1.5事件的独立性(课件)

§1.5事件的独立性()PAB如一般地()PA甲、乙两人各掷一次硬币,B表示A表示“乙掷出正面”,又如，某校毕业班进行统考，“甲同学数学及格.”B表示“乙同学英语及格.”但在有些情况下，并不影响事件事件B发生与否A发生的机会.“甲掷出正面”,A表示当事件B对事件A没有任何影响时,应有B()PA其中()0PB当事件A对事件B没有任何影响时,应有PB()PB其中()0PA当时,()0PB()PB()PAB()PAB()PA()PA()PAB()PA()PB当时,()0PA()PA()PAB()PBA()PB()PB()PAB()PA一、两个事件的独立性PAA()PB发生的概率发生的概率定义1.4推论1则定义满足等式,AB如果两个事件()PAB()()PAPB简称与独立.AB则称事件与AB是相互独立的,对于两个事件A与B若()0PB与独立AB()PA()PAB则()PB()PBA两个事件与A,B如果其中任何一个事件发生的概率，都不受另一个事件发生与否是相互独立的.与独立AB则称事件与AB的影响,若()0PA例()()PPBA所以A,B独立.掷一枚均匀的骰子,(1)A表示“点数小于5”,B表示“点数为奇数”则()PA64()PB63()PAB62231213()PAB(2)A表示“点数小于4”,B表示“点数为奇数”则()()PPBA所以A,B不独立.()PA63()PB63()PAB62121214()PAB例()()PPBA所以A,B独立.从一副不含大小王的扑克牌中随意抽出一张,记A为“抽到”,K为B“抽到的牌是黑色的”,则()PA524()PB522612()PAB52245212252()PAB在实际应用中,常根据问题的实际意义去判断两个事件是否独立.二、有限个事件的独立性定义1.5()jiPAA如果其中对n个事件两任意个都互相独立,12,,...,nAAA(2)n有即对于,1,2,...,,ijnij()()ijPPAA则称这个事件n两两独立.这里共有个等式.2nC()jiPAA()()ijPPAA当时,()0jPA()jPA()jiPAA()iPAjAiPA()iPAn个事件两两独立,即其中任何一个事件都不受另一个事件概率发生的是否发生的影响.12,,...,kiiiAAA都有12(...)kiiiAPAA相互独立.如果对其中k个事件21()()...()kiiiPPAPAA则称这个事件n定义1.6对n个事件12,,...,nAAA(2)n任意(2)kn2k时，时，3k时，kn4k时，()jiPAA()()jiPPAA231()iiiPAAA132()()()iiiPPAPAA4312()iiiiAAPAA3412()()()()iiiiPPAPAPAA12(,,...,)nPAAA12()()...()nPAPAPA这里共有个等式.2nC3nC4nC...nnC12,,...,nAAA相互独立12,,...,nAAA两两独立.可以证明,n个事件相互独立,即其中任何一个事件的概率都不受另外一个或几个事件的影响.是否发生如1562()AAAPA156()AAAP1562()AAAPA156()()()AAPPAP1562()()()()PPPPAAAA2()PA例其中全红、全黑、全白色各一个,另一个是涂有红、黑、白三色的彩球.从中任取一个,事件A、B、C分别表示取到的球上有红色、黑色、白色,判别A,B,C的独立性.2的球解(),PA4(),PB(),PC2424PCA()PBA()()(),PPBA()(),PPCA1414PCB()()(),PPCB14两两独立.PCAB()()()(),BPPPCA14不相互独立.此时,PBCA()CP()PBA()PBCA()1即AB同时发生影响了C发生的机会.PCBA()BP()PCAB()AP()同样一个袋中装有4个球,ACB,,ACB,,思考：A、B独立A、B互斥A,B互斥A,B不独立A,B独立A,B不互斥两事件相互独立与它们互斥这两个概念有何联系?不影响B发生的事件B发生与否也不影响A发生的概率.当AB()0PAB()()PAPB()PAB()()PAPB0AB事件A发生与否概率;AB事件A与B不能同时发生.PA()0,PB()0时,三、相互独立的性质性质1中的任意一部分事件如果个事件n12,,...,nAAA相互独立.则它们换成各自的对立事件后,所得也相互独立.的n个事件n=2时，A与B独立与独立AB与独立AB与独立ABn=3时，A,B,C相互独立,,ABC,,ABC相互独立相互独立,,ABC相互独立实际意义:PABPAABPPAPAPB证BA与即A与B独立.其它几个类似可证.PBA()PABA()PAPB1()PBPA反之,则由上面证明,BA与独立,设A与B独立,独立.与独立,ABA与B独立与独立AB与独立AB与独立AB若证相互独立相互独立.性质2如果个事件n相互独立.则有nAAA12,,...,nPAAA121nPAAA121nPAAA12...1nPAPAPA12...nAAA12,,...,nAAA12,,...,nPAAA12nPAPAPA121PABCPABC1PAPBPC0.6甲、乙、丙译出密码“译出密码”例他们能译出的概率分别为111,,534问能将密码译出的概率是多少?解设ABC,,分别表示ABC,,相互独立.D表示DABC则PD()PABC1三人独立地去破译一个密码,14523343511.47n12nPAAA设B表示要求()PB0.9999990.3n例同时分别破译一个密码,假设每人能译出的概率都是0.7若要以99.9999%的把握能够译出,问n至少为几?解“第人译出密码”i表示in(1,2,...,)互相独立,12,,...,nAAA则从而也互相独立.12,,...,nAAA“密码被破译”12...nBAAA()PB12...nPAAA1112nAPAPPA110.3n10.999999610设0.3n610n至少为12，才能保证译出的概率超过99.9999%99.9999%1()PB由n个人组成的小组,设iA0.7则指示灯亮的概率为设开关A，B，C闭合的概率分别为0.7,0.8,0.8,且各开关是否闭合彼此独立，解,,ABC分别表示开关A、B、C有闭合.0.80.80.70.80.8PACBAPPBCCPABAPPBPCPAPBPC例设ABC求指示灯亮的概率.四、贝努利概型定义只有两种对立结果如果一个随机试验这样的试验称为贝努利试验.例如,从中随机抽取一个15%进行检验,抽取的结果只有两个:一批产品的次品率为正品或次品抽到次品0.15抽到正品0.85抛掷一枚硬币一次,出正面又如,结果只有两个:或出反面.出正面出反面又如,p一射手的命中率为他射击一次,p(01)结果只有两个:击中或没击中.击中p没击中1p相应的概率模型称为贝努利概型.PPPPPP0.50.5从而可以把试验归结为虽然不只两种，有些随机试验的结果但如果我们仅关心事件A是否发生，则可以把A作为一个结果，把作为对立的结果.A贝努利试验.设事件A发生的概率为定义1.7一个随机试验序列一个独立试验序列.则此随机试验序列称为如果它的各试验的结果之间是相互独立的，则事件发生的概率为A1pqp(01)p由一个贝努利试验定义1.8独立重复进行,形成的随机试验序列称为贝努利试验序列.由一个贝努利试验独立重复进行n次,随机试验序列形成的称为n重贝努利试验.每一次试验,事件A发生p,p1q在n重贝努利试验中，的概率都是用X表示重贝努利试验中n事件A发生的次数，可能取值:XPnkX......210事件发生的概率都是A0,1,2,3,...,nPnkX......210设表示iA第次发生事件AiiPA()2p......0PX12...()nAPAA12()()...()nPPPAAA()iPAp1pqnq1PX231..(.nAAPAA213...nAAAA11......)nnAAA231..().nAAPAA132...()nPAAAA11.....).(nnAAPAp1nq1nC2PX312.(..nPAAAA...121...)nnnAAAA2nC2nq132()()()...()nPPPAPAAA...121()()...()()nnAAAPPPAPPXk11....(..nkkAAPAA11...)...nnkknAAAA...PXn12...()nAPAA12()()...()nPPPAAAnpknCkpnkqnq111nnpCq222nnpCqkknnkpCqnp12()()...()nPPPAAA11()...()()nnAAPPAP...用表示X重贝努利试验中n事件A发生的次数定理1.3(,,,...,)012knkp（贝努利定理）在每一次试验中,事件A发生k的次的概率为p,p1q则在n重的概率都是事件发生的概率都是Ap(01)贝努利试验中，事件A发生bknp(;;)nkqknCPnkX......210......nq111nnpCq222nnpCqkknnkpCqnp定理1.4p在每一次试验中,直到第k次才发生事件Ap,p1q则在n重贝努利试验中，都是事件发生的概率都是Ap(01)事件A发生的概率kq1的概率为证设表示iA第次发生事件AiP直到第k次才发生事件AP121...kAAAkA121()()...()kPPPAAA()kPA1kqp()iPApiPA1pq(1,2,...,)in(1,2,...,)kn例(1)(2)任选n个人,求:一个人的血型为B型的概率为0.11,1p2p(3)3p解设n个人中有B型血的人数为X1(1)p0PX0.89n2(2)p2PX20.112nC20.89n没有人为B型的概率恰有两人为B型的概率至少n–1人为B型的概率例任选n个人,求:一个人的血型为B型的概率为0.11,(3)至少n–1人为B型的概率3p解设n个人中有B型血的人数为X3(3)p1PXn或Xn1PXnPXn10.890.11n1nnC0.11n某车间有20部同型号机床,1)20部机床2)每部机床3)每部机床开的概率都是4)各机床是否开每部机床开动的0.8,假定各机床是否开动每部所消耗的电能求该车间不少于270个单位的概率.例设解0.8概率为机床开动时消耗的电能P15X270P27015XP18X18PX19PX20PX1820C180.820.21920C190.810.2200.8或开或不开.彼此独立,为15个单位,互不影响为同时开动的机床数X一飞机场交通车途径9个站,例且每位乘客都等可能地任意一站下车,不受其他乘客是否下车影响,交通车只在有乘客下车时才停车,求(1)i交通车在第站停车的概率.解设为在第位乘客kAki在第站下车k(1,2,...,25)1)25位乘客;2)3)每位乘客4)各乘客是否下车互相独立.19每位乘客i在第站i在第站下车的概率都是iB为“在第站停