数学学习与数学迁移

数学学习与数学迁移数学有效教学的重要指标是学生的数学学习能否从一个问题迁移到另一个问题从一个情境迁移到另一个情境从学校课堂迁移到社会生活中。数学学习过程和数学学习迁移存在密切关系是直接影响人的能力形成的重要因素。迁移通常理解为把在一个情境中学到的东西迁移到新情境中的能力。研究表明学习经验与迁移能力并不是正相关的。有些学习经验会导致强记忆弱迁移和强记忆负迁移而另一些却能诱发强记忆强迁移和强记忆正迁移早期学习迁移研究理论强调学习条件和迁移。条件之间的相似性取决于两者基本要素的匹配程度而基本要素被界定为具体事实和技能。对任务间共同要素的强调意味着对学习者个性的忽视比如对包括关注的时机、相关原理的外推、问题解决或创造力以及动机等这些个性的忽视而把学习的重点放在练习和训练上。本文探究对数学教育具有重要意义的数学学习和迁移的关键特征。一、促进初始学习是成功迁移的首要因素。新的理论研究表明影响成功迁移的第一个因素可能是最初对数学知识的掌握程度。那么如何进行数学的初始学习来促进数学学习的成功迁移呢？1.注重理解而不是记忆初始学习不达到一定理解水平迁移是不会发生的。这是显而易见但又经常容易被忽略的事实。刚学完某个新知识就急于去做难题就属于这个范畴。这两个结论对教学而言非常重要这正是我国中小学普遍存在的问题常常新授课刚结束就要求学生解难题不仅课后作业是难题而且课堂练习中就开始出现难题有的题甚至就是升学考试的试题。学生难题解不了只好用强行记忆来弥补强记忆弱迁移和强记忆负迁移在所难免。这种现象的结果是被迫机械学习能力无法提高也就是必然的事情了。迁移受学习的理解性程度的影响而非仅靠记忆事实或墨守成规。迁移不能发生的原因在于对新知识的理解没有达到一定水平而仅仅靠记忆。在新知识的初学阶段其意义的建构和获得还没有真正完成按照有意义学习理论新旧意义之间的联系有一个继续同化的过程。在这个过程中一方面是对意义联系理解的深化和贯通方面是这种联系需要一定程度的巩固和强化只有当这两方面达到一定的水平有意义迁移才可能开始。2.投入足够的学习时间。数学是一门复杂学科学习复杂学科需要更多的时间即使看起来像天才，然而个人为了拓展数学专业知识和提高数学理解水平也需要投入大量的时间和精力。新的学习理论明确提出成功的学习需要时间的大量投入。即使美国人现在也开始认识到在他们的中小学教育中要求学生学习投入的时间过少了。但是学习时间和精力的“大量投入”并不是一味地投入到训练记忆中而是把主要时间投入到反思和理解中。成功的学习需要大量的时间主要原因是要达到理解的水平需要时间。其有两方面的含义一是为了深化和贯通新旧意义的联系需要一定的时间去摸索与主题相关的具体信息二是为了使得所获得的学习经验达到相当水平的知悉程度需要一定的时间来深化和强化这些联系。不同的学生所需要的时间也不同教师必须对此有充分的认识和思想准备。学生对一个新的数学对象的初始学习常常会遇到意义不够明晰和逻辑联系比较隐蔽的材料一开始就要他们从事理解性学习是有困难的他们需要时间去探究基本概念生成与自己已有信息的联系。一下子接触太多的远离主题的内容会妨碍学生对新知识意义的建构和随后的迁移因为他们缺乏足够的具体信息使这些原则变得有意义因为他们对远离主题的知识同自己已有知识之间的承袭关系和逻辑联系不能接受因此学生只能当作孤立的、没有联系的事实去学习那些远离主题的内容。为学生提供先摸索与主题相关的具体信息先行组织者的机会显得至关重要这就是在最初创立一个“时机”让学生能够充分知悉、了解、回忆或激活相关信息使新知识的主题从这些相关的信息中自然流淌出来。研究表明有这样的时机要比没有这些机会的学生的学习更加有效。为学生提供这样的时机包括创设适当情境帮助学生搜索信息、提取信息、加工信息也包括提供足够的信息处理时间学习不能操之过急信息整合是一个复杂的认识活动需要足够的时间。3.利用变式把握关键特征适当安排一些反例能帮助学生注意先前没有注意的新特征了解哪些特征与某些特定概念相关或无关。恰当的反例不仅可用于知觉学习还可以用于概念学习。对何时、何地和如何运用所学知识的理解即知识条件化可通过“反例”的运用而增强。数学学习中学生很容易犯非本质属性泛化的错误这是非本质属性负迁移的结果。作为克服这类负迁移的一种有效方法以帮助学生把握数学对象的本质属性。利用反例、辨析题、变式题进行教学都属于变式教学的范畴。反例的特点是改变对象本质属性而保持非本质属性不变辨析题的特点是改变对象的非本质属性而保持本质属性不变安排变式学习能够帮助学生把原先所没有注意的非本质属性和本质属性的区别加以澄清从而尽可能避免非本质属性泛化的错误。变式题的运用在于提高解题学习中迁移能力的培养这在我国的数学教学中是常用的方法。二、影响迁移的其他因素1.学习的情境成功的迁移受到初始学习情境的影响学生有可能在一种情境中学习但却不能迁移到其他情境中去。实现成功的迁移取决于知识与情境以怎样的关系相连取决于初始学习是如何获得知识的。一个数学对象在单一而非复合情境中学习时情境间的迁移往往相当困难。当学生用学习情境中材料的细节即过于具体的无关信息来详细解释新材料时知识尤其容易受情境制约。当学生在复合情境中抽象出一个数学对象概念的特征时更可能形成弹性的知识表征。复合的情境指学习情境是趋于本源化、多样化、综合化、真实化、情节化的概念的特征隐藏在众多干扰因素之中使得学生必须经过由表及里、去粗取精、去伪存真的过程才能抽取到对象的本质建构起对象的意义这样不仅获得了对象的本质特征而且在“舍弃”的过程中了解对象的非本质特征认识本质属性与非本质属性之间的联系从而同时把握对象的本质的和非本质的方面达到从整体上认识对象意义的作用。这样形成的将是具有弹性的适应性的认识。但是过度情境化对知识的理解有弊无利。过度情境化是指情境尽管可能真实但情节过于复杂具体甚至无关或者涉及因素过手琐碎而缺少综合性。在这种情境中学习常常造成学生所学知识的弹性缺失仍然无法把学到的知识灵活地迁移到新的情境。让学生解决具体的案例以及相似的其他案例目的是帮助他们抽象出导致弹性迁移的一般原理。这是一种多到一的概括和一到多的迁移。实现这样的概括和迁移要求提供的刺激材料尽可能的丰富并能充分突出主题或本质特征。另一个比较有效的办法是让学生加入到为提高弹性理解而设计的“如果—怎么办”类的问题解决当中。概括案例要求学生创造一种不仅能解决单一的问题而且能够解决整个相关类群问题的方法。关于对付弹性缺失的3种方法实际上是提供了提高弹性理解的3种“情境”。迁移弹性的缺失根本上是学习缺乏“想象力”的结果。迁移本身就是一种“想象”的体现没有对不同事物间关系的想象谈何知识或策略的“迁移”“如果—怎么办”类型的问题解决本身更是地地道道的“想象”的问题没有对“如果”可能引出东西的“想象”如何能找到“怎么办”“概括案例”也同样离不开“想象”没有“想象”哪来“抽象”没有“抽象”又何有“概括”人失去了想象知识就会变成教条智慧就会趋于枯竭。培根说知识就是力量。爱因斯坦补充说想象比知识更重要。知识是由想象创造出来的知识又是由想象激发活化的知识是由想象推动发展的知识又是由想象带向无限的。目前我国大多与教育有关的活动中最普遍的问题就是缺乏对受教育者想象力的培养刻板僵化的模式长官意志的管理教条化的理念受教育者不仅缺少想象的空间甚至连想象的时间也没有。2.问题的表征通过教学帮助学生在更高的抽象层面上表征问题也可以提高数学迁移能力。帮助学生在更一般的层面表征所要解决问题能增加正向迁移的可能性减少先前解决问题中策略应用不当的负向迁移影响。让学生在更一般的层面上掌握数学解决问题的策略就是引导学生学习从问题的原始状态开始从无到有地实现问题的解决。这是培养和提高学生解决数学新问题能力的有效途径。“在更一般的层面上表征解决问题”[1]的策略应该包括表征问题和表征解决问题两个方面的策略。表征问题的策略应该是指对问题性质、特征和意义做出概括性的理解着重搞清楚“是什么类型问题”表征解决问题的策略则是指对解决问题过程中所使用的策略进行抽取、提炼和概括并且对问题情境、问题条件与问题策略的关系和联系进行概括和提取。学习和运用这两种策略可以促进对问题本质的认识和理解达到在更一般的层面上即从整体上、宏观上认识和把握问题及解决问题。这是“问题模式识别”的特征识别模式实际上这是形成一种问题原理这种问题原理由于具有很高的概括性而大大增强了它的正迁移性从而反过来促进和加强解决新问题的能力。学生如果仅仅受到具体问题解题训练而没有触及问题原理他们虽然也可能很好地完成具体任务但无法把学到的知识迁移应用到新的问题。接受抽象表征训练的学生则可以将知识迁移到具有类比关系的新问题上。什么是“问题原理”就是“在更一般层面上掌握表征问题的策略”。如果没有对某个“问题原理”的概念就不可能把某个问题纳入这个问题原理的范畴。数学中应该有多种问题原理所谓“抽象表征”或者“抽象层面的表征”就是把问题的认识上升到“问题原理”的水平才可能在解决新问题的时候把新问题纳入某个问题原理的范畴来解决。所谓“学解题就是学解一类题”也就是要把学解的题上升为问题原理这样学会的就不是具体的一个题而是属于一个问题原理范畴的题。3.学习与迁移条件的关系迁移体现了学习内容和测试内容之间的一种函数关系。迁移量是在原来学习领域和新领域之间重叠部分的函数。这个重叠部分就是知识是如何表征的是如何形成跨领域概念对应的。知识与任务之间的迁移随它们所共有的认知要素多少的程度而变化。认知表征和策略就属于随任务的不同而变化的“认知要素”。重叠部分就是指“共有认知要素”。认知表征和认知策略被看作“认知要素”。且不同的学习任务有不同的认知要素。但是如何识别不同任务间的“共有的认知要素”这仍然主要取决于对前面问题表征一段所述的“问题原理”的掌握。同时这为后面所给出的建立和形成共同的抽象结构的方法提供了依据。研究表明大量的迁移发生在表层结构大相径庭但却具有共同的抽象结构的对象之间。当不仅要思考陈述性知识而且要考虑程序性知识时。众多领域的数学能力的迁移常常受同一原理的支配。比如通常所说的受某种数学思想的支配就是受同一原理的支配。函数的思想、数形结合的思想、分类讨论的思想、极限的思想等都是具有抽象结构的原理。来自于新的学习科学的研究表明迁移大量地发生在具有共同抽象结构的对象之间因此要实现迁移无疑要建立和形成这样的共同抽象结构。帮助学生超越具体情境和例证在抽象层面表征经验是形成共同抽象结构表征的十分有效的方法。这也是解题反思的原理所在。即在反思的过程中“超越”“具体情境和例证”在“抽象层面”上表征“经验”而不是“停留”在“具体层面”上也就是不断地提高认识水平不能始终停留在“低层次”认识水平上。这样“经验”才可能得到提升不断地从“具体经验”上升为“抽象经验”直至上升为“原理”。抽象表征并不是保存事件的孤立特点或例证而是建构包含相关情境和事件成分的更大的图式。例如包括类比推理在内的图式就能够对复杂思维做出重要的指引“成功的类比迁移能导致运用原来解决问题的一般图式去解决后继的问题。”这是形成抽象表征的另一种方法。“更大的图式”即是“认知模块”或“解题知识块”。按照皮亚杰的意思“图式”包含一定的活动结构是行动的结构和组织具有概括性的特点可以从一种情境迁移到另一种情境。图式是在同一活动中各种运用的重复中保持共同认知要素的组织和结构。图式的种类逐渐增加其内容也变得更加丰富从简单的图式到复杂的图式从内部的行为图式达到内心的思维模式从无逻辑的图式到逻辑的图式逐渐形成复杂的认知系统形成庞大的认知结构。一个人拥有的图式越多他所能同化的事物越多范围就越大。实际也就是迁移的范围就越大。类比推理是数学学习成功迁移的一个有效途径而类比推理主要是运用在整体上有某种联系或相似的对象之间所谓“共同的认知要素”也是在整体意义上的不是视觉对象的相同而是“认知要素”相同是指意义上的、理解上的、策略上的、原理上的或者说是间接的而不是直接的。抽象表征是通过多次观察不同事件的异同而建立起来的。这是形成抽象表征的又一种方法。具有抽象结构的图式提高了记忆的提取和迁移能力因