数学模型数学建模 第二次作业 微分方程实验

2微分方程实验1、微分方程稳定性分析绘出下列自治系统相应的轨线，并标出随t增加的运动方向，确定平衡点，并按稳定的、渐近稳定的、或不稳定的进行分类：,,,+1,(1)(2)(3)(4);2;2;2.dxdxdxdxxxyxdtdtdtdtdydydydyyyxydtdtdtdt解：（1）根据定义，代数方程组的实根即为系统的平衡点，即P(0,0)，利用直接法判断其稳定性。在点P(0,0)处，系统的线性近似方程的系数矩阵为1001A，解得其特征值λ1=1，λ2=1；p=-(λ1+λ2)=-20，q=λ1λ2=10；对照稳定性的情况表，可知平衡点(0,0)是不稳定的。图形如下：（2）根据定义，代数方程组的实根即为系统的平衡点，即P(0,0)，利用直接法判断其稳定性。解得其特征值λ1=-1，λ2=2；p=-(λ1+λ2)=-10，q=λ1λ2=-20；易知平衡点(0,0)是不稳定的。（3）根据定义，代数方程组的实根即为系统的平衡点，即P(0,0)，利用直接法判断其稳定性。解得其特征值λ1=0+1.4142i，λ2=0-1.4142i；p=-(λ1+λ2)=0，q=λ1λ2=1.4142；易知平衡点(0,0)是不稳定的。（4）根据定义，代数方程组的实根即为系统的平衡点，即P(1,0)，利用直接法判断其稳定性。解得其特征值λ1=-1，λ2=-2；p=-(λ1+λ2)=3，q=λ1λ2=2；易知平衡点(1,0)是稳定的。2、种群增长模型一个片子上的一群病菌趋向于繁殖成一个圆菌落。设病菌的数目为N，单位成员的增长率为r1，则由Malthus生长律有1dNrNdt，但是，处于周界表面的那些病菌由于寒冷而受到损伤，它们死亡的数量与N1/2成比例，其比例系数为r2，求N满足的微分方程.不用求解，图示其解族.方程是否有平衡解，如果有，是否为稳定的?解：根据题意列出N满足的微分方程：1212dNrNrNdt(1)得到其解为N1=0,N2=2221/rr；由(1)得：11222121221()()2dNrrNrNrNdt(2)解得N=2221/4rr画出N（t）的图形，即微分方程的解族，如下图所示：可以判断出其中N1=0是不稳定的；N2=2221/rr是稳定的。3、单种群开发模型考虑单种群开发方程：1-x-ExdxxrdtN（）在不求解的情况下，绘出其解族曲线。(2)用数学表达式证明：在稳定状态下，最优捕捞率为E*=2r解：由本问题的目标出发，渔场中鱼量达到稳定的平衡状态时的情形，不必知道每一时刻的鱼量变化情况，故不需要解出方程，只需要讨论方程的平衡点并分析其稳定性。平衡点：满足F(x)=1-x-ExdxxrdtN（）=0(1)的点称为方程的平衡点。解得的两个平衡点为：0(1)ExNr，10x容易算出两个解E-r和r-E称平衡点是稳定的是指：对方程(1)的任一个解()xxt，恒有lim()*txtx(2)判断平衡点x*是否稳定，可根据一阶近似方程：()'(*)(*)dxFxFxxxdt(3)判断。该方程的一般解为：(*)()*FxtxtCex于是有下述结论：若F'(x*)0，则x*是稳定平衡点；若F'(x*)0，则x*不是稳定平衡点。应用上述近似判别法，所以有当Er时，01F'(x)0,F'(x)0x0是稳定平衡点，x1不是；当Er时，01F'(x)0,F'(x)0x0不是稳定平衡点，x1是；结果分析：当捕捞适度(即：Er)时,可使渔场产量稳定在0(1)ExNr，从而获得持续产量Ex0，而当捕捞过度（即：Er）时，渔场产量将减至x1=0，破坏性捕捞，从而是不可持续的。进一步讨论：如何控制捕捞强度E使得持续产量Ex0最大：00()(1)EhxExNEr2(1)02mdhErNEdxr结论：最优捕捞率为*2rE。4、Gompertz模型设渔场鱼量增长服从Gompertz模型：xNrxdtdxln，其中r为固有增长率，N为最大种群数量。若单位时间捕捞量为Exh．讨论渔场鱼量的平衡点及其稳定性，求最大持续产量mh及获得最大产量的捕捞强度mE和渔场鱼量水平*0x。解：tx变化规律的数学模型为ExxNrxdttdxln记ExxNrxxFln)(（1）令0xF，得0lnExxNrxrENex0，01x．则有平衡点为1,0xx.又ErxNrxFln'，1'0',0xFrxF．推出平衡点ox是稳定的，而平衡点1x不稳定.xNrxlnerN（2）最大持续产量的数学模型为：.0,0ln..maxxExxNrxtsExh　　yExyxfyx0x0eN由前面的结果可得rEENehrErEerENNedEdh，令.0dEdh得到最大产量的捕捞强度rEm，从而得到最大持续产量erNhm/，此时渔场鱼量水平eNx*0。5、有限资源竞争模型：微分方程1111112222221122[(1)][(1)]dxxacbxbxdtdxxacbxbxdt是两个物种为了共同的有限资源而竞争的模型，假设c1a1，c2a2。试用微分方程稳定性理论分析：（1）如果1212aacc，则1()0();xtt（2）如果1212aacc则2()0();xtt（3）用图形分析方法来说明上述两种情况解：（1）令111111122222221122()[(1)]0()[(1)]0dxfxxacbxbxdtdxfxxacbxbxdt得方程的平衡点为P0（0,0），P1（1111cacb,0），P2（0,2222cacb）.对平衡点P0（0,0），系数矩阵112200caAca又c1a1，c2a2则p=-[(c1-a1)+(c2-a2)]0，所以该平衡点不稳定。以此类推：对平衡点P1（1111cacb,0）：系数矩阵211111112111()()0bcaacbAcacacc则p=2112111accacac，q=11211221)()[())]accacac（c，若1212aacc，且假设c1a1，c2a2，则q0不稳定而对于P2（0,2222cacb），有p0，且q0稳定，此时1()0();xtt，说明物种1最终要灭亡。（2）而如果1212aacc的情况下则方程在P1（1111cacb,0）稳定，其他点不稳定，此时2()0();xtt说明物种2最终会灭亡。6、考虑Lorenz模型'1123'223'31223()()()()()()()()()()()()xtxtxtxtxtxtxtxtxtxtxtxt其中σ=10，ρ=28，β=8/3，且初值为,x1（0）=x2（0）=0，x3（0）=ε，ε为一个小常数，假设ε=10-10，且0≤t≤100。（1）用函数ode45求解，并画出x2~x1,x2~x3,x3~x1的平面图；（2）适当地调整参数σ，ρ，β值，和初始值x1（0），x2（0）=0，x3（0），重复一的工作，看有什么现象发生。解：1.建立自定义函数，在edit中建立“Lorenz.m”的M文件.程序如下：functiondy=Lorenz(~,y)dy=zeros(3,1);dy(1)=10*(-y(1)+y(2));dy(2)=28*y(1)-y(2)-y(1)*y(3);dy(3)=y(1)*y(2)-8*y(3)/3;end2.在edit中建立“Lzdis.m”的M文件，用来求解和绘图。程序如下：[t,y]=ode45('Lorenz',[0,30],[12,2,9]);figure(1)plot(t,y(:,1))figure(2)plot(t,y(:,2))figure(3)plot(t,y(:,3))figure(4)plot3(y(:,1),y(:,2),y(:,3))plot3(y(:,1),y(:,2),y(:,3))3.运行得到如下的结果：Figure(1)是y(1)即x1关于t的变化关系图051015202530-20-15-10-505101520Figure(2)是y(2)即x2关于t的变化关系图Figure(3)是y(3)即x3关于t的变化关系图051015202530-25-20-15-10-5051015202505101520253051015202530354045Figure(4)为)x\1\x2x3的空间关系图4．验证“蝴蝶效应”洛伦兹方程的解对初始值十分敏感，现对x2的初始值稍加修改，将2改为2.01和1.99，让后求解x3的数值解。用edit命令建立“lzsensi.m”的M文件，程序如下：clfhold[t,u]=ode45('Lorenz',[015],[12,2,9]);plot(t,u(:,3),'Color','r');[t,v]=ode45('Lorenz',[015],[12,2.01,9]);plot(t,v(:,3),'Color','b');[t,w]=ode45('Lorenz',[015],[12,1.99,9]);plot(t,w(:,3),'Color','k');运行得到不同初始条件下的x3关于t的图形：-20-1001020-40-200204001020304050黑色线（k）表示初值条件为[12,1.99,9]时的x3-t图形绿色线（b）表示初值条件为[12,2,9]时的x3-t图形红色线（r）表示初值条件为[12,2.01,9]时的x3-t图形容易看出：随着时间的推移，三条曲线的吻合程度越来越差，差距越来越大，变化也越来越不明显，成为混沌状态。051015510152025303540452.3加分实验（餐厅废物的堆肥优化问题）一家环保餐厅用微生物将剩余的食物变成肥料。餐厅每天将剩余的食物制成桨状物并与蔬菜下脚及少量纸片混合成原料，加入真菌菌种后放入容器内。真菌消化这此混合原料，变成肥料，由于原料充足，肥料需求旺盛，餐厅希望增加肥料产量。由于无力购置新设备，餐厅希望用增加真菌活力的办法来加速肥料生产.试通过分析以前肥料生产的记录(如表2.1所示)，建立反映肥料生成机理的数学模型，提出改善肥料生产的建议。解：根据题意：将食物浆与蔬菜下脚及少量纸片混合成原料，加入真菌菌种，在容器内发酵转化成肥料。为了增加肥料产量，在不购买新设备的条件下，依靠增加真菌活力的方法加速肥料的生产。实验记录给出了食物浆、蔬菜下脚、碎纸的量，并给出了投料日期和产出日期，这样我们可以知道肥料生成的时间长短。并且通过分析温度、湿度及投料比，确定最佳方案生产肥料。于是我们的问题可以描述为：1、在什么温度下生成肥料的速率最快；2、在什么湿度下生成肥料的速率最快；3、在什么样的投料比下生成肥料的速率最快。为了解决上面提出问题，需要知道肥料生成的的天数，同时计算出对应天数下食物浆、蔬菜下脚、碎纸之间的比例。除此之外还要建立温度和湿度的图像，通过比较来确立最合适的生成机制。在解决这个问题的过程中主要运用控制变量法。通过查找资料，将以北方的温度和湿度为模版，建立温度和湿度的图像。首先，进行模型假设：1将容器看作封闭的，不考虑质量的损耗。2以北方的温度和湿度为标准。3真菌的数量相同，初始活力相同。4容器内生化反应过程中的温度不受人为因素控制，但受外界环境的影响。餐厅没有温度控制方面的投资。5反映开始前，真菌和发酵物分别储藏，不发生反应。6容器内的真菌分布均匀，且处于发酵的最佳状态。7在一定时间内，温度和湿度取平均值。建立数学模型：首先确立食物浆和蔬菜下脚的比例，并以比例为横坐标，肥料生成时间为纵坐标，建立坐标系，做出图