等比数列的前n项和

高二·必修5·数学广东省普宁市第二中学数学组2020年3月16日星期一第二章数列2.5等比数列的前n项和高二·必修5·数学广东省普宁市第二中学数学组2020年3月16日星期一1.等比数列的定义是什么？如何用递推公式描述？从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数.an－1·an＋1＝an2(n≥2)),2(*1Nnnqaann【问题提出】高二·必修5·数学广东省普宁市第二中学数学组2020年3月16日星期一2.等比数列的通项公式是什么？3.在等比数列{an}中am·an＝ap·ak的条件是什么？特别地，a1·an可以等于什么？1n1nnmnmaaqaqcq--===m＋n＝p＋kam·an＝ap·ak；a1·an＝a2·an－1＝a3·an－2＝…高二·必修5·数学广东省普宁市第二中学数学组2020年3月16日星期一4.国际象棋起源于古代印度，据传，国王要奖赏国际象棋发明者，问他有何要求，发明者说：“请在棋盘的第1个格子里放上1颗麦粒，在第2个格子里放上2颗麦粒，在第3个格子里放上4颗麦粒，在第4个格子里放上8颗麦粒，依次类推，每个格子里放的麦粒数都是前一个格子里放的麦粒数的2倍，直到第64个格子.”这是一个什么数学问题？国王能满足他的要求吗？高二·必修5·数学广东省普宁市第二中学数学组2020年3月16日星期一思考1：设S64＝1＋2＋4＋8＋…＋262＋263，那么2S64的表达式如何？思考2：S64与2S64的表达式中有许多相同项，你有什么办法消去这些相同项？所得结论如何？2S64＝2＋4＋8＋16＋…＋263＋264S64＝264－1【知识探究】『知识探究（一）——求和公式的推导』高二·必修5·数学广东省普宁市第二中学数学组2020年3月16日星期一思考3：上述算法实际上解决了求等比数列1，2，4，8…，2n-1，…前64项的和，利用这个算法，1＋2＋4＋8＋…＋2n-1等于什么？Sn＝2n－1高二·必修5·数学广东省普宁市第二中学数学组2020年3月16日星期一思考4：上述算法叫做错位相减法.一般地，设等比数列{an}的公比为q，前n项和为Sn，利用错位相减法如何求Sn？所得结果如何？Sn＝a1＋a1q＋a1q2＋…＋a1qn-2＋a1qn-1……①qSn＝a1q＋a1q2＋a1q3＋…＋a1qn-1＋a1qn……②)1(1)1(1qqqaSnn①－②得高二·必修5·数学广东省普宁市第二中学数学组2020年3月16日星期一思考5：就是等比数列的前n项和公式，这个公式的使用条件是什么?思考6：当q＝1时，如何求Sn？q≠1qqaSnn1)1(11,1)1(1,11qqqaqnaSnn高二·必修5·数学广东省普宁市第二中学数学组2020年3月16日星期一思考1：当q＞1和q＜1时，分别使用哪个公式更方便？『知识探究（二）——求和公式的变通』1)1(1)1(11qqaqqaSnnn思考2：当公比q≠1时，结合等比数列通项公式，Sn可变形为什么？)1(11qqqaaSnn高二·必修5·数学广东省普宁市第二中学数学组2020年3月16日星期一思考4：等比数列有5个相关量，即a1，an，Sn，q，n，已知其中几个量的值就可以确定其它量的值？思考5：等比数列求和在公比为1与公比不为1时公式不同，若公比为字母，要注意分类讨论．不能忽略q＝1的情况，比如如何求和1＋a＋a2＋…＋an.高二·必修5·数学广东省普宁市第二中学数学组2020年3月16日星期一【题型分类深度剖析】题型1：等比数列求和公式的简单应用例1：在等比数列有{an}中，求满足条件的量：（1）a1＝a3＝2，求Sn；（2）q＝2，n＝5，a1＝0.5，求an和Sn；（3）a1＝1，an＝－512，Sn＝－341，求q和n.高二·必修5·数学广东省普宁市第二中学数学组2020年3月16日星期一『变式探究』1.在等比数列有{an}中，a1＋an＝66，a2an－1＝128，前n项和Sn＝126，求n及公比q.2.求等比数列1，x，x2，x3，……的前n项和Sn.高二·必修5·数学广东省普宁市第二中学数学组2020年3月16日星期一题型2：等比数列求和公式的综合应用例2：已知{an}是首项为1的等比数列，Sn是{an}的前n项和，且9S3＝S6，则数列{1an}的前5项和为()A.158或5B.3116或5C.3116D.158高二·必修5·数学广东省普宁市第二中学数学组2020年3月16日星期一『变式探究』1.数列{an}的前n项和Sn与第n项an之间满足2lgSn－an＋12＝lgSn＋lg(1－an)，则an＝_______，Sn＝_________.2.等比数列首项a10，公比q0，前n项和为80，其中最大的一项为54，又它的前2n项和为6560，则a1＝________，q＝________.高二·必修5·数学广东省普宁市第二中学数学组2020年3月16日星期一[解析]由已知：Sn＋1－an2＝4Sn(1－an)即Sn－1－an2＝0，∴Sn＝1－an，∴S1＝1－a1，即a1＝1－a1，∴a1＝12，又an＝Sn－Sn－1＝(1－an)－(1－an－1)，(n≥2)∴anan－1＝12，∴{an}是首项为12，公比为12的等比数列，∴an＝(12)n，Sn＝1－12n.高二·必修5·数学广东省普宁市第二中学数学组2020年3月16日星期一[解析]由Sn＝80，S2n＝6560知q≠1.∴a1－qn1－q＝80①a1－q2n1－q＝6560②∴qn＝81，∵q0，∴q1，又a0.∴该数列为递增数列．∴前n项中最大的项为an，∴an＝aqn－1＝54，又qn＝81，∴3a＝2q，将qn＝81代入①得a＝q－1，∴a＝2，q＝3.