搜索
第1页，共11页1.2直角三角形同步练习一、选择题1.在Rt△ABC中，D为斜边AB的中点，且BC=3，AC=4，则线段CD的长是（）A.2B.3C.52D.52.下面说法正确的是个数有（）①如果三角形三个内角的比是1：2：3，那么这个三角形是直角三角形；②如果三角形的一个外角等于与它相邻的一个内角，则这个三角形是直角三角形；③如果一个三角形的三条高的交点恰好是三角形的一个顶点，那么这个三角形是直角三角形；④如果∠A=∠B=∠C，那么△ABC是直角三角形；⑤若三角形的一个内角等于另两个内角之差，那么这个三角形是直角三角形；⑥在△ABC中，若∠A+∠B=∠C，则此三角形是直角三角形．A.3个B.4个C.5个D.6个3.如图，在△ABC中，CF⊥AB于F，BE⊥AC于E，M为BC的中点，EF=7，BC=10，则△EFM的周长是（）A.17B.21C.24D.274.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D、E分别为AC、AB的中点，连DE、CE．则下列结论中不一定正确的是（）A.ED//BCB.ED⊥ACC.∠ACE=∠BCED.AE=CE第2页，共11页5.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=60°，AC=6，将△ABC绕点C按逆时针方向旋转得到△A'B'C，此时点A'恰好在AB边上，则点B'与点B之间的距离为（）A.12B.6C.6√2D.6√36.在直角三角形中，如果有一个角是30°，这个直角三角形的三边之比最有可能的是（）A.3：4：5B.1：1：√2C.5：12：13D.1：√3：27.在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，CE平分∠ACD交AB于E，则下列结论一定成立的是（）A.BC=ECB.EC=BEC.BC=BED.AE=EC8.如图，△ABC是直角三角形，AB⊥CD，图中与∠CAB互余的角有（）A.1个B.2个C.3个D.4个二、填空题9.如图，在Rt△ABC中，E是斜边AB的中点，若AB=10，则CE=______．10.如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，AC=6，D是BC上一点，BD=5，DE⊥AB，垂足为E，则线段DE的长为______．第3页，共11页11.在一个直角三角形中，斜边上的中线长为5，一条直角边长为8，则另一条直角边的长为______．12.在下列条件中：①∠A+∠B=∠C，②∠A：∠B：∠C=1：2：3，③∠A=90°-∠B，④∠A=∠B=∠C中，能确定△ABC是直角三角形的条件有______（填序号）13.在△ABC中，∠A：∠B：∠C=1：2：3，CD⊥AB于点D，若AB=10，则BD=______．三、解答题14.如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，D是BC的中点，AE=BF．求证：（1）DE=DF；（2）△DEF为等腰直角三角形．15.如图，△ABC为等边三角形，AE=CD，AD、BE相交于点P，BQ⊥AD于点Q，PQ=3，PE=1．（1）求证：AD=BE；（2）求AD的长．第4页，共11页第5页，共11页答案和解析1.【答案】C【解析】解：∵AC=4cm，BC=3，∴AB==5，∵D为斜边AB的中点，∴CD=AB=×5=．故选：C．2.【答案】C【解析】解：①三角形三个内角的比是1：2：3，设三个内角的度数分别为x、2x、3x，由题意得，x+2x+3x=180°，解得，x=30°，则3x=90°，这个三角形是直角三角形，①正确；②三角形的一个外角等于与它相邻的一个内角，又三角形的一个外角与与它相邻的一个内角互补，∴这个角为90°，这个三角形是直角三角形，②正确；③如果一个三角形的三条高的交点恰好是三角形的一个顶点，那么这个三角形是直角三角形，③正确；④如果∠A=∠B=∠C，那么△ABC是等边三角形，④错误；⑤若三角形的一个内角等于另两个内角之差，那么这个三角形是直角三角形，⑤正确；⑥在△ABC中，若∠A+∠B=∠C，又∠A+∠B+∠C=180°，则此三角形是直角三角形，⑥正确，故选：C．第6页，共11页3.【答案】A【解析】解：∵CF⊥AB，M为BC的中点，∴MF是Rt△BFC斜边上的中线，∴FM=BC=×10=5，同理可得，ME=BC=×10=5，又∵EF=7，∴△EFM的周长=EF+ME+FM=7+5+5=17．故选A．4.【答案】C【解析】解：A、因为D、E分别为AC、AB的中点，所以ED∥BC．故正确；B、因为∠ACB=90°，ED∥BC，所以ED⊥AC．故正确；C、只有在△ABC是等腰直角三角形时才成立，故错误；D、CE为Rt△ABC斜边上的中线，所以CE=BE=AE，故正确．故选C．5.【答案】D【解析】解：连接B'B，∵将△ABC绕点C按逆时针方向旋转得到△A'B'C，∴AC=A'C，AB=A'B，∠A=∠CA'B'=60°，∴△AA'C是等边三角形，∴∠AA'C=60°，∴∠B'A'B=180°-60°-60°=60°，第7页，共11页∵将△ABC绕点C按逆时针方向旋转得到△A'B'C，∴∠ACA'=∠BAB'=60°，BC=B'C，∠CB'A'=∠CBA=90°-60°=30°，∴△BCB'是等边三角形，∴∠CB'B=60°，∵∠CB'A'=30°，∴∠A'B'B=30°，∴∠B'BA'=180°-60°-30°=90°，∵∠ACB=90°，∠A=60°，AC=6，∴AB=12，∴A'B=AB-AA'=AB-AC=6，∴B'B=6，故选：D．6.【答案】D【解析】解：如图，设30°角所对的直角边BC=a，则AB=2BC=2a，∴AC==a，∴三边之比为a：a：2a=1：：2．故选D．7.【答案】C【解析】解：∵∠ACB=90°，CD⊥AB，∴∠ACD+∠BCD=90°，∠ACD+∠A=90°，∴∠BCD=∠A．∵CE平分∠ACD，∴∠ACE=∠DCE．又∵∠BEC=∠A+∠ACE，∠BCE=∠BCD+∠DCE，∴∠BEC=∠BCE，第8页，共11页∴BC=BE．故选：C．8.【答案】B解：∵CD是Rt△ABC斜边上的高，∴∠A+∠B=90°，∠A+∠ACD=90°，∴与∠A互余的角有∠B和∠ACD共2个．故选B．9.【答案】5【解析】解：由直角三角形的性质，得CE=AB=5，故答案为：5．10.【答案】3【解析】解：∵DE⊥AB，∴∠DEB=90°，∴∠C=∠DEB，∵∠B=∠B，∴△BED∽△BCA，∴，即=，∴DE=3，故答案为：3．11.【答案】6【解析】第9页，共11页解：∵直角三角形斜边上的中线长为5，∴直角三角形斜边为10，∴另一条直角边的长==6，故答案为：6．12.【答案】①②③【解析】解：①∵∠A+∠B=∠C，∠A+∠B+∠C=180°，∴2∠C=180°，∠C=90°，则该三角形是直角三角形；②∠A：∠B：∠C=1：2：3，∠A+∠B+∠C=180°，∴∠C=90°，则该三角形是直角三角形；③∠A=90°-∠B，则∠A+∠B=90°，∠C=90°．则该三角形是直角三角形；④∠A=∠B=∠C，则该三角形是等边三角形．故能确定△ABC是直角三角形的条件有①②③．13.【答案】2.5【解析】解：根据题意，设∠A、∠B、∠C为k、2k、3k，则k+2k+3k=180°，解得k=30°，2k=60°，3k=90°，∵AB=10，∴BC=AB=5，∵CD⊥AB，∴∠BCD=∠A=30°，∴BD=BC=2.5．故答案为：2.5．第10页，共11页14.【答案】证明：（1）连接AD，∵Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，∴∠B=∠C=45°．∵AB=AC，DB=CD，∴∠DAE=∠BAD=45°．∴∠BAD=∠B=45°．∴AD=BD，∠ADB=90°．在△DAE和△DBF中，{AE=BF∠DAE=∠B=45°AD=BD.∴△DAE≌△DBF（SAS）．∴DE=DF；（2）∵△DAE≌△DBF∴∠ADE=∠BDF，DE=DF，∵∠BDF+∠ADF=∠ADB=90°，∴∠ADE+∠ADF=90°．∴△DEF为等腰直角三角形15.【答案】（1）证明：∵△ABC为等边三角形，∴AB=CA=BC，∠BAE=∠ACD=60°；在△ABE和△CAD中，{AB=CA∠BAE=∠ACD=60°AE=CD，∴△ABE≌△CAD（SAS），∴AD=BE；（2）解：∵△ABE≌△CAD，∴∠CAD=∠ABE，∴∠BPQ=∠ABE+∠BAD=∠BAD+∠CAD=∠BAE=60°；第11页，共11页∵BQ⊥AD，∴∠AQB=90°，∴∠PBQ=90°-60°=30°，∵PQ=3，∴在Rt△BPQ中，BP=2PQ=6，又∵PE=1，∴AD=BE=BP+PE=6+1=7．