2015方浩概率强化讲义1

12015考研数学综合强化课概率论与数理统计主讲老师：方浩2第一章随机事件与概率3（一）随机试验和样本空间1.[随机试验]2.[样本空间]:随机试验所有可能发生的结果组成的集合[样本点]:随机试验的每个可能结果3.[基本事件]:样本空间中的一个样本点组成的单点集4.[随机事件]:样本空间的子集45.[必然事件]：随机试验中必然发生的事件，记作.6.[不可能事件]：每次试验中一定不发生，记为.5(二)事件的关系和运算1.[事件间的关系](1)包含：AB(2)相等：AB(3)和：AB(4)积：AB(5)差:=ABAB(6)互斥(互不相容)：AB.(7)对立：AB，AB.记为BA.62.[运算律](1)交换律：;ABBAABBA(2)结合律：()()ABCABC()()ABCABC(3)分配律：()()()ABCABAC(4)对偶律(摩根律)：,ABABABAB7(三)概率的定义与性质1.[概率的定义](1)非负性：()0PA.(2)规范性：()1P.(反之不成立)(3)可列可加性：12,,AA两两互不相容1212()()()PAAPAPA82.[概率的性质](1)非负性：0()1PA.(2)规范性：()0,()1PP.(3)有限可加性：12,,,nAAA两两互不相容1212()()()()nnPAAAPAPAPA.(4)()1()PAPA.93.[基本公式][加法公式]()()()()PABPAPBPAB31231231,j()iijiiPAAAPAPAAPAAA[减法公式]()()()()PABPAPABPAB[逆事件]()1()PAPA10（四）三大概型1.古典概型()AAnPAn中基本事件的中基本事件2.几何概型()APA的度（或面积、体积）的度（或面积、体积）113.伯努利概型[定义]：随机试验只有两个可能结果：A和A；每次试验A发生概率相等()PAp[结论]：n重伯努利试验，事件A发生k次的概率：(,)(1)(0,1,2,,)kknkknBnpCppkn.12（五）条件概率，乘法公式，独立性1.条件概率：()0PA，A发生条件下B发生的概率()()()PABPBAPA132.条件概率的性质(1)非负性：0(|)1PBA(2)规范性：(|)1PA(3)逆事件：(|)1(|)PABPAB(4)加法公式：121212(|)(|)(|)(|)PAABPABPABPAAB减法公式：12112(|)()(|)PAABPABPAAB143.[乘法公式]()()()PABPBAPA12121211()()()()nnnPAAAPAAAAPAAPA154.两个事件的独立性定义：()()()PABPAPB,称事件,AB相互独立.推论：设0()1PA，,AB独立()(|)(|)PBPBAPBA性质：,AB独立，则A与B，A与B，A与B也相互独立165.三个事件的独立性1)()()()PABPAPB；2)()()()PACPAPC；3)()()()PBCPBPC；4)()()()()PABCPAPBPC；满足1-3：称三个事件,,ABC两两独立.满足1-4：称三个事件,,ABC相互独立.17(六)全概率公式与贝叶斯公式1.完备事件组：若事件1,nAA,1ijAAijn，称事件1,,nAA是一个完备事件组.182.全概率公式：1()()()niiiPBPAPBA.3.贝叶斯公式：1()()()()jjjniiiPBAPAPABPAPBA19[题型一概率的基本计算]【例】___ABCAABCBABCCABACDABAC20【例】事件,AB满足1()()2PAPB和()1PAB则有()（A）AB（B）AB（C）()1PAB（D）()0PAB21【例1.2】设事件,AB互不相容,则（）0APABBPABPAPB1CPAPB1DPAB22【例】设,YX为2个随机变量，且30,Y07PX,4007PXPY则max,0=___PXY23【例1.15】设,,ABC是随机事件，且14PAPBPC,16PACPBC,0PAB,求,,ABC都不发生的概率24【例】()0.3,0.4,0.5PAPBPAB,则___PBAB25【例1.28，Z】设相互独立的事件A,B都不发生的概率是19，且A发生B不发生的概率与B发生A不发生的概率相等，求A发生的概率26【例】111(),,432PAPBAPAB,则___PAB27[题型二三大概型]【例1.19】在区间-1,1之间任取两个数,XY，则二次方程20tXtY有两个正根的概率为____28【例】设一厂家生产的每台仪器以概率0.7可直接出厂，以概率0.3需进一步调试，经调试后，以概率0.8出厂，以概率0.2定为不合格，不能出厂，现该厂生产了(2)nn台仪器(设各台生产过程相互独立).求(I)所有机器都能出厂的概率.(II)其中恰好有两件能出厂的概率.(III)至少有两件不能出厂的概率.29[题型三条件概率与独立性]【P17，2】已知01PB,1212PAABPABPAB,则下列选项中正确的是（）（A）1212PAABPABPAB（B）1212PABABPABPAB30(C)1212PAAPABPAB(D)1122PBPAPBAPAPBA31【例】设,AB是两个随机事件,01,0PAPBPBAPBA则下列选项中正确的是___AABABPPBABABPPCABAPBPPDABPAPBP32【P22，2】设(|)(|)1PABPAB则()（A）A,B互不相容（B）A,B互逆（C）A,B相互独立（D）A,B不独立33【例1.11】将一枚硬币连续投掷两次，定义事件1A：第一次出现正面，2A：第二次出现正面，3A：正反面各出现一次，4A：两次都是出现正面，则下列说法正确的是（）（A）123,,AAA相互独立（B）234,,AAA相互独立（C）123,,AAA两两独立（D）234,,AAA两两独立34【例】设,,ABC是三个相互独立的随机事件，且0()1PC，则下列给定的四对事件中不一定相互独立的是()()AAB与C()BAC与C()CAB与C()DAB与C35【题型四全概率公式与贝叶斯公式】【例1.8】在1,2,3,4中任取1个数为X，再从1,X中任取一个数为Y，则2___PY36【例】设工厂A,B的产品的次品率分别为1%和2%，现在从由产品A和B的产品分别占60%和40%的一批产品中随机抽取1件（1）求该产品是次品的概率（2）已知取出为次品，求该次品属于A生产的概率37【例】设有甲、乙两个箱子，甲箱中有m只白球，n个红球，乙箱中有a个白球，b个红球，现从甲箱中任意取出一只放入乙箱，再从乙箱中任取出一球，求（1）从乙中取出的是白球的概率（2）已知从乙中取出的是白球，从甲放入乙中的是白球的概率（3）已知从乙中取出的是白球，从甲放入乙中的是红球的概率38【例】甲乙两名运动员进行打靶训练，每次打靶甲中靶的概率为0.5，乙中靶的概率为0.3，甲乙两人都中靶的概率为0.2，每次打靶中只要有一人中靶就称为此次打靶合格，第n次3n打靶合格恰好是第3次合格的概率___3963