分数指数幂与根式

2020年3月17日回忆乘方的意义：a0=1a-n=na1(a≠0,n∈N*).（a≠0）零的零次幂没有意义零的负整数次幂没有意义an=a×a×a×……×a(n∈N*)n个a整数指数幂的运算性质是：①am·an=am+n(m,n∈Z)②(am)n=amn(m,n∈Z)③(ab)n=anbn(n∈Z).注意：①--③都要遵守零指数幂、负整数指数幂的底数不能等于0的规定.【练一练】1.回答下列各题（口答）：①a2·a3=②(b4)2=③(m·n)3=.a5b8m3×n31642底幂指数复习知识?42乘方运算16?2开方运算4和-4叫做16的平方根8232叫做8的立方根复习知识9?432?5要求：用语言描述式子的含义3称为9的四次方根2称为-32的五次方根引入新课an?描述：次方等于n一个数的a，求这个数．n开次方次方根定义：n如果一个数的次方等于n),1(*Nnna那么这个数叫做的方根．an数学符号表示：若),1(*Nnnaxn，则叫做的次方根．xann次方根概念273833254292164322232观察思考：你能得到什么结论？练一练27338323252结论：当为奇数时，正数的次方根是一个正数，负数的次方根是一个负数，这时，的次方根只有一个，记为．nnnannax32733825322115x511x得出结论4229231642结论：当n为偶数时，正数的n次方根有两个，它们互为相反数．正数a的正n次方根用符号表示；负的n次方根用符号表示,它们可以合并写成的形式．42934162126xnana612x得出结论负数没有偶次方根．(0)naa特别注意：0的次方根等于0.n思考：1）一定表示一个正数吗？nana为奇数时，它可为正、可为负、可为零．n为偶数时，它表示非负数．n2）中的一定是正数或非负数吗？naa当为偶数时，它有意义的条件是；当为奇数时，它有意义的条件是．n0anRa注意问题2)2(33)2(55)3(2)2(33544)3(223253nna)(anna为奇数na为偶数n||a两个等式8443653256161623227　，　，　，　，　，例1：求下列各式的值。312510244233)()3()10()8(aaba1.求下列各式的值33)8(2)10(44)3(55)3(44)(ba（１）（５）（２）（３）（４）（６）510a412a练一练：)(ba2.给出下列4个等式：①;②③;④.其中恒成立的个数为()aa2aa2)(aa33aa33)(A.1B.2C.3D.43.已知，则化简的结果是()21a42)12(aA.B.C.D.12a12aa21a214.下列各式中，把根号外的因式移到根号内，正确的是()A.B.C.D.ababaa时，0ababaa时，0babaa10时，2)(0,0baababbaba时，244)3()2(xx5.化简：①②740740规定正数的正分数指数幂的意义：)1,,0(nNnmaaanmnm且规定正数的负分数指数幂的意义：)1,,0(11nNnmaaaanmnmnm且0的正数次幂等于0，0的负数次幂无意义，0的0次幂无意义。回顾：分数指数幂的定义例1、求值：、3281225、51()2、.)8116(43分数指数幂的运算性质：整数指数幂的运算性质可以运用到分数指数幂，进而推广到有理数范围：),0,0()(),,0()(),,0(QrbabaabQsraaaQsraaaarrrrssrsrsr例１用分数指数幂的形式表示下列各式:（式中a0）解：aa2)1(323)2(aaaa)3(311323323aaaa=25212212aaaa==aa2)1(323)2(aaaa)3(4321232121)()(aaaa题型一将根式转化分数指数幂的形式．（a0,b0)31.aaa343332.()27ab343.()ab4329.4ba小结：1，当有多重根式是，要由里向外层层转化。2、对于有分母的，可以先把分母写成负指数幂。3、要熟悉运算性质。65a44383ba43)(ba8349ba43a73x⑴=43a（2）=(x0)731x(3)=43)(baba4321)()(baba练习：用分数指数幂表示下列各式练习23232xx4343)()(baba(a+b0)3232)()(nmnm24)()(nmnm)0(25356pqpqp252133mmmmm1）2）3）4）5）6）例２求值：、328、21100、3)41(.)8116(43101)10(1100121221==4328)1(232332322)2(=21100)2(=(2-2)-3=2(-2)(-3)=26=643)41)(3(43)8116)(4(827)32()32(3)43(4题型二分数指数幂求值，先把a写成nmanx然后原式便化为mnmnnmxxa)(（即：关键先求a的n次方根）34(1)1000023125(2)()273236(3)()49。cbacba的值求已知2310,510,310,21010001259343216940小结1、分数指数幂的概念（与整数指数幂对比，有何差异，注意不能随意约分）.2、分数指数幂的运算性质，进而推广到有理数指数幂的运算性质。3、根式运算时，先化为指数形式进行运算，原式为根式的，再将结果化为根式。注意三点：题型一将根式转化分数指数幂的形式。（a0,b0)1当有多重根式是，要由里向外层层转化。2对于有分母的，可以先把分母写成负指数幂。3要熟悉运算性质。题型二分数指数幂(不按计算器)求值，nma关键先求a的n次方根新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆2,2()fx0x()fx(1)()fmfmm例3．定义在上的偶函数，当时，单调递减，且成立，求实数的取值范围。指数（3）题型三分数指数幂的运算1、系数先放在起运算。2、同底数幂进行运算，乘的指数相加，除的指数相减。1221113334241.(2)(3)(4)xyxyxyyyx24)4(3)2(323231412141原式20.532037348710(2)(2)0.19272.100231423.()(4)(12)abababc2143121113(4)12abcac解：原式例4计算（式中字母都是正数）：)3()6)(2)(1(656131212132bababa31848(2)()mnaabbabababa44)]3()6(2[)3()6)(2)(1(0653121612132656131212132318843183843323(2)()()()mnmnmnmn题型四根式运算，先把每个根式用分数指数幂表示；题目便转化为分数指数幂的运算。注意：结果可以用根式表示，也可以用分数指数幂表示.但同一结果中不能既有根式又有分数指数幂，并且分母中不能含有负分数指数幂．23432(1)(25125)5(2)(0)aaaa例5计算23221322122235665(2)aaaaaaaaa342313242131342421313424551245124(1)(25125)5(55)555555555555.364(24)3aabb化简：529323210])10()8[(2．1．题型五))()((22平方差公式bababa)(2)(222完全平方公式bababa))()((2233立方公式babababa利用代数公式进行化简：1111114444221.()()()ababab例1化简：11112222111122222.abababab111124243.(23)(23)xyxy122331.3,____,______.aaaaaa已知则718题型六分数指数幂或根式中x的定义域问题4(1)1x13(2)(1)x23(3)(1)x12(4)x324(5)(32)xx13(6)(||1)x例如求下列各式中x的范围：X≤1X≠1X∈RX0(-3,1)X≠±1上面，我们将指数的取值范围由整数推广到有理数。那么，当指数是无理数时，又该如何解释？无理数指数幂哦！25指数范围终于扩大到实数了，嘿嘿。。。3）根式又是如何定义的？有那些规定？如果一个数的平方等于a，则这个数叫做a的平方根；如果一个数的立方等于a，则这个数叫做a的立方根；如果一个数的n次方等于a，则这个数叫做a的n次方根；na根指数根式被开方数a＞04）的运算结果如何？当n为奇数时，=a；(a∈R)nna当n为偶数时，nna=|a|aa00aaaann)(00nnna一、引入：1、a10的5次方根是________2、a12的3次方根是___________你发现了什么？1010255aaa1、2、1212433aaa再看下面几个变形：5210105(2)222；10102105222。12312333，15315333，规定正数的正分数指数幂3553*1616,33)1.,0()1(3553nNnmaaanmnm且)1*,,0(1)2(nNnmaaanmnm且（3)0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义。二，分数指数幂的定义例1、求值：、3281225、51()2、.)8116(43分数指数幂的运算性质：整数指数幂的运算性质可以运用到分数指数幂，进而推广到有理数范围：),0,0()(),,0()(),,0(QrbabaabQsraaaQsraaaarrrrssrsrsr例2、用分数指数幂的形式表示下列各式:（式中a0）3(1)aa322(2)aa3(3)aa例-3、计算下列各式（式中字母都是正数）2115113366221.(2)(6)(3)ababab318842.()mn例-4、计算下列各式341.(25125)252322.(0)aaaa题型一将根式转化分数指数幂的形式。（a0,b0)31.aaa343332.()27ab343.()ab4329.4ba小结：1，当有多重根式是，要由里向外层层转化。2、对于有分母的，可以先把分母写成负指数幂。3、要熟悉运算性质。65a44383ba43)(ba8349ba题型二分数指数幂求值，先把a写成nmanx然后原式便化为mnmnnmxxa)(（即：关键先求