17.2.1勾股定理的逆定理

X1.直角三角形有哪些性质?2.如何判断三角形是直角三角形?abcCBA勾股定理：如果直角三角形的两直角边为a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2.反过来，如果一个三角形的三边长a、b、c满足a2+b2=c2.那么这个三角形的形状怎样？古埃及人曾用下面的方法得到直角按照这种做法真能得到一个直角三角形吗？•古埃及人曾用下面的方法得到直角：用13个等距的结,把一根绳子分成等长的12段,然后以3个结，4个结，5个结的长度为边长，用木桩钉成一个三角形，其中一个角便是直角。345请同学们观察,这个三角形的三条边有什么关系吗?324252+=下面的三组数分别是一个三角形的三边长a，b，c：2.5，6，6.5；6，8，10。（1）这三组数都满足222cba吗？（2）画出图形,它们都是直角三角形吗？动手画一画勾股定理的逆命题如果直角三角形两直角边分别为a，b，斜边为c，那么有a2+b2=c2勾股定理如果三角形的三边长a、b、c满足那么这个三角形是直角三角形。a2+b2=c2互逆命题互逆命题:两个命题中,如果第一个命题的题设是第二个命题的结论,而第一个命题的结论又是第二个命题的题设,那么这两个命题叫做互逆命题.如果把其中一个叫做原命题,那么另一个叫做它的逆命题.(1)两条直线平行，内错角相等．(2)如果两个实数相等，那么它们的平方相等．(3)如果两个实数相等，那么它们的绝对值相等．(4)全等三角形的对应角相等．说出下列命题的逆命题．这些命题的逆命题成立吗?逆命题:内错角相等，两条直线平行.成立逆命题:如果两个实数的平方相等，那么这两个实数相等.不成立逆命题:如果两个实数的绝对值相等，那么这两个实数相等.不成立逆命题:对应角相等的两个三角形是全等三角形.不成立感悟:原命题成立时,逆命题有时成立,有时不成立试一试一个命题是真命题,它逆命题却不一定是真命题.345ACBA′B′C′34古埃及人的做法：△ABC中，BC=3、AC=4、AB=5这两个三角形有什么关系？我们作RT△ABC，使=3、=4B′C′A′C′345ACBA′B′C′34在中根据勾股定理有CBART222CBCABA55434,32222BABACACBABC≌CBA90CC∵∠C’=900∴A’B’2=a2+b2∵a2+b2=c2∴A’B’2=c2∴A’B’=c∵边长取正值∴△ABC≌△A’B’C’（SSS）∴∠C=∠C’=90°BC=a=B’C’CA=b=C’A’AB=c=A’B’已知:在△ABC中，AB=cBC=aCA=b且a2+b2=c2求证:△ABC是直角三角形证明:画一个△A’B’C’,使∠C’=90°,B’C’=a,C’A’=b在△ABC和△A’B’C’中则△ABC是直角三角形（直角三角形的定义）勾股定理的逆命题ACBA′B′C′ab证明：abc勾股定理的逆命题如果直角三角形两直角边分别为a，b，斜边为c，那么a2+b2=c2勾股定理如果三角形的三边长a、b、c满足那么这个三角形是直角三角形。且边C所对的角为直角。a2+b2=c2互逆命题逆定理定理驶向胜利的彼岸定理与逆定理我们已经学习了一些互逆的定理,如:勾股定理及其逆定理；两直线平行,内错角相等;内错角相等,两直线平行.如果一个定理的逆命题经过证明是真命题,那么它是一个定理,这两个定理称为互逆定理,其中一个定理称另一个定理的逆定理.例1判断由a、b、c组成的三角形是不是直角三角形：(1)a＝15,b＝8,c＝17例题解析(2)a＝13,b＝15,c＝14分析：由勾股定理的逆定理，判断三角形是不是直角三角形，只要看两条较小边的平方和是否等于最大边的平方。解：∵152＋82＝225＋64＝289172＝289∴152＋82＝172∴这个三角形是直角三角形例2.在△ABC中，a=15,b=17,c=8,求此三角形的面积。22222217815bca解∴△ＡＢＣ为直角三角形,且∠B=90°∴△ABC的面积为.608152121ca81517ABC随堂练习：1、将下列长度的三木棒首尾顺次连接，能组成直角三角形的是（）(A)1,2,3(B)4,6,8(C)5,5,4(D)15,12,92、如果线段a、b、c能组成直角三角形,则它们的比可能是（）（A）3:4:7;（B）5:12:13;（C）1:2:4;（D）1:3:5.DB3.三角形的三边分别是a、b、c,且满足(a+b)2-c2=2ab,则此三角形是:(A)A.直角三角形;B.是锐角三角形;C.是钝角三角形;D.是等腰直角三角形.课堂练习判断由线段a、b、c组成的三角形是不是直角三角形：（1）a=15，b=8，c=17；（2）a=m2-n2，b=m2+n2，c=2mn（m＞n，m、n是正整数）解；（1)∵a2=225，b2=64，c2=289又∵225+64=289∴a2+b2=c2即:三角形是直角三角形(2)∵a2=(m2-n2)2=m4-2m2n2+n4,b2=(m2+n2)2=m4+2m2n2+n4,c2=(2mn)2=4m2n2又∵m4-2m2n2+n4+4m2n2=m4+2m2n2+n4∴a2+c2=b2即:三角形是直角三角形下面以a,b,c为边长的三角形是不是直角三角形？如果是那么哪一个角是直角？(1)a=25b=20c=15_________;(2)a=13b=14c=15_________;(4)a:b:c=3:4:5__________;是是不是是∠A=900∠B=900∠C=900(3)a=1b=2c=_________;3像25,20,15,能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数.满足的三个,称为勾股数。222cba正整数你能写出常用的勾股数吗？3，4，5；5，12，13；6，8，10；7，24，25；8，15，17；9，40，41（小结）ABCabcc如果的三边长为、、其中为最长边1ABC222，若a+b=c则为：2ABC222，若a+bc则为：3ABC222，若a+bc则为：直角三角形锐角三角形钝角三角形,,ABCabc一通过本节课的学习你知道的三边在数量上满足如下关系时分别为什么三角形？二满足222a+b=c的三个正整数，称为勾股数。满足的三个正整数,称为勾股数.勾股数扩大相同倍数后,仍为勾股数.勾股定理的逆定理作为判断一个三角形是否是直角三角形的依据之一,其运用步骤为:①确定最大边②验证a2+b2与c2是否具备相等关系.如若a2+b2=c2，则ABC是以090C的直角三角形；c为最长边，若ABC不是直角三角形a2+b2不等于c2，则222cba判定一个三角形是直角三角形的方法有一个角是直角的三角形是直角三角形.角：边：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形