流模拟力，电容模拟质量；另一种是用计算机和程序语言表达的模拟模型，例如物资集散中心站台数设置的模拟，组装流水线投料批量的模拟等.通常用计算机模型模拟内部结构不清或因素复杂的系统是行之有效的.4.数字模型数字模型是指对系统行为的一种数量描述.当把系统及其要素的相互关系用表达式、图象、图表等形式抽象地表示出来时，就是数字模型.它一般分为确定型和随机型，连续型和离散型.2.3物流系统数学建模的方法物流系统的建模方法主要有以下几种：1.优化方法优化方法是运用线性规划、整数规划、非线性规划等数学规划技术来描述物流系统的数量关系，以便求得最优决策.由于物流系统庞大而复杂，建立整个系统的优化模型一般比较困难，而且用计算机求解大型优化问题的时间和费用太大，因此优化模型常用于物流系统的局部优化，并结合其他方法求得物流系统的次优解.2.模拟方法模拟方法是利用数学公式、逻辑表达式、图表、坐标等抽象概念来表示实际物流系统的内部状态和输入输出关系，以便通过计算机对模型进行试验，通过试验取得改善物流系统或设计新的物流系统所需要的信息.虽然模拟方法在模拟构造、程序调试、数据整理等方面的工作量大，但由于物流系统结构复杂，不确定情形多，所以模拟方法仍以其描述和求解问题的能力优势，成为物流建模的主要方法.3.启发式方法启发式方法是针对优化方法的不足，运用一些经验法则来降低优化模型的数学精确程度，并通过模仿人的跟踪校正过程求取物流系统的满意解.启发式方法能同时满足详细描绘问题和求解的需要，比优化方法更为实用；其缺点是难以知道什么时候好的启发式解已经被求得.因此，只有当优化方法和模拟方法不必要或不实用时，才使用启发式方法.除了上面三种主要方法外，还有其他的建模方法，如用于预测的统计分析法、用于评价的加权函数法、功效系统法及模糊数学方法.2.4物流系统数学建模的步骤不同条件下的建模方法不同，但建模的全过程始终离不开了解实际系统，其步骤可归纳如下：1.弄清问题，掌握实际情况，确定输出输入变量及其表达方式；2.搜集资料，对资料进行分类，概括出本质内涵，分清主次变量；3.确定因素之间的关系，列出必要的表格，绘制出图形和曲线等；4.构造模型.在充分了解资料的基础上，构造一个能代表所研究系统的数量变换数学模型；5.求解模型.用解析法或数值法求解模型最优解；6.检验模型的正确性.3.基于运输费用的物流运输系统设计数学模型3.1问题假设在建立数学模型之前，做出如下假设:(1)托运货物类型及其相关数据都为已知数据;(2)对于只有一个起始站和一个终点站的物流运输系统，不存在运输分担问题;(3)所有物流承运商的服务水平都是相同的;(4)由于条件所限,无法对天气状况、道路结构或交通状况等模糊或不确定的信息进行考虑，故在此假设这些信息是相同或不变的;(5)分别设五种常用的运输方式相应的取值为:公路运输-1，铁路运输-2，船舶运输-3，航空运输-4，管道运输-5.如果在实际中还有其他的运输方式，可以按照上述方法继续依次进行设置.3.2单路径运输问题下图3-1为单路径运输问题的示意图.对于单路径运输问题，其起始站、终点站和所必须经过的中转站都是己知的.这时需要确定的是每两站之间所采用的运输方式.终点站和所必须经过的中转站都是已知的.这时需要确定的是每两站之间所采用的传输方式.123n-1n……起始站中转站终点站图3-1物流运输系统单路径运输问题示意图上图中，n为运输路径所包括的站点数，包括起始站、终点站和中转站.设第i站到第i+1站之间的运输方式变量为错误!未找到引用源。，相应的运输方式决策变量为错误!未找到引用源。（l）（这里，l泛指在第i站到第i+1站之间的运输方式变量错误!未找到引用源。可能选取的所有值，下同），运输距离为错误!未找到引用源。,相应的运价为错误!未找到引用源。，中转费用为错误!未找到引用源。，相应的中转决策变量为错误!未找到引用源。（这里，k泛指在第i_1站到第i站之间的运输方式变量错误!未找到引用源。，可能选取的所有值，下同).错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。式中错误!未找到引用源。表示从第i站到i+1站之间采用运输方式错误!未找到引用源。时的运输工具的速度.已知：假设按照货物量W（可以是重量、体积等）计算运输费用，运输距离错误!未找到引用源。以及相应的运价错误!未找到引用源。、中转费错误!未找到引用源。都是已知的，运输方式变量错误!未找到引用源。的取值范围亦是已知的.3.2.1设计变量的确定根据已知条件，可以看出对于单路径运输问题，需奥确定的是运输方式，因此可以设定设计变量为：X=错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。3.2.2目标函数的确定根据已知条件，可以计算出运输工具费用为：中转费用为：错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。则总运输费用为：F=错误!未找到引用源。+错误!未找到引用源。因此，目标函数可设为：f(x)=F3.2.3约束函数的确定（1）保证在任意相邻两站之间采用一种运输方式运输货物，即不存在运输货物分担问题错误!未找到引用源。=1式中i=1,2,错误!未找到引用源。；L为运输方式错误!未找到引用源。(i=1,2,3，错误!未找到引用源。)可取的最大值.（2）保证在某一中转站中转时最多只有一种转运类型错误!未找到引用源。式中i=1,2,3，错误!未找到引用源。.；（3）保证运输过程具有连续性，即在第i站运输方式从错误!未找到引用源。方式变为错误!未找到引用源。方式，满足如下条件错误!未找到引用源。式中i=1,2,3，错误!未找到引用源。（4）保证货物在规定的时间0T内运到终点站，即T=错误!未找到引用源。式中错误!未找到引用源。表示从第i站到第i+1站之间采用运输方式错误!未找到引用源。时的运输工具的速度.3.2.4数学模型的建立综上所述，对于单路径运输问题，可建立如下基于运输费用的物流运输系统设计数学模型：X=错误!未找到引用源。Minf（X）=Fs．t．错误!未找到引用源。=1l错误!未找到引用源。i=1,2,错误!未找到引用源。,n-1;l,k=1,2,错误!未找到引用源。3.3多路径运输问题对于多路径运输问题，情况非常复杂.按照起始站和终点站的数目可以分为如下四种情形:(1)一个起始站，一个或多个可选的中转站，一个终点站；(2)一个起始站，一个或多个可选的中转站，多个终点站；(3)多个起始站，一个或多个可选的中转站，一个终点站；(4)多个起始站，一个或多个可选的中转站，多个终点站.213m1............m1+1m1+2.....m1+m2m1+m2+1m1+m2+2m1+m2+3m1+m2+m3=n起始站中转站终点站图3-2物流运输系统多路径运输问题示意图图3-2中，n为运算路径所包括的站点数，包括起始站、终点站和中转站.规定起始站的编号为1，中转站的编号为错误!未找到引用源。，终点站的编号为错误!未找到引用源。.设第i站到第i+1站之间的运输方式变量为错误!未找到引用源。，相应的运输方式决策变量为错误!未找到引用源。，运输距离为错误!未找到引用源。，相应的运价为错误!未找到引用源。，中转费用为错误!未找到引用源。，相应的中转决策变量为错误!未找到引用源。.按照货物量（可以是重量、体积等）计算运输费用，假设每个起始站可以供的货物量W错误!未找到引用源。(i=1,2,错误!未找到引用源。)、每个终点站可以需要的货物量为：W错误!未找到引用源。(j=错误!未找到引用源。).4.基于物流成本评价的最优化经济数学模型现代物流不仅单纯考虑从生产者到消费者的货物配送问题，而且还考虑从供应商到生产者对原材料的采购，以及生产者本身在产品制造过程中的运输、保管和信息等各个方面,全面地、综合性地提高经济效益和效率的问题.物流成本是在整个物流活动中发生的成本,物流成本的管理是以降低成本为目标的物流管理活动.企业的生产成本通常被看成是企业对所购买的生产要素的货币支出，它可以表示成产品的函数，设为C(q)，平均成本是总成本中每生产一单位产品的所消耗的成本，错误!未找到引用源。，边际成本错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。，在实际生产中也用企业增加一单位产品所付出的成本MC(q)=错误!未找到引用源。.当物流运输量无限增大时，价格极低，得不到最大利润；价格无限增大时，运输量极少，也得不到最大利润.如图1，在横坐标上移动运输量的值，使运输量与价格相乘的积达到最大时(即总收益的最大值)，还是得不到最大利润.由于