初中数学竞赛辅导资料30

智浪教育---普惠英才文库94初中数学竞赛辅导资料(30)概念的分类甲内容提要1.概念的分类是揭示概念的外延的重要方法。当一个概念的外延有许多事物时，按照某一个标准把它分成几个小类，能更明确这一概念所反映的一切对象的范围，且能明确各类概念之间的区别与联系。2.概念分类必须用同一个本质属性为标准，把一种概念分为最邻近的类概念。例如三角形可按边的大小分类，也可用角的大小分类；又如整数可按符号性质分为正、负、零，也可以按除以模m的余数分类。分别表示如下：整数负整数零正整数整数奇数偶数整数23133余除以余除以整除能被整数3424144余除以余除以余除以整除能被3.一种概念所分成的各类概念应既不违漏，又不重复。即每一个被分的对象必须落到一个类，并且只能落到一个类。所分的各类概念的外延总和应当与被分的概念的外延总和相等。例如正整数按下列分类是正确的正整数1合数质数正整数正偶数正奇数如果只分为质数和合数，则外延总和比正整数的外延小；如果分为奇数和偶数则外延总和比正整数外延大，因此都不对。又如等腰三角形的定义是：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形。所以三角形按边的大小分类应是分成两类：不等边三角形和等腰三角形，而不能是三类：（不等边，等腰，等边）如果这样，三边相等的三角形将落入两类（等腰，等边），所以概念的分类与概念的定义有直接联系。4.二分法是常用的分类法。即把一种概念分为具有和不具有某种属性。例如三角形等腰三角形不等边三角形平面内两条直线位置不相交相交智浪教育---普惠英才文库95实数可分为：非负实数和负实数；四边形可分为：平行四边形和非平行四边形等等。5.从属关系的概念（上下位概念）是指一个概念的外延包含着另一个概念的外延。种概念与它所分的各类概念之间的关系就是从属关系。例如：等边三角形从属于等腰三角形，而等腰三角形又从属于三角形又如：代数式包含有理式和无理式，有理式包含整式和分式，整式包含单项式和多项式。其关系可图示如下：6.并列关系的概念是两个概念的外延互相排斥，互不相容。由同一种概念分成的各类概念之间的关系是并列关系的概念（同位概念）。例如：偶数和奇数；有理式和无理式；直角三角形、钝角三角形和锐角三角形，它们之间的关系都是并列关系的概念。可图示如下:7.交叉关系的概念是指两个概念的外延有一部分重叠。一种概念用不同的标准分类，所得的各类概念之间的关系可能就有交叉关系的概念。例如：正数和整数是交叉关系的概念，既是正数又是整数的数叫做正整数；等腰三角形和直角三角形也是交叉关系的概念，外延重叠的部分，叫做等腰直角三角形。图示如下:三角形等腰三角形等边三角形代数式有理式整式单项式锐角三角形钝角三角形直角三角形无理式有理式奇数偶数智浪教育---普惠英才文库96乙例题30例1.把一元一次不等式axb(a,b是实数，x是未知数)的解的集合分类。解：把实数a,b按正，负，零分类，得不等式解的集合如下：axb的解集时，解集是全体实数b时，解集是空集baab时，b不论何值xaab时，b不论何值xa00000且例2.一个等腰三角形的周长是15cm,底边与腰长的差为3cm，求这个三角形的各边长。解：设底边长为xcm,则腰长是2-15xcm当腰比底大时是2-15x－x=3∴x=32-15x＝6当腰比底小时是x－2-15x=3∴x=72-15x=4答（略）例3.化简①（22)1()1(xx－2②yx1解：①∵要使1x有意义，必须且只需x+1≥0，即x≥－1（22)1()1(xx－2＝1x＋x+1－2＝1x＋x－1当－1≤x1时，原式＝－（x－1）+x－1＝0当x≥1时，原式＝x－1＋x－1＝2x－2②化去分母根式时，要乘以yx，当x=y时，不能进行。故当x=y时yx1＝x21＝xx2当x≠y时yx1＝yxyx智浪教育---普惠英才文库97例4.设a,b,c是三个互不相等的正整数求证：a3b－ab3,b3c－bc3,ca3－ca3三个数中，至少有一个能被10整除（1986年全国初中数学联赛题）分析：∵10＝2×5，只要证明三个数中，至少有一个含2和5质因数即可，含2，可把a,b,c分为奇数和偶数两类；含5，则要按除以5的余数分类。解：∵a3b－ab3=ab(a+b)(a-b),b3c－bc3=bc(b+c)(b-c),ca3－ca3=ca(c+a)(c-a)①不论a,b,c三个数中有1个是偶数，或3个都是奇数（奇±奇＝偶），三个代数式所表示的数都是偶数，即含有质因数2；②∵a,b,c除以5的余数只有0，1，2，3，4五种。若有1个余数是0，则三个代数式所表示的数中必有1个含质数5；若有2个余数相同，则它们的差的个位数字是0，也含有质因数5；若既没有同余数又没有余数0，那么在4个余数1，2，3，4中任取3个，必有2个的和是5，即a+b,b+c,c+a中有1个含质因数5。综上所述a3b－ab3,b3c－bc3,ca3－ca3三个数中，至少有一个能被10整除。丙练习301.把下列概念分类（一种或几种）①实数②有理式③小于平角的角④平面内点与直线位置2.把一元一次方程ax=b(a,b是实数)的解分类。3.用二分法把下列概念分类（任举一例）①整数②方程③角④直角三角形⑤四边形4.指出下列概念分类的错误平面内两直线的位置关系垂直相交平行有理数0负数正数一元方程一元三次一元二次一元一次5.解方程和不等式①2xx＝4②2x＞1－2x智浪教育---普惠英才文库986.化简：①121xx②11a7.已知等腰三角形的一个外角等于150，求各内角的度数。8.已知方程0221xax无解，求a的值。（1987年泉州市初二数学双基赛题）9.第一组5人，第二组m人，从第一组调几人到第二组，使第二组人数等于第一组人数的2倍？（1987年泉州市初二数学双基赛题）10.x取什么值时，x2–3x的值是正数？11.有n个整数其积为n,其和是0。即0321321nnaaaanaaaa求证：n是4的倍数12.对任意两个整数a和b.，试证明：a+b,a-b,ab三个数中至少有1个能被3整除13.关于x的方程x＝ax+2有根且只有负根，则a的取值范围是＿＿__（1988年泉州市初二数学双基赛题）14试证每个大于6的自然数n都可以表示为两个大于1且互质的自然数的和提示：按奇数和偶数分类（1995年全国初中数学联赛题）