初中数学竞赛辅导资料11

初中数学竞赛辅导资料（11）二元一次方程组解的讨论甲内容提要1．二元一次方程组222111cybxacybxa的解的情况有以下三种：①当212121ccbbaa时，方程组有无数多解。（∵两个方程等效）②当212121ccbbaa时，方程组无解。（∵两个方程是矛盾的）③当2121bbaa（即a1b2－a2b1≠0）时，方程组有唯一的解：1221211212211221babaacacybababcbcx（这个解可用加减消元法求得）2．方程的个数少于未知数的个数时，一般是不定解，即有无数多解，若要求整数解，可按二元一次方程整数解的求法进行。3．求方程组中的待定系数的取值，一般是求出方程组的解（把待定系数当己知数），再解含待定系数的不等式或加以讨论。（见例2、3）乙例题例1.选择一组a,c值使方程组cyaxyx275①有无数多解，②无解，③有唯一的解解：①当5∶a=1∶2=7∶c时，方程组有无数多解解比例得a=10,c=14。②当5∶a＝1∶2≠7∶c时，方程组无解。解得a=10,c≠14。③当5∶a≠1∶2时，方程组有唯一的解，即当a≠10时，c不论取什么值，原方程组都有唯一的解。例2.a取什么值时，方程组3135yxayx的解是正数？解：把a作为已知数，解这个方程组得23152331ayax∵00yx∴0231502331aa解不等式组得531331aa解集是6311051a答：当a的取值为6311051a时，原方程组的解是正数。例3.m取何整数值时，方程组1442yxmyx的解x和y都是整数？解：把m作为已知数，解方程组得82881mymx∵x是整数，∴m－8取8的约数±1，±2，±4，±8。∵y是整数，∴m－8取2的约数±1，±2。取它们的公共部分，m－8＝±1，±2。解得m=9，7，10，6。经检验m=9，7，10，6时，方程组的解都是整数。例4（古代问题）用100枚铜板买桃，李，榄橄共100粒，己知桃，李每粒分别是3，4枚铜板，而榄橄7粒1枚铜板。问桃，李，榄橄各买几粒？解：设桃，李，榄橄分别买x,y,z粒,依题意得)2(1007143)1(100zyxzyx由（1）得x=100－y－z(3)把（3）代入（2），整理得y=－200+3z－7z设kz7(k为整数)得z=7k,y=－200+20k,x=300－27k∵x,y,z都是正整数∴07020200027300kkk解得0.10.9100kkk（k是整数）∴10＜k9111,∵k是整数，∴k=11即x=3（桃）,y=20（李）,z=77（榄橄）(答略)丙练习111．不解方程组，判定下列方程组解的情况：①96332yxyx②32432yxyx③153153yxyx2．a取什么值时方程组229691322aayxaayx的解是正数？3．a取哪些正整数值，方程组ayxayx24352的解x和y都是正整数？4．要使方程组12yxkkyx的解都是整数，k应取哪些整数值？5．（古代问题）今有鸡翁一，值钱五，鸡母一，值钱三，鸡雏三，值钱一，百钱买百鸡，鸡翁，鸡母，鸡雏都买，可各买多少？初中数学竞赛辅导资料（12）用交集解题甲内容提要1．某种对象的全体组成一个集合。组成集合的各个对象叫这个集合的元素。例如6的正约数集合记作｛6的正约数｝＝｛1，2，3，6｝，它有4个元素1，2，3，6；除以3余1的正整数集合是个无限集，记作｛除以3余1的正整数｝＝｛1，4，7，10……｝，它的个元素有无数多个。2．由两个集合的所有公共元素组成的一个集合，叫做这两个集合的交集例如6的正约数集合A＝｛1，2，3，6｝，10的正约数集合B＝｛1，2，5，10｝，6与10的公约数集合C＝｛1，2｝，集合C是集合A和集合B的交集。3．几个集合的交集可用图形形象地表示，右图中左边的椭圆表示正数集合，右边的椭圆表示整数集合，中间两个椭圆的公共部分，是它们的交集――正整数集。不等式组的解集是不等式组中各个不等式解集的交集。例如不等式组)2(2)1(62xx解的集合就是整数集正数集正整数集不等式（1）的解集x3和不等式（2）的解集x＞2的交集，x3.如数轴所示：0234．一类问题，它的答案要同时符合几个条件，一般可用交集来解答。把符合每个条件的所有的解（即解的集合）分别求出来，它们的公共部分（即交集）就是所求的答案。有时可以先求出其中的一个（一般是元素最多）的解集，再按其他条件逐一筛选、剔除，求得答案。（如例2）乙例题例1.一个自然数除以3余2，除以5余3，除以7余2，求这个自然数的最小值。解：除以3余2的自然数集合A＝｛2，5，8，11，14，17，20，23，26，……｝除以5余3的自然数集B＝｛3，8，13，18，23，28，……｝除以7余2自然数集合C＝｛2，9，16，23，30，……｝集合A、B、C的公共元素的最小值23就是所求的自然数。例2.有两个二位的质数，它们的差等于6，并且平方数的个位数字相同，求这两个数。解：二位的质数共21个，它们的个位数字只有1，3，7，9，即符合条件的质数它们的个位数的集合是｛1，3，7，9｝；其中差等于6的有：1和7；3和9；13和7，三组；平方数的个位数字相同的只有3和7；1和9二组。同时符合三个条件的个位数字是3和7这一组故所求质数是：23，17；43，37；53，47；73，67共四组。例3.数学兴趣小组中订阅A种刊物的有28人，订阅B种刊物的有21人，其中6人两种都订，只有一人两种都没有订，问只订A种、只订B种的各几人？数学兴趣小组共有几人？解：如图左、右两椭圆分别表示订阅A种、B种刊物的人数集合，则两圆重叠部分就是它们的交集（A、B两种都订的人数集合）。∴只订A种刊物的人数是28－6＝22人；只订B刊物的人数是21－6＝15人；小组总人数是22＋15＋6＋1＝44人。设N，N（A），N（B），N（AB），N分别表示总人数，订A种、B种、AB两种、都不订的人数，则得［公式一］N＝N+N（A）+N（B）－N（AB）。例4.在40名同学中调查，会玩乒乓球的有24人，篮球有18人，排球有10人，同时会玩乒乓球和篮球的有6人，同时会玩乒乓球和排球的有4人，三种球都会的只有1人，问：有多少人①只会打乒乓球②同时会打篮球和排球③只会打排球？解：仿公式一,得［公式二］：N＝N+N（A）+N（B）+N(C)－N（AB）－N（AC）－N(BC)+N(ABC)①只会打乒乓球的是24－6－4＋1＝15（人）②求N（BC）可用公式二：∵40＝24＋18＋10－6－4－N（BC）＋1∴N（BC）＝3，即同时会打篮球和排球的是3人ABC1AB6AC4A24B18C10ABB＝21A＝28只B15只A226③只会打排球的是10－3－1＝6（人）例5.十进制中，六位数8719xy能被33整除，求x和y的值解：∵0≤x，y≤9，∴0≤x+y≤18，－9≤x－y≤9，x+yx－y∵33＝3×11，∴1＋9＋x+y+8＋7的和是3的倍数，故x+y=2,5,8,11,14,17(1+x+8)－(9+y+7)是11的倍数，故x－y=－4，7∵x+y和x－y是同奇数或同偶数，∴它们的交集是下列四个方程组的解：48yxyx414yxyx711yxyx717yxyx解得62yx95yx29yx512yx（x=12不合题意舍去）答：x=2,y=6或x=5,y=9或x=9,y=2丙练习121．负数集合与分数集合的交集是＿＿＿＿＿＿2．等腰直角三角形集合是＿＿＿三角形集合与＿＿＿三角形集合的交集。3．12的正约数集合A＝｛｝，30的正约数集合B＝｛｝12和30的公约数集合C＝｛｝，集合C是集合A和集合B的＿＿4．解下列不等式组并把解集（不是空集）表示在数轴上：①563xx②052xx③22131xx④0202xx5．某数除以3余1，除以5余1，除以7余2，求某数的最小值。6．九张纸各写着1到9中的一个自然数（不重复），甲拿的两张数字和是10，乙拿的两张数字差是1，丙拿的两张数字积是24，丁拿的两张数字商是3，问剩下的一张是多少？7．求符合如下三条件的两位数：①能被3整除②它的平方、立方的个位数都不变③两个数位上的数字积的个位数与原两位数的个位数字相同。8．据30名学生统计，会打篮球的有22人，其中5人还会打排球；有2人两种球都不会打。那么①会打排球有几人？②只会打排球是几人？9．100名学生代表选举学生会正付主席，对侯选人A和B进行表决，赞成A的有52票，赞成B的有60票，其中A、B都赞成的有36人，问对A、B都不赞成的有几人？10.数、理、化三科竞赛，参加人数按单科统计，数学24人，物理18人，化学10人；按两科统计，参加数理、数化、理化分别是13、4、5人，没有三科都参加的人。求参赛的总人数，只参加数学科的人数。（本题如果改为有2人三科都参加呢？）11.053yxyx12.十进制中，六位数2851xy能被21整除，求x,y的值（仿例5）初中数学竞赛辅导资料（13）用枚举法解题甲内容提要有一类问题的解答，可依题意一一列举，并从中找出规律。列举解答要注意：①按一定的顺序，有系统地进行；②分类列举时，要做到既不重复又不违漏；③遇到较大数字或抽象的字母，可从较小数字入手，由列举中找到规律。乙例题1例1如图由西向东走，从A处到B处有几种走法？1解：我们在交叉路上有顺序地标上不同走法的数目，例如从A到C有三种走法，在C处标上3，从A到M（N）有3＋1＝4种，从A到P有3＋4＋4＝11种，这样逐步累计到B，可得1＋1＋11＝13（种走法）例2写出由字母X，Y，Z中的一个或几个组成的非同类项（系数为1）的所有四次单项式。解法一：按X4，X3，X2，X，以及不含X的项的顺序列出（如左）解法二：按X→Y→Z→X的顺序轮换写出（如右）X4，X4，Y4，Z4X3Y，X3Z，X3Y，Y3Z，Z3XX2Y2，X2Z2，X2YZ，X3Z，Y3X，Z3YXY3，XZ3，XY2Z，XYZ2，X2Y2，Y2Z2，Z2X2Y4，Z4Y3Z，Y2Z2，YZ3。X2YZ，Y2ZX，Z2XY解法三：还可按3个字母，2个字母，1个字母的顺序轮换写出(略)例3讨论不等式axb的解集。解：把a、b、c都以正、负、零三种不同取值，组合成九种情况列表ax0的解集b正负零a正负零当a0时，解集是xab,当a0时，解集是xab,当a=0,b0时，解集是所有学过的数，当a=0,b≤0时，解集是空集(即无解)例4如图把等边三角形各边4等分，分别连结对应点，试计算图中所有的三角形个数解：设原等边三角形边长为4个单位，则最小的等边三角形边长是1个单位，再按顶点在上△和顶点在下▽两种情况，逐一统计：边长1单位，顶点在上的△有：1+2+3+4=10边长1单位，顶点在下的▽有：1+2+3=6411134311CABPMN边长2单位，顶点在上的△有：1+2+3=6边长2单位，顶点在下的▽有：1边长3单位，顶点在上的△有：1+2=3边长4单位，顶点在上的△有：1合计共27个丙练习131．己知x，y都是整数，且xy=6，那么适合等式解共___个，它们是＿＿＿2．a+b=37,适合等式的非负整数解共___组，它们是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿3．xyz=6,写出所有的正整数解有：＿＿＿＿＿4．如图线段AF上有B，C，D，E四点,试分别写出以A，B，C，D，E为一端且不重复的所有线段，并统计总条数。ABCDEF5.写出以a,