换元积分法和分部积分法

4.2换元积分法和分部积分法第四章一、第一类换元积分法三、分部积分法（IntegrationbySubstitutionandIntegrationbyParts）二、第二类换元积分法第二类换元法第一类换元法设,)()(ufuF可导,CxF)]([)()(xuCuF)]([dxFxxxfd)()]([则有基本思路在上次课中，我们学习了“不定积分的概念和性质”给出了“基本积分公式表”。但是，对于形如2sin2d;xx21d;xx这样的积分，利用不定积分的性质和基本积分公式表我们就无能为力了。为此，……一、第一类换元积分法定理4.2.1,)(有原函数设uf,)(可导xu则有换元公式()d()()xfx()dufu)(xu(也称配元法,凑微分法)证明过程请看书!例4.2.11）求111()lnxxaadCxa2）求1d(1)xxx12d2arctan(1)xCxx补充例题1求()d(1.)maxbmx解:令,bxau则,ddxau故原式=muuad1a1Cumm111补充例题2求答案：2exC补充例题3求22d.xax答案：1arctanxCaa例4.2.4求22d(0).xaax解:2)(1daxax2)(1)(daxax例4.2.5求22d.xxa答案：1ln2xaCaxaxbxafd)()1(xxxfnnd)()2(1xxxfnd1)()3(万能凑幂法xxxfdcos)(sin)4(xxxfdsin)(cos)5(常用的几种配元形式:xxxfdsec)(tan)6(2xeefxxd)()7(xxxfd1)(ln)8(xln21解:原式=xln2121补充例题4求自主学习课本P141例4.2.6、例4.2.7、例4.2.8例4.2.9求tandcotdxxxx和解:xdxdxxxxdxsinsin1sincoscotCx+sinln=．类似可求得xdxtanCxcosln.dsecxx求xxxxxxxxdtansecsec)sec(tandsecxxxxxdsectan)sec(tan.|sectan|lnCxxCxfxxfxf|)(|lnd)()(:一般有例4.2.10解:解法2（与课本解法不一样）xxsin11sin1121xxxdcoscos2xsindxsin1ln21Cxsin1ln补充例题5求.dsec6xx解:原式=xdxx222sec)1(tanxxxtand)1tan2(tan24补充例题6求35cossindxxx4681111coscoscos438xxxC或68211sinsin.68xxC解.d)ln(ln12xxxx计算xxxxxxxxxd)ln1(ln1d)ln(ln1222dln1dln12，故，则令xxxuxxudd)ln(ln122uuxxxx1Cu.lnCxxx补充例题7.)0(daxxaxa计算xxaxaxxaxadd222222ddxaxxxaxa22222)d(21)/(1)/d(xaxaaxaxa.arcsin22Cxaaxa补充例题8解:.d)1(arctanxxxx计算，故，则令xxuxu2dduuuxxxxd1arctan2d)1(arctan2，从而，则令21ddarctanuuvuvd2d)1(arctanvvxxxxCv2.)(arctan)(arctan22CxCu换元法可以连续使用补充例题9解:)2cos2cos21(241xx解:224)(coscosxx2)22cos1(x)2cos21(24cos141xx)4cos2cos2(212341xxxxxd)4cos2cos2(212341xd23)2d(2cosxx)4(d4cos81xx补充例题10自主学习课本P141例4.2.11—例4.2.13二、第二类换元法第一类换元法解决的问题难求易求uufd)(若所求积分易求,则用第二类换元积分法.难求，uufd)()()]([)(ttft是单调可导函数,且具有原函数,证明略,详细过程可参见课本P142则有换元公式定理4.2.2设1()()txxt其中是的反函数d1xx.1+d2dtxxtt令，，故1+dd211xtttx1+tttd1112ttd)111(2Ctt)|1|ln(222ln(1).xxC1+1+例4.2.14计算1）解:掉根式。积分，原则上是设法去对于含有根式的函数的分。的不含根式的函数的积即可将问题转化为一般变量积分，直接令根式为新有些含有根式的函数的.d3xxx计算.6,,31321为分母的最小公倍数的指数部分的它们xxxx,0,61txt令,d6d,56故则ttxtxtttxxxd16d33tttd11163ttttd)111(62Ctttt|1|ln663223.)1ln(6632663Cxxxx补充例题11解:.,,,,.,,,,,2111的最小公倍数为分母其中可作变量代换四则运算构成时通过被积函数由一般说来nkqpqpqqqkxtxxxnn.)0(d22axxa解:令则taaxa22222sintacosttaxdcosd∴原式tacosttadcosttadcos22Ca2axtaxarcsinCxax222122atttcossin22sin2axaxa22补充例题12求自主学习课本P142例4.2.142）解:令则22222tanataaxtasecttaxdsecd2∴原式ta2sectasectdttdsec1tanseclnCttaxtln)ln(1aCCxa1C补充例题13求自主学习课本P142例4.2.15解:,时当ax令则22222secataaxtatanxdtttadtansec∴原式tdttatansectatanttdsec1tanseclnCtt22axt1lnC)ln(1aCC22axaxa补充例题14求,时当ax令,au则于是22dauu122lnCauu122lnCaxx1222lnCaxxa)ln2(1aCC自主学习课本P143例4.2.1622(1)ax或22(2)ax22(3)xa从上面三个例子，可以看出如果被积函数含有：可作代换可作代换可作代换补充例题15求222d()xxa,(0)a.解设tanxat，则2dsecdxatt，于是222d()xxa2422secd(tan1)attat231cosdtta311(sin2)24ttCa311(sincos)22tttCa32221arctan22()xxCaaaxa第二类换元法常见类型:,d),()1(xbaxxfn令,d),()2(xxfndxcbxa令,d),()3(22xxaxf令或,d),()4(22xxaxf令或,d),()5(22xaxxf令或第三节讲(7)分母中因子次数较高时,可试用倒代换,d)()6(xafx令2.常用基本积分公式的补充前面，我们利用复合函数的求到法则得到了“换元积分法”。但是，对于形如ed;xxxlnd;xxxsind;xxx的积分用直接积分法或换元积分法都无法计算.注意到，这些积分的被积函数都有共同的特点——都是两种不同类型函数的乘积。这就启发我们把两个这就是另一个基本的积分方法：分部积分法.函数乘积的微分法则反过来用于求这类不定积分，vuvuuv)(积分得:xvuxvuuvdd分部积分公式或1)v容易求得;容易计算.由导数乘法公式：第四章（IntegrationbyParts）补充例题16解:令sin,vx则cosvx∴原式(cos)xx(cos)dxxcossinxxxC另解:令,vx则22xv∴原式2sin2xx2cosd2xxx三、分部积分法补充例题17求cosdxxx答案sincosxxxC一般说来,当被积函数为下列形式之一时,可考虑运用分部积分法进行计算:幂函数与三角函数(或反三角函数)之积,指数函数与三角函数(或反三角函数)之积,幂函数与指数函数之积,指数函数与对数函数之积,一个函数难于用其它方法积分,两个函数的乘积.把被积函数视为两个函数之积,按“反对幂指三”的顺序,前者为后者为补充例题18求解:令1v,则xv原式=xxarccosxxxd21xxarccos)1d()1(222121xxxxarccosCx21反:反三角函数对:对数函数幂:幂函数指:指数函数三:三角函数解题技巧:自主学习课本P144-P145例4.2.18与例4.2.19答案：11(31)cos3sin333xxxC补充例题21求2edxxx.补充例题20求(31)sin3dxxx.2e2e2exxxxxC.答案：lnd.xxx求补充例题22答案：2211ln24xxxC求arcsindxx.补充例题23答案：2arcsin1xxxC.darctanxxx解:令xv则221xv∴原式xxarctan212xxxd12122xxarctan212xxd)111(212xxarctan212Cxx)arctan(21补充例题24.dsinxxex解:令xev,则xev∴原式xexsinxxexdcos再令xev,则xevxexsinxxexexxdsincos故原式=说明:也可设为三角函数,但两次所设类型必须一致.补充例题26自主学习课本P145-P146例4.2.20-例4.2.24